Giải bài tập Toán 9 Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

  • Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn trang 1
  • Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn trang 2
  • Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn trang 3
  • Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn trang 4
  • Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn trang 5
  • Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn trang 6
s§5. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
|?1| Định lí: số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nữa
tống sô đo của hai cung bị chắn. Hãy chứng minh định lí trên.
Hướng dẫn
Trên hình 32), ta có: BEC = BDC + ABD ;
Mà BDC = ^sđBnC (góc nội tiếp chắn cung BnC);
ABD = ^sđAmD(góc nội tiếp chắn cung AmD)
2
_ sđBnC + sđAmD 	.
2
?2| Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bàng nữa
Do đó: BEC =	—-	 (đpcm).
hiệu số đo của hai cung bị chắn. Hãy chứng minh định lí trên.
Hướng dẫn
Trên hình 36), ta có:
BAC = ^sđBC (góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC) và ACD = — sđAD
2	2
(góc nội tiếp chắn cung nhỏ AD) ;
Mà BAC = ACD + BEC nên BEC = BAC - ACD;
Do đó: BEC =	—	 (đpcm).
Trên hình 37 và 38, chứng minh tương tự như trên.
B. GIẢI BÀI TẬP
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điếm chính giữa của AB và Ác. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
Ta có
, sđAN + sđMB sđAEH =	—-	
2
,-ryyjx sđAM + sđNC
sđAHE —	—	
2
(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
Mà
AN = NC (N là điểm chính giữa AC) AM = MB (M là điểm chính giữa AB)
Vậy AEH = AHE
Nên AAEH cân tại A.
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi s là giao điểm của AM và BC.
Chứng minh ASC = MCÃ .
fail
,,7^7 sđAM ,,, ,	,	, ..z ,
sđAMC - sđMC
sđ MCA = —-— (tính chất góc nội tiếp) 2
_ J rõTT sđ AB - sđMC sđASC = 	—— 
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
mà ẤÃĨC = AB (do AC = AB). Vậy MCA = ASC
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho: sđẤC = sdCD = sdDB = 60°.
Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến với đường tròn tại B và c cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:
a) ẤẼB = BTC
b) CD là tia phân giác của BCT.
a) Chứng minh AEB = BTC sđẤB = 360° - (sđẤC + sđõb + sđDB)
= 360° - (60° + 60° + 60°) =
Vậy A, o, B thẳng hàng (AOB = 180°)
m J sđAB - sđCD
Ta có sđ AEB = ——	-	
2
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) = 180° - 60° = 6Oo
2
Ta có sđCÃP .= 360° - sdCDB
= 360°.- (sdCD + sdDB) = 360° - (60° + 60°) = 240°
m	sđCAB - sđCDB	, , .	' . . . J v
ia CÓ sđClB =	-	 (góc có đinh bên ngoài đường tròn)
= 240°-120° = 600 	2
Vậy AEB = CTB = 60°
b) Chứng minh CD là tia phân giác BCT
Do đó DCT = DCB
Hay CD là phân giác BCT
c. LUYỆN TẬP
sđCB + sđBM
sđCBM .	J. 	.
sđEMC =	 (góc giữa tia tiẽp tuyên và dây cung) =
2
sđẼSM = sđMn + sđẤ5
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một diêm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở s. Chứng minh ES = EM.
2
(góc có đỉnh trong đường tròn)
Mà BC = AC (do AB 1 CD)
Nên EMC - ESM
Do đó AESM cân tại E
Vậy ES = EM
Qua điểm s nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD.
AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E
Ta có CAD = BAD (AD là phân giác BAC)
Suy ra CE = ÉB (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
E
Do sđSAE = sdABE	tiếp)
2 sđÀB + sđBE
-	2
, Sĩrr sđAB + sđÓE
sđSDA = 	—T	
2
(góc có đỉnh bên trong đường tròn)
Suy ra SAÉ = SDA
Do đó ASAD cân tại s
Vậy SD = SA
,7 sđCN — sđBM sđA = 	
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm s nằm trong hình tròn. Chứng minh A + BSM = 2.CMN
2
(góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
2
(góc có đỉnh bên trong đường tròn)
sđ CMN = —-— (góc nội tiếp)
2
Ta có Â + BSM = sđCN - sđ™ + sd6? + sđSì = 2.^ =2CMN
2	2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, p, Q, R theo thứ tự là điểm chính giữa của cung BC, CA, AB.
a) Chứng minh AP ± QR.
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
p
a) Chứng minh AP ± QR
Gọi K là giao điểm AP và RQ
n, „J dtTd _ sđRBP + sđAQ
Ta có sđ RKP =	--	—
2
(góc có đỉnh bên trong đường tròn)
sđARB sđBPC
Mà sđ RBP = sđ RB + sđBP - —H	-—
2	2
,-7 A sđAQC sđ AQ = —
(R, p lần lượt là điểm chính giữa AB, BC)
(Q là điểm chính giữa AC )
Từ đó sđ RKP = sđARB + sđBPC + sđAQC = 360° = 9Q0
4
Hay AP 1 RQ
b) Chứng minh ACPI cân
(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
-jfvrTi sđCP + sdAR
sđ PIC =	
2
_ sđRBP	,
sđPCI = —	 (góc nội tiếp)
sđRB + sđBP
=	2
mà
RA = RB (R là điểm chính giữa AB)
PC = PB (P là điểm chính giữa BC)
Nên PIC = PCI
Vậy AlPC cân tại I.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và c nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I. Chứng minh Ấõc = AI (■
(góc có đỉnh bên trong đường tròn)
,777^ sđAC + sđBD
sđ AIC =	T—	
2
Do AB // CD nên AC = BD
(hai cung bị chắn bởi hai dây song song)
Suy ra sđẤĨC = 2sỈA£ = sđẤỒ
2
Mà sđAOC - sđAC (tính chất góc ở tâm) Vậy AĨC = Ấõc
§6. CUNG CHỨA GÓC