Giải Toán 9: Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung

  • Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung trang 1
  • Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung trang 2
  • Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung trang 3
  • Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung trang 4
  • Bài 1. Góc ở tâm - Số đo cung trang 5
PHÂN HÌNH HỌC
Chương III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
§1. GÓC ở TÂM - SỐ ĐO CUNG
A. KIẾN THỨC Cơ BẲN
GÓC ở tâm
Góc có đinh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Sô'đo cung
Số đo của cung nhỏ bàng số đo cùa góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng 360° trừ đi số đo của cung nhỏ.
Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.
Chú ỷ:
Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°.
Cung lớn có số đo lớn hơn 180°.
Cung có điểm đầu, điểm cuối trùng nhau có số đo 0°.
Cung cả đường tròn có số đo 360°.
So sánh hai cung
Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có sô đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có so đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
Khi nào thì sô đo AB = số đo AC + số đo CB?
Nếu c là một điểm nằm trên cung AB thì:
Điếm c nam trẽn cung nho AB Điếm c nằm trên cung lớn AB
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm o.
Kẻ các đường kính AA’, BBJ, CC’. Tính số do
Các góc ở tâm AOB, BOA’, BOC, COC
Các cung aeFc, ABC,ACC', BCB'
Giải
Vì AABC là tam giác đều nên ba đường kính AA’,
BB’, CC’ cũng- chính là ba đường trung trực của ba cạnh, do đó cũng chính là ba đường phân giác cua ba góc cùa tam giác.
Tàm o của đường tròn là giao điểm ba đường phàn giác của ba góc A, B, C -
1)0 đó Â, = Â, = Bi = Bl< = Cl = C, =	= 30"	(1)
2 2
Và \ABC đều, nên AB = AC = BC	(2)
Từ (1) và (2) suy ra \AOB = \AOC = \BOC.
Ta có AOBj= 180" - (Ãi + Bi) = 180" -60" = 120"
Lại có Í3OA' là góc ngoai cùa AAOB nên
_ BOA’= Â, +1^30"+ 30" = 60"
Do B'OC' đối đinh với BOC nên ta có
ĩFÕC' = B0C =Job = 120"
Vì COC' là góc bẹt nên COC' = 180"	
Ta có AOC chắn cung A1TC mà AOC - 120" nên sclAB^C = 120"
Mà sđÁBC = 360" -sdATLC = 360" -120" = 240"
Lại có AOC' chắn cung AC’ mà AOC' = 60" nên sđAOC' = 60". Do đó
sdACC' = 360" - sdẤC' = 360" - 60" - 300" và BCB' bị chắn bởi góc ớ tâm BOB' mà
BOB' = 180" nén sdBOB ' = 180"
Bài tập cơ bản
Kim giờ và kim phút cúa đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có sô đo là bao nhiêu độ vào những thời điếm sau:
3 giờ b) 5 giờ c) 6 giờ d) 12 giờ e) 20 giờ?
Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại o, trong các góc tạo thành có góc 40°. Vẽ một đường tròn tâm o. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bôn tia gốc o.
Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm sô đo cung AmB. Từ đó, tính số đo cung AnB tương ứng.
Giải
1. Góc ở tâm tạo bời hai kim giửa hai sô liền nhau là 360° : 12 = 30°.
Vào thời diêm 3 giờ thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: 3.30" = 90° (hình a).
Vào thời diêm 5 giờ (hình b) thì góc tạo thành giữa hai kim đồng
hồ là:	5.30° = 150°
Vào thời điếm 6 giờ (hình c) thì góc tạo thành giữa hai kim đồng
hồ là:	6.30° =180°
Vào thời điểm 20 giờ (trên mặt đồng hồ chỉ giờxhình d) thì góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: 4.30° = 120°
6
Hình a 2. Ta có:
Vào thời điểm 12 giờ (hình e) hai kim đồng hồ trùng nhau, khi đó góc tạo thành giữa hai kim đồng hồ là: 0°.
6
Hình b
6
Hình c
xOs = 40° (theo giả thiết) tOy = 40° (đối đỉnh với xOs) xOt + tOy = 180° nên suy ra
yOs = 140° (đôi đỉnh với xOt) xOy = sOt = 180°
Nối OA, OB. 	
Đo góc ở tâm AOB đê suy ra số đo AmB. Suy ra sdAnB = 360" - sdAmB
Hình a. Ta có: A0B = 125" => AmB = 125°
và sdAnB = 360° - 125" = 235°
Hình b. Ta có: X0B = 65° => ẤĩnB - 65°
và sdAnB = 360" - 65° = 295°
A
Bài tập tương tự
Cho đường tròn tâm o đường kính AC, lấy các điểm A, B, E, F trên cùng nửa đường tròn đường kính AC thỏa mãn: OE = EA = BC = R, BF = FC • Gọi D là diêm đôì xứng của F qua o.
Tính sđAE, sđED, sđDC, sđDAB, sđAOB, sđBOC, sđ AOF .
Hình 7
LUYỆN TẬP
Xem hình 7. Tính sô' đo của góc ở tâm' AOB và số đo cung lớn AB.
Hai tiếp tuyếri của đường tròn CO) tại A và B cắt nhau tại M. Biết AMB = 35°
Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB.
Tính sô đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ).
Cho tam giác đều ABC. Gọi o là tâm của đường tròn đi qua đỉnh A, B, c.
Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, oc.
Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, c.
khác nhau. Hai đường thẳng đi qua o cắt hai đường tròn đó tại các
Cho hai đường tròn cùng tâm o với bán kính
điểm A, B, c, D, M, N, p, Q (h.8).
Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?
Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.
Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau.
Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn	hơn.
Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có	số	đo	nhỏ hơn
thì nhỏ hơn.	_
Trên đường tròn tâm o lấy ba điểm A, B, c sao cho AOB = 100°, sđ AC = 45°. Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC. (Xét cả hai trường hợp: điểm c nằm trên cung nhỏ AB, điểm c nằm trên cung lớn AB).
Giải	
Ta có: OA = AT (gt) nên AAOT là tam giác vuông cân tại A, vậy AOB = 45°. Suy ra số đo cung nhỏ AB = 45°. Do đó số đo cung lớn AB bằng:
AB = 360" -45° = 315;
a) Trong tứ giác AOBM có A = B = 90" •
Suy ra AmB + AMB = 180"
=> AmB = 180° - AMB = 180° - 35°
b) Từ ACB = 145" • Suy ra số đo cung nhỏ AB = 145" và số đo cung
= 145°
lớn Ẩì :	AB = 360" - 145" = 215"
a) Ta có: A = B = C = 30° (gt)
Suy ra: Ẵi = Âa = Bi = Ba = Cl = Ca = 30"
(Tâm o của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của
ba đường trung trực của ba cạnh cũng chính là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đều ABC).
Suy ra: ẤÕB = 180° - (Âi + Bị) = 180° - 60° = 120" Tương tự ta suy ra AOB = BOC = COA = 120°
b) Từ AOB = BOC = COA = 120" ta suy ra: AB = BC = CA = 120" Suy ra: ABC = BCA^ CAB = 240"	
a) Ta có: sđAM = sđBN Ịvì cũng bằng sô đo cúa góc ó' tâm AOM chắn nó)
sd'PC = sdQD (vì cùng bằng sô đo cùa góc ở tâm QOD chắn nó) Mà AOM = QOD (đối đình)
Suy ra sdAM = sdBN = sdCP = sdQD
Trong đường tròn lớn ta có sđAM = sđQD; sđAQ = sđMD Trong đường tròn nhỏ ta có sđBN = sđCP; sđBP = sđNC
Trong đường tròn lớn: sđAQ = sđMD Trong đường tròn nho: sdBP = sdNC
a) Đúng.
Sai. Không rõ hai cung có cùng nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.
Sai. (như trên)
Đúng
a) Điểm c nằm trêncung nhỏ AB (hình a)
Sô đo cung nhỏ BC = 100“ - 45" = 55'
Số đo cung lớn BC = 360" -55" = 305"
b) Điểm c nằm trên cung lớn AB (hình b)
Số đo cung nhò BC = 100" + 45" = 145"