Giải Toán 9: Bài 2. Liên hệ giữa cung và đây
§2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hái đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dãy bằng nhau AB = CD => AB = CD Hai dây bằng nhau căng hai cung bàng nhau AB = CD => AB = CD Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: lì Cung lớn hơn căng dày lớn hơn AB > CD => AB > CD Dây lớn hơn căng cung lớn hơn AB > CD => AB > CD B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Cho tam giác ABC. Trên tia đôi của tia AB lấy một điếm D sao cho AD = AC. Dựng đường tròn tâm o ngoại tiếp tam giác DBC. Từ o lần lượt hạ các đường vuông góc với BC và BD. Các đường vuông góc này cắt BC và BD lần lượt ở H và K. Chứng minh rằng OH > OK và BD > BC (với BD , BC là những cung nhỏ của đường tròn tâm O). Giải Xét tam giác ABC có: BC < AB + AC (Bất đắng thức tam giác) Mà: AD = AC (giả thiết) Nên: BC < AB + AD hay BC < BD Suy ra: OH > OK (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn). Vì BC < BD nên BC < BD (dây lớn hơn căng cung lớn hơn) Bài ỉập cơ bản a) Vẽ đường tròn tâm o, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có sô đo bằng 60°. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimét? b) Làm thế nào đế chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình vẽ 12? 11 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điếm A và B. Kế các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điếm thứ hai của AC với đường tròn (O’). So sánh các cung nhỏ BC, BD. Chứng minh rằng B là điểm cìiínli giữa cúa cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: BE = BD) • 12 các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H 6 BC, K e BD). Chứng minh rằng OH > OK. So sánh hai cung nhỏ BD và BC. Chứng minh ràng: trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. a) Chứng minh rằng đường kính đi qua diêm chính giữa của một cung thì đi qua trung diêm cua dây căng cung ây. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện đế mệnh đề đảo đúng. 13. 14. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điếm D sao cho AD - AC. Vẽ đường tròn tâm o ngoại tiếp tam giác DBC. Từ o lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H 6 BC, K e BD). Chứng minh rằng OH > OK. b) Chứng minh ràng đường kính đi qua điếm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ây và ngược lại. Giải a) Vẽ đường tròn (O; R). Vẽ góc ở tâm có số đo 60°. Góc này chắn cung AB có sô đo 60° (hình a). Tam giác cân OAB có ô = 60° nên là tam giác đều, suy ra AB = R. b) Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng sđ AB = 60". Sô" đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là 360° : 60° = 6. Suy ra được 6 cung tròn bằng nhau trên đường tròn. Từ đó suy ra cách vẽ như sau: Vẽ 6 dây cung bằng nhau và bằng bán kính R: AịA2 - A2A3 - A3A4 - A4A5 - AgAg - AgAj - R Từ đó suy ra 6 cungjoang nhau: 11. a AjA2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = AgA, Hai tam giác vuông ABC, ABD bằng nhau vì có cạnh huyền bằng nhau và cạnh góc vuông AB chung. Suy ra CB = , BD. Mà hai đường tròn (O), (O’) bằng nhau nên BC = BD • b) E nằm trên đường tròn đường kính AD nên AED = BC = BD (chứng minh trên)'nên EB là trung tuyến giác ECD vuông tại E, và ta có EB = BD. Vậy BE = BD và B là điểm chính giữa cung EBD - a) Trong AABC, có BC < BA + AC. Mà AC = AD suy ra BC < BD. ( K. Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, ta có OH > OK. b) Vì BC < BD suy ra BQ •< BD. • Trường hợp-tâm o ngoài hai dây song song A (hình a) kẻ đường kính MN // AB, ta có: Â = ẤÕM, B = B0N (các góc so le trong) Mà A = B (AOAB cân) Vậy: AOM = BON suy raj_AM^_BN (1) 90°. Do của tam Lí luận tương tự, ta có: CM = DN (2) Vì c nằm trên cung AM và D nằm trên cung BN , từ (1) và (2) suy ra: AM-CM = BN-DN AC = BD • • Trường hợp tâm o nằm trong hai dây song song (hình b) ké đường kính MN // AB // CD. Chựng minh tương tự ta có: AM = BN (3) CM ^DN (4) Vì c nằm trên cung AM , D nằm trên cung BN nên từ (3) và (4) suỵra: AM+MC=BN+DN hay AC = BD Hình b 14. a) IA = IB đường kínlì qua I cát AB tại H. KL HA = HB Chứng minh: LA =IB suy ra IA = IB. Lại có OA = OB. Vậy đường kínhTK là đường trung trực của AB, suy ra HA = HB. Mệnh đề đảo: GT HA = HB đường kính qua H, cắt cung AB tại I. KL IA = IB Chứng minh: Tam giác cân OAB cho ta Oi = 0-2, từ đó suy ra IA = IB . Vậy mệnh đề đảo cũng đúng. Điểu kiện hạn cliế: Dây AB không đi qua tâm o. b) • GT IA = IB đường kính qua 1 cắt AB tại H. IK1AB_ Chứng minh: IA = IB suy ra IA = IB. Lại có OA = OB. Vậy đường kính IK là đường trung trực của AB, suy ra IK 1 AB. KL GT đường kính IK vuông góc với AB tại H. KL IA = IB Chứng minh: Tam giác cân AOB có OH là đường cao cũng là phân giác nên ôi = 02, suy ra IA = IB • Bài tập tương tự Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong dubng tròn (O). Biêt Ẵ = 50°. Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC ■