Giải Toán 9: Bài 3. Góc nội tiếp

§3. GÓC NỘI TIẾP
Ạ. KIẾN TI lức Cơ BẤN
Định nghĩa
Góc nội tiếp là góc có đinh năm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó.
Cung nằm bèn trong góc là cung bị chấn.
Định lí
Trong một đường tròn, sô đo cua góc nội tiêp bằng nửa sô đo cùa cung bị chắn.
sđBÃC = ịsđBC
Hệ quả	2
Trong một đường tròn:
Các góc nội tiếp bằng nhau chán các cung bằng nhau.
Các góc nội tiếp chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Góc nội tiếp (nhó hơn hoặc bằng 90") có sô đo bằng nứa sô’ đo cua góc ở tám cùng chắn một cung.
Góc nội tiếp chấn nứa đường tròn là góc vuông.
B. IIƯỚNG DẨN GIẦI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho dường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CI). Trên cung AB lây một diêm M. Chứng minh rằng: AMC = BMD
Giải
Ta có: AB//CD (gt)
nôn AC = BD (hai cung chắn giừa hai dãy song song thHiang nhaut_^
Mà AMC chan AC BMDchan BD__
Vậy AMC=BMD (hai góc nội tiêp cúng chắn
hai cung bằng nhau cua một đường tròn thì bằng nhau).
2. Bài tập cơ bản
Các khang định sau dãy dung hay sai?
Trong một đường tròn, các góc nội tiêp cùng chan một cung thì bằng nhau.
Trong một đường tròn, các góc nội tiép bằng nhau thì cung chan một cung.
Xem hình 19 (hai dương tròn có tám là B. c và diem B nam trẽn dường tròn tâm C).
a) liiẽt MAN - ,30 . tinh PCQ.
Hint, 111
ọn
b) Nêu PCQ = 136' thì MAN có sô đo là bao nhiêu?
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chi dùng êke thì phai làm như thê nào?
Một huấn luyện viên cho cầu thu tập sút hóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ứ các vị tri A-, B, c trên một cung tròn nhu' hình 20.
Hãy so sánh các góc PAQ, PBQ, PCQ-
Giải
a) Đúng (theo hệ qua a). h) Sai, vì trong một đường tròn có thê có các góc nội tiẽp hằng
nhau nhưng không cùng chán một cung.
Vận dụng định lí sô đo cua góc nội tiêp hang nứa sô do của cung bị chắn, ta có:
MÃN= 30" => MBN = 60 => pVQ= 120'
PCQ = 136' => MBN = 68" => ÁĨÃN = 34"
17
Vận dụng hệ quả b, ta dùng êke như ở hình hên. Tâm đường tròn chính là giao diêm cùa hai cạnh huyền cua hai tam giác vuông nội tiếp trong đường tròn.
Vời các vị trí A, B, c trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiẽp PAQ. IT1Q. PCQcùng chan một cung PQ , nèn suy ra PAQ = PBQ = Í’CQ Vậy với các vị trí trên thì các “góc sút” dẽu hãng nhau, không có “góc sút” nào rộng hưn.
Bài tập tương tự
Cho \ABC nội tiếp trong dường tròn tàm o. Lây các diêm D, E, F thuộc đưừng tròn (O) sao cho AD = AB, BE = BC, CF = CA. Tính các góc cua \DEF hiêt A = 32", B = 84"-
Cho đường tròn tâm o có hai đường kính AB và CD vuông góc
nhau. Lây một diêm M trên cung'AC, tiêp tuyên tại M gập đường thang DC tại s. _	
Chứng minh rang MSD = 2MAB ■
LUYỆN TẬP
('ho dường tròn'tàm o, dường kính AB và s là một diêm nằm hên ngoài đường tròn. SA vá SB lấn lượt cat dường trim tại M. N. Coi H là giao diêm cua BM và AN. Chứng minh rang SH vuông góc vời AB. (’ho hai dường tròn (O) vá (O’) cat nhau tại A va B. Vè các dường kính AC và AD cua hai đường trim. Chứng minh rang ha diêm c. B, D thăng hàng.
Cho hai dường tròn hang nhau (0.1 và (04 cật nhau tại A va B. Vè đường thang qua A cat (O) tại M và cát (04 tại N (A nam giừa M và N). Hoi MBN là tam giác gì? Tại sao?
22. