Giải Toán 9: Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn

§9. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Công thức tính độ dài đường tròn
Độ dài c của một đường tròn có bán kính R được tính theo công thức: c = 2tỉR
Nếu gọi d là đường kính đường tròn (d = 2R) thì c = 7td
Cách tính độ dài cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, độ dài ỉ của một cung n° được tính
.	„	. ,	, 7iRn"
theo công thức: / =	-
s 180°
B. HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho đường tròn tâm o bán kính R.
	 s	- A~D '
Tính góc AOB, biết rằng độ dài cung AB là — .
Tính cung lớn AB của (0), xác định điếm c sao cho khi nối o với c, A với c, ta được AOC là tam giác đều và AC cắt đoạn OB.
Tính độ dài các cung lớn AC và BC.
Giải
Gọi n° là số đo cung nhỏ AB.
. .~,ẫ	, 7tR 7iRn° 1 n"
Theo gia thiêt ta có: —— = —V — — - —— s	4	180"	4	180
-	 n° = 45°
Vậy: ẤÕB = 45°
Theo giá thiết, số đo cung nhỏ AC = 60° nên cung lớn AC có số đo là:
n.R.300	5
ạy AC 180	3
Từ kết quả câu a) suy ra số đo cung nhỏ 30 = 60" - 45°
Do đó số đo cung lớn 3C = 360° -15° = 345° •
1Ĩ.R.345	23
Vậy:
15° ■
t:R
Số đo cung lớn AC = 360° - 60° = 300"
12
180
Bài tập cơ bản
Lấy giá trị gần đúng của 71 là 3,14, hãy điền vào các ô trống trong bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Bán kính R của đường tròn
10
3
Đường kính d của đường tròn
10
3
Độ dài c của đường tròn
20
25,12
a) Tính độ dài cung 60° của một đường tròn có bán kính 2dm. b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm.
Lấy giá trị gần đúng của 71 là 3,14, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chừ số thập phân thứ nhất và đến độ):
Bán kính R của đường tròn
10 cm
21cm
6,2cm
Sò đo n° của cung tròn
90°
50°
41°
25°
Độ dài l của cung tròn
35,6cm
20,8cm
9,2cm
Cho ba điểm A, B, c thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và c. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tông các độ dài cúa hai nứa đường tròn đường kính AB va BC.
Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh'trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là l,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Giải
Bán kính R
10
(5) .
3 .
(1,5)
(3,2) .
(4)
Đường kính d
(20)
■ 10
(6)
3
(6,4)
(8)
Độ dài đường tròn c
(62,8)
(31,4)
(18,84)
(9,42)
20,1
25,12
71 = 3,14 đơn vị: cm
a) Áp dụng số vào công thức l = ta có :
,	3,14.2.60	3,14.2	°	O1
l = ——V—	= ——— = 2,09(dm) « 21(cm)
180	3
b) Độ dài vành xe đạp là: 3,14 . 650 = 2041 (mm) * 2 (m)
7iRn	m
Vận dụng công thức: / = , đê tìm R hoặc n° hoặc l. Thay sô
loll
C1 = 71.AC
(1)
C2 = 71.AB
(2)
C3 = 7I.BC
(3)
.), (2), (3) ta thấy:
c2 + c3 = tiíab +
BC) =
n X 16,72 71X 0,88
= 19 vòng
vào, tính toán ta tìm được các giá trị chưa biết trong ô trống và
điền được bảng sau:
Bán kính R
10cm
(40,8cm)
21cm
6,2cm
(21cm)
Sô đo độ của cung tròn
90°
50°
(57°)
41°
25°
Độ dài của cung tròn
(15,7cm)
35,6cm
20,8cm
(4,4cm)
9,2cm
68. Gọi Cp C2, C3 lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, ẦB, BC, ta có:
Bài tập tương tự
Tính độ dài cung 60° của một vành xe đạp có đường kính 650mm.
Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung diêm M của OA vẽ dây BC 1 OA. Biết độ dài đường tròn (0) là 8tt (cm). Tính:
71
a) Bán kính (O).	b) Tính độ dài hai cung BC.
Hình 52	Hình 53	Hình 54
Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đày với tâm lần lượt là B, c, D,
A theo đúng kích thước đã cho (cạnh hình vuông ABCD dài lcm). Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đó.
Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm. Hây cua-roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200mm. Tính góc AOB (h.56).
