Giải Toán 9: Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

PHẰN ĐẠI SỐ
Chương III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
§1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Khái niệm
Phương trình bậc nhất hai ấn X, y là hệ thức dạng ax + hy = c	(1)
Trong đó a, b và c là các số đã biết (a * 0 hoặc b 0).
Tập hợp nghiệm của phương trình
Một nghiệm của phương trình (1) là một cặp số (x0, y0) sao cho ax0 + by0 = C.
Phương trình bậc nhất hai ân ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d).
• Nếu a Ó và b * 0 thì công thức nghiệm là:
Khi đó đường thắng (d) cắt cả hai trục tọa độ.
Nếu a - 0, b * 0 thì công thức nghiệm là:
fx e R
í c và (d)//Ox
kb
Nếu a 0, b = 0 thì công thức nghiệm là:
c
'	- a và (d) // Oy
y G R
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Trong các cặp số (0; 2), (-1; 0); (4; -3), cặp số nào là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8.
Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 5x + 4y = 8.
Giải
a) Thay từng cặp số đã cho vào phương trình 5x + 4y = 8, nếu giá trị ở hai vế bằng nhau thì cặp số đó là nghiệm của phương trình.
Với cặp số (x = 0, y = 2) ta có
VT = 5.0 + 4.2 = 0 + 8 = 8 = VP
Vậy (0; 2) là nghiêm của phương trình.
Với (x = -1; y. = 0) ta có:
VT = 5.(-l) + 4.0 = -5 + 0 = -5 * VP Vậy (-1; 0) không là nghiệm của phương trình.
Với (x = 4; y = -3) ta có:
VT = 5.4 + 4.(-3) = 20 - 12 = 8 = VP Vậy (4; -3) là nghiệm của phương trình, b) Cho X = 2, thay vào phương trình 5x + 4y = 8 ta được:
1
Suy ra y = - -.
Vậy cặp số
5.2 + 4.y = 8 hay 4y = 8 - 10 = -2
trình 5x + 4y = 8.
là một nghiệm khác của phương
Bài tập cơ băn
Trong các cặp số (-2; 1), (0; 2), (-1; 0), (1,5; 3) và (4; -3), cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) 5x + 4y = 8?	b) 3x + 5y = -3?
Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 3x - y = 2	b) X + 5y = 3	c) 4x - 3y = -1
d) X + 5y = 0	e) 4x + Oy = -2	f) Ox + 2y = 5
Giải
1. a) Thay từng cặp số đã cho vào phương trình 5x + 4y = 8, ta được: • 5(-2) + 4.1 - -10 + 4 = -6	8 nêji cặp số (-2; 1) không là nghiệm
Cho hai phương trình x + 2y -4 và x-y = 1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào.
của phương trình.
5.0 + 4.2 = 8 nên cặp số (0; 2) là nghiệm của phương trình.
5.(-1) + 4.0 = -5 # 8 nên (-1; 0) không là nghiệm của phương trình.
5.1,5 + 4.3 = 7,5 + 12 = 19,5	8 nên (1,5; 3) không là nghiệm của
• 5.4 + 4.(-3) - 20 - 12 = 8 nên (4; -3) là nghiệm của phương trình. Vậy có hai cặp sô' (0; 2) và (4; -3) là nghiệm của phương trình
phương trình.
5x + 4y =. 8.
b) Với phương trình 3x + 5y = -3:
3.(-2) + 5.1 = -6 + 5 = -1 * -3 nên (-2; 1) không là nghiệm của phương trình.
3.0 + 5.2 = 10 * -3 nên (0; 2) không là nghiệm.
3.G-1) + 5.0 = -3 nên (-1; 0) là nghiệm.
3.1,5 + 5.3 = 4,5 + 15 = 19,5 -*■ -3 nên (1,5; 3) không là nghiệm.
3.4 + 5.(-3) = 12 - 15 = -3 nên (4; -3) là nghiệm.
Vậy có hai cặp số (-1; 0) và (4; -3) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3.
a) Ta có phương trình 3x - y = 2
T>	í X e R
Vì (1)»
[y = 3x-2
nên nghiệm tống quát của phương trình là:
[x G R
(1)
(x; ơx - nay <:	_2 /
[y = 3x - 2
* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình:
Với y = 3x - 2
Cho X = 0 => y = -2 được A(0; -2).
Cho y = 0=>3x = 2=>x = -| ta được B (	; 0 I
Biếu diễn cặp số A(0; 2) và BI -|;0 I trên hệ trục tọa độ và đường
thẳng AB chính là tập nghiệm của phương trình 3x - y = 2. fx = -5y + 3 b) x + 5y = 3k.
Ta được nghiệm tổng quát của phương trình là (-5y + 3, y).
[x = -5y + 3
ly f R
hay-
Biểu diễn hình học: tập nghiệm là đường thẳng AB với A(3; 0); B(-2; 1).
X G R
4x - 3y = —1 Ì9„_4„ , 1 J	3y = 4x + 1
xe R
4	1
y = -X + -
3	3
c) X + 5y = 0 o
X = -5y yeR
Tập nghiệm là đường thẳng qua 0(0; 0) và A(-5; 1).
X
d) 4x + Oy = -2 
yeR
Tập nghiệm là đường thăng x = - —, qua
x~ỉ
2
1
! 2
y .
• 1
-1
i X
-1
Aị --;0 I và song song với trục tung.
O;j
2
ix G R
e) Ox + 2y = 5 J 5
... Jy;l,3 5.. Tập nghiệm là đường thẳng y= qua
và song song với trục hoành.
Vẽ đường thẳng X + 2y = 4.
Cho X = 0 => y = 2 được A(0; 2).
Cho y - 0 => X = 4 được B(4; 0).
Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng qua A, B.
Vẽ đường thẳng X - y = 1.
Cho X = 0 => y = -1 được C(0; -1).
Cho y = 0 => X = 1 được D(l; 0).
Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là (2; 1).
Ta có (2; 1) cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho.
Đường thẳng cần vẽ là đường thẳng qua c, D.
Bài tập tương tự
Kiểm tra xem các cặp số. (1; 1), (2; 3), (0,5; 0) có là nghiệm của phương trình 2x - y = 1 hay không?
Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x - y = 1.
Tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình trên.