Giải Toán 9: Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

§5. GÓC CÓ ĐỈNH ở BÊN TRONG
HAY BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
GÓC có đỉnh ở bên trong đường tròn
sđBC + sđAD
BEC =
Sô" đo của góc có đỉnh ớ bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
2
GÓC có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
sđBEC =
sđAEC =
sđAmC - sđAnC
2 2
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Sô" đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu sô đo hai cung bị chắn.
Bài tập mẫu
Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.
Giải
Góc A là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:
sđBmD - sđBC _ sđBCD - sđBC CD
2 2 2
dây nên sdC2 =
sdCD
(2)
Góc Cọ là góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một
Từ (1) và (2) suy ra  = c2, do đó A = Cl •
Vậy AMAC cân tại M, suy ra MA = MC. A	D
Ta có MB = MC (tính chất hai tiếp tuyến) suy ra MA = MB.
2. Bài tập cơ bản
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa cúa ABvà AC - Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
Cho đường tròn (0) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một diêm M. Gọi s là giao điểm của AM và BC. Chứng minh ASC = MCA-
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho
sdAC = sdCD = sdDB = 60°. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và c cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:
AEB = BTC
CD là tia phân giác của BCT
Giai
36. Ta có: AHM =
uu. niiiii —	■
A
-rvyr. sđ(MB + AN)
AEN =	——-	
	2
(2)
sd(AM + NC) (1)
(Vì AHM và AEN là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn). Theo giả thiết thì:
	AB-MC = AC - MC = ẤM
Từ đó ASC2=JVICA
= 60°
a) Ta có AEB là góc có đỉnh ỏ bên ngoài đường
180° - 60°
tròn nên:
AEB =
sd(AB-CD)
và BTC cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:
— = sd(BAC-BDC) 2
(180" +60") -(60" + 60’)
= ——	—— 	 = 60
_	2
Vdy_AEB = BTC
b) DCT là góc tạo bơi tiếp tuyến và dây cung nên:
5cT = ^ = ^ = 30"
2 2
DCB là góc nội tiêp trên
— = sdDB = 6gl = 30„
. _	, 2_ 2
Vậy DCT = DCB hay CD là tia phân giác cúa
Bài tập tương tự
Trong hình bên biết F = 50",sđNQ = 40° • Chứng minh rằng MN 1 PQ.
LUYỆN TẬP
Cho đường tròn- tâm o và điểm s bên ngoài đường tròn. Từ s kẻ tiếp tuyến SA và_ cật tuyến SBC tới đường tròn. Phân giác góc BAC cắt dây BC tại điểm D. Chứng minh SA = SP.
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở s. Chứng minh ES = EM.
Qua điểm s nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyên SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D.
Chứng minh SA = SD.
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm s nằm ben trong đường_tròn.
Chứng minh A + BSM = 2.CMN
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, p, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các gpc A, B, c.
Chứng minh AP ± QR.
AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và c nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I. Chứng minh ÃBC = Ấĩc -
Giải
39. Ta có: MSE = sđ(CA + BM).	(1)
(vì MSE là góc có đỉnh s ở trong đường tròn (O)).
— sđCM sđ(CB + BM)
CME = ■ "	=	 (2)
2—1 2 2
(vì CME là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).
Theo giả thiết:
CA-CB 	 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có MSE = CME từ đó AESM là tam giác cân và ES = EM.
sd(AB + CE)
40. Ta có: ÃDS =
(1)
(vì ADS có đỉnh Dở trong đường tròn (0)).
..A Ah sđ(AB + BE)
và SAD =	—	(2)
222	2
(vì SAD là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).
Theo giả thiết: BE = E£__	 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: ADS = SAD, nên ASAD cân và SA - SD.
Cách chứng minh khác:
ADS = Âi + Cl (góc ngoài của tam giác)	(1)
SAD = A2 + A3 '	(2)
mà Ai - A2 (theo giả thiết)	(3)
và c = A3 (cùng chắn cung_nho AB)	(4)
Từ(l), (2), (3), (4) suy ra ADS = SAD, do đó ASAD cân. Vậy SA = SD.
_x. 7. sd(CN-BM)
41. Ta có: A =	—	(1)
2^
..A íTẽvĩ _ sđ(CN + BM)
và BSM =	—	 (2)
2
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta có:
 + BSM = sdCN
Lại có CMN =
sđCN
(3)
(4)
So sánh (3) và (4) ta có: A + BSM = 2.CMN 42. a) Gọi giao điếm cua AP và QR là K.
ẤKR là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên
sd(AR + QC + CP)
AKR =	——	
sd(AB + AC + BC) 1.360"
_	_ _ 2
= 90°
	 2 2
Vậy_AKR = 90° hay AP 1 QR .
b) CIP là gốc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:
QJP _ sđ(AR 4- CP)
" 2~
P0Ị là góc nội tiếp, nên
PCĨ _ sđ(RB + BP)
Theo giả thiết thì AR = RB CP = BP
(1)
(2)
(3)
(4)
ní
Cho AABC có cạnh BC cô' định và góc A bằng a không đối. Tìm quỹ tích giao điểm của ba phân giác trong của tam giác đó.
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: CIP = PCI Do đó ACPI cân.
Theo giả thiết: AC = BD (vì AB // CD)
ẤJ0 sđ(AC + BD)
= 2^
Theo (1) suy ra AIC = sđÁC
AOC = sđÁC (góc ở tâm chắn cung AC)
So sánh (3) và (4), ta có Ấõc = Ấĩc