Giải Toán 9: Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

§4. GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYÊN VÀ DÂY CUNG
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Định nghĩa
Góc BAx có đinh A nằm trên đường tròn, cạnh Ax là một tia tiếp tuyên còn cạnh kia chứa dây cung AB.
Ta gọi BÃx lừ góc tạo bởi tiếp tuyên và dây cung.
Định lí
bi.
Sô đo của góc tạo bới tiếp tuyến và dây cung bằng nửa sô đo cùa cung bị chắn sđBÃx = -sđẤB
Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung .hì bằng nhau.
B. Ill fỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn, ỉlai tiếp tuyến này gặp đường tròn (O) ở c và gập đường tròn (O') ớ D. 	
Chưng .minh rằng CBA = DBA .
Giải
\ABC và \DBA có: Ai = D (góc giừa tia tiép tuyến và một dây và góc nội tiêp cùng chắn cung AB)
C = Â- (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung AJ3).
Hai tam giác này có các cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cùng bang nhau, do đó CBA = DBA •
Bai tập cơ bản
Cho dường tròn tâm o, đường kinh AB. Lây diêm p khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao diêm của AP với tiếp tuyến tại B cua dường tròn.
Chứng minh ÀPO = PBT.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cat nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A cua dường tròn (O') cat dường tròn (O) tại diêm thứ hai p. Tia
PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thắng AQ song song với tiếp tuyến tại p cùa đường tròn (O).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiêp tuyến kẻ từ A đối
với đường tròn jO’) cắt (oì-tại c và đối với đường tròn (O) cắt (0‘) tại D. Chứng minh CBA = DBA .
Chứng minh định lí dáo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thê là:
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nừa số đo cúa cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiêp tuyến cua đường tròn (h.29).
Gợi ý: Có thê’ chưng minh trực tiếp hoặc chưng minh bằng phản chứng.
(2)
(3)
(1)
Giải
PBT là góc tạo bởi tiếp tuyến BT và -dây cung BP.
PBT - ị sdPmB	(1)
	 2
PAO là góc nội tiếp chắn cung PmB
PÃỒ = ịsđPmB 	2 	2
Lại có: PAO = APO (XOAPcân)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: APO - PBT
Nối AB. Ta có: AQB = PQB
(cùng chắn cung và có sô đo bằng ỉsđAmB)
cát tuyến đi qua A và giả sử nó cắt (O) tại c thì	/1"-'--', > r
BAC là góc nội tiếp và BAC < -^sđAB.
Điều này trái với giả thiết (góc đã cho có số đo bằng	Hình 1)
— sđAB). Vậy cạnh kia không thế là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến Ax.
Bài tập tương tự
Cho ba điếm A, B, c thẳng hàng theo thứ tự đó và dựng các đường tròn đường kính AB, BC. Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC tại D; tiếp tuyến này cắt đường tròn đường kính AB tại E.
Chứng minh BD là tia phân giác góc EBC.
LUYỆN TẬP
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. c cắt nhau ở A. Tính ABC, BAC ■
Cho đường tròn tâm o đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn Lại p cắt đường thắng AB tại T (điểm B nằm giữa o và T). Chứng minh BTP + 2.TPB = 90".
Cho A, B, c là ba diêm trên một đường tròn. At là tiêp tuyên cùa đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N.
Chứng minh AB.AM = AC.AN
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bén ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kế tiếp tuyến MT và cát tuyết MAB.
Chứng minh MT2 = MA.MB.
35. Trên bờ biên có một ngọn hái đàng cao 40m. Với khoang cách bao nhiêu kilômét thì người quan sát trên tàu bat dầu trông thấy ngọn đèn này, biết răng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biên và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km (h.30)?
Hướng dẫn: Ap dụng kết quả của bài tập 34.	Hình 30
Giải
ABC là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BC cua (O). Dây BC = R suy ra
__BC-60" và Jyjc = 30".
BAC = 180° - BQC =180" - 60° = 120" (tống các góc của một tứ giác bằng 360°).
Ta có TPB là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của đường tròn (0).
nên TPB = ^sđBP (cung nhỏ BP) (1)
Lại có: BOP = sdBP	(2)
(góc ở tâm và cung bị chắn có cùng số đo)
Từ (1) và (2) suy ra BOP = 2.TPB
Trong tam giác vuông TPO (OP -L TP vì TP là tiếp tuyến) ta có:
_ BTP = BOP = 90" hay BTP + 2.TPB = 90°
Ta có M = BAt (so le trong) (1)
___ BAt = C	(2)
(BAt là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung AB;C là góc nội tiếp chắn cung AB)
Từ (1) và (2) suy ra:
M = C	 (3)
Xét hai tam giác AMN và ACB. Chúng có:
Achung M = c
Vậy AAMN ~ AACB, từ đó = ——, suy ra: AB.AM = AN.AC _ 1 AB AC
Xét hai tam giác BMT và TMA, chúng có:
M chung
B = T(cùng chắn cung nhỏ AT)
MT MB
nên ABMT ~ ATMA, suy ra = — hay MT2 = MA.MB
Vì cát tuyến MAB kẻ tùy ý nên ta có thế nói đẳng thức MT2 = MA.MB luôn luôn đúng khi cho cát tuyến MAB quay quanh diêm M.
Áp dụng kết quả bài tập 34, ta có:
MT2 = MA.MB MT2 = MA(MA + 2R)
Thay sô vào đẵng thức trên và lấy đơn vị là km, ta có: M MT2 = 0,04(0,04 + 12.800)
MT = 23 (km)
Cùng tính tương tự ta có:
M’T2 = 0,01(0,01 + 12.800)
MT = 11 (km)
Từ đó: MM’ = MT + MT = 23 + 11 = 34 (km)
Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.