Giải bài tập Toán 9 Bài 3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

§3. HÌNH CẦU - DIỆN ĨÍCH MĂT CÀU
VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẨU
A. BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
i?r Cắt một hình trụ hoặc một hình cầu bởi mặt phẳng vuông góc với trục, ta được hình gì? Hãy điền vào bảng (chỉ với các từ “có”, “không”) (h.104).
Hướng dẫn
- Cắt một hình trụ hoặc một hình cầu bởi mặt phẳng vuông góc với
trục ta được một hình tròn;
- Điền vào bảng:
Hình
Mặt cắt
Hình trụ
Hình cầu
Hình chữ nhật
Không
Không
Hình tròn bán kính R
Có
Có
Hình tròn bán kính nhỏ hơn R
Không
Có
B. GIẢI BÀI TẬP
—1?
Nếu thể tích của một hình cầu là cm3 thì trong các kết quả
sau đây, kết quả nào là bán kính của nó lấy TV
A. 2 cm
B. 3 cm
c. 5 cm
D. 6 cm.
E. Một kết quả khác.
Chọn B.
Sử dụng công thức
V = ị TtR3
3
Suy ra R3 = 4~~
4tv
3.113^
-27
4. ế
7
R - 3 cm
31. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:
Bán kinh hình cầu
0,3 mm
6,21 dm
0,283 m
100 km
6 hm
50 dam
Diện tích mặt cầu
Thể tích mặt cầu
Bán kính hình cầu
0,3mm
6,21dm
0,283m
100km
6hm
50dam
Diện tích mặt cầu
1,13mm2
484,37dm2
1,01m2
125600km2
452,16hm2
31400dam2
Thể tích mặt cầu
0,11mm3
10026,5dm3
0,10m3
4186666,67km3
9704,37hm3
523333,33dam3
Một khối gồ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).
Dụng cụ thể thao
Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hìnhh cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Loại bóng
Quả bóng gôn
Quả khúc côn cấu
Quả ten-nít
Quả bỏng bàn
Quả
Bi-a
Đường kính
42,7 mm
6,5 cm
40 mm
61 mm
Độ dài đường tròn lớn
23 cm
Diện tích
Thể tích
Loại bóng
Quả bóng gôn
Quả khúc côn cầu
Quả ten-nit
Quả bóng bàn
Quả
Bi-a
Đường kính
42,7 mm
7,32 mm
6,5 cm
40 mm
61 mm
Độ dài đường tròn lớn
134,08 mm
23 cm
20,41 cm
125,60 mm
191,54 mm
Diện tích
57,25 cm2
168,36 cm2
132,67 cm2
5024 mm2
11683,94 mm2
Thể tích
40,74 cm3
205,40 cm3
143,73 cm3
33493,33 mm3
118786,72 mm3
34. Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)
Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11 m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Diện tích mặt khinh khí cầu
s = 4nR2 = 7td2 = 7T.112
~ 379,94 m2
c. LUYỆN TẬP
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.110) Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.
Thể tích hình trụ
V1 = nR2.h! = 7t.0,92.3,62 « 9,21 m3 12 Thể tích hai nửa hình cầu:	(	\
v2 = 2 i.^nR3 = ^rcR3	III
2 3	3	w
= Ặ.3,14.0,93 « 3,05 m3
3
Thể tích bồn chứa xăng
V = V1 + v2 » 9,21 + 3,05 « 12,26 m3
Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm)
Tìm một hệ thức giữa X và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.
Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo X và a.
Hình 110
Hệ thức giữa h và X
Ta có AA' = x + h + x = 2x + h
Mà	AA' = 2a
Suy ra	2x + h = 2a
Diện tích bề mặt
Diện tích xung quanh hình trụ: S1 = 2nxh = 2ĩix(2a - 2x)
Diện tích 2 nửa mặt cầu s2 = 2.4-.4KX2 = 4nx2
2
Diện tích bề mặt chi tiết máy là
s = S1 + s2 = 2nx(2a - 2x) + 4nx2
= 2nx(2a — 2x + 2x)
= 2?ix.2a = 47txa.
Thê tích chi tiết máy
Thể tích hình trụ V1 = 7tx2h = 7ix2(2a - 2x)
Thể tích 2 nửa hình cầu v2 = 2.Ậ.4rcx3 =
2 3	3
Thể tích chi tiết máy
V = V1 + v2 = nx2(2a - 2x) +
3
= 2nx2(a - x) + —— = 27rx2[a -
= 2nx2(a -	)
3
Cho nửa đường tròn tâm o, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng
Chứng minh AM.BN = R2
Tính tỉ số $M0N khi AM = n
Sapb	2
Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.
a) AOMN, AAPB vuông
Ta CÓ
OM là phân giác AOP
ON là phân giác BOP
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOP và BOP là hai góc kề bù Suy ra OM 1 ON
Vậy AOMN vuông tại o.
APB = 90° (góc nội tiếp chắn i đường tròn)
Vậy AAPB vuông tại p.
Mặt khác PNO = PBA (tứ giác NBOP nội tiếp) Do đó AMON co aAPB
b) Chứng minh AM.BN = R2
AM = MP ,,, , , , , .	s	.
	(tính chat hai tiẽp tuyên căt nhau) NB = NP
Suy ra AM.NB = MP.NP = OP2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông MON) = R2
Tỉ số
°APB
Ta có AM.BN = R2
=> ậ ,BN = R2 => BN = 2R
2 .
Và MN = MP + PN = AM + NB = 5 + 2R = ~
2	2
25R2
4
AB2 = 4R2
Do AMON co AAPB
SM0N _ [MN)2 _ MN2 _ 25R2 . 4r2 = 25R2 _ 25
Sapb IAbJ AB2 4 '	16R2	16
Thể tích hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB
Khi nửa hình tròn đường kính AB quay quanh AB hình phát sinh là hình cầu bán kính R.
Thê tích hình cầu V = — tiR'