Đường tròn lớn của Trái Đât dài khoảng 40000km. Tính bán kính Trái Đất.
kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở B.
. Chứng minh MA và MB có độ dài bằng nhau.
Xem hình 57 và so sánh độ dài cùa cung AmB với độ dài đường
gấp khúc AOB.
■
Jj
70. Cách vẽ:
A
9^'
A
B
I)
4 cm
D
4 cm
Hình 13
A
I)
4 cm
Hình 15
Giải
Hình 14
Hình 13: Vẽ hình vuông ABCD cạnh 4cm. Vẽ hai đường trung trực của các cạnh hình vuông, chúng cắt nhau tại o.
Lấy o làm tâm vẽ đường tròn bán kính 2cm ta được hình a.
Hình 14: Vẽ hình vuông như ở hình a. Lấy o làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính 2cm tiếp xúc với các cạnh AD, AB, BC. Lấy c, D làm tâm vẽ cung phần tư đường tròn về phía trong hình vuông các cung tròn đã vẽ tạo nên hình b.
Hình 15: Vẽ hình vuông như hình a. Lấy A, B, c, D làm tâm vẽ về phía trong hình vuông bốn cung tròn, mồi cung là phần tư đường tròn. Bốn cung này tạo nên hình c.
Tính chu vi mỗi hình:
Hình 13: Đường kính đường tròn này là 4cm.
Vậy hình tròn có chu vi là: 3,14 . 4 = 12,56 (cm)
Hình 14: Hình tròn gồm hai cung tròn: một cung là nửa đường tròn, hai cung có mỗi cung là phần tư đường tròn nên chu vi của hình bằng chu vi cùa hình tròn ở hình a, tức là 12,56cm.
Hình 15: Hình gồm bôn cung tròn với mỗi cung tròn là phần tư đường tròn nên chu vi cúa hình bằng chu vi hình tròn ở hình a tức là 12,56cm.
71. Cách vẽ: Vẽ hình vuông ABCD có cạnh dài ĩcm.
, 1	X
Vẽ - đường tròn tâm B, bán kính lcm, ta có cung AE.
„ ỉ
Vẽ	—	đường	tròn tâm	c, bán kính 2crn, ta	có	cung	gp.
„	í	:....	,	X
Vẽ	—	đường	tròn tâm	D, bán kính 3cm, ta	có	cung	FG.
1	, X	,	X
Vẽ	—	đường	tròn tâm	A, bán kính 4cm, ta	có	cung	Gg.
Độ dài đường xoắn:
Z^-J = 4.271.1
AE 4
z~ =-.271.2
EF 4
z^ =-.271.3
FG 4
z^. = 4.271.4
GH 4
Vậy: Độ	dài đường	xoắn = z^-,	+ z,~	+ Z;-,	+ Z-
• J •	°	AE EE EG G
- 1 9-rril 4- 9. 4- 3 + 4
= -7.2tt(1 + 2 + 3 + 4) - 571
4
72. 360° ứng với 540mm. x° ứng với 200mm 360.200
540
« 133°
Vậy sđẤÌ « 133",suyra AOB ~ 133°
Gọi bán kính Trái Đất là R thì độ dài kinh tuyếrì Trái Đất là 7tR (giá thiết Trái Đất tròn và kinh tuyến bằng nửa đường tròn lớn). Do đó: ttR = 20000km
R = 22222 = 20222 *6369(km)
71	3,14
Vĩ độ của Hà Nội là 20°01' có nghĩa là cung kinh tuyến từ Hà Nội
đến xích đạo có số đo là ^20	• Vậy độ dài cung kinh tuyến từ
Hà Nội đến xích đạo là:
40000.20
60
360
2224(km)
75. Đặt MOB = a thì MO'B = 2a (góc nội tiếp và gócM ở tâm cúa đường tròn (0’)).
7t.OM.2cx 7t.OM.cx
= MB
z~ =
MA
180"
Tt.OM.a
90"
271.0'M.a 71.0'M.a
180"
180"
(vì OM = 2O’M)
So sánh (1) và (2) ta có: z^ = z^
. „	,	.	27tR OT1 7t
76. Ta có: ZimT =	= 2R~
Amll	3	3
Độ dài đường gấp khúc AOB là d. => d = AO + OB = R + R - 2R
90"
(1)
(2)
Mà 7t > 3 nên 77 > 1, do đó Z-—-. > d
2	A m B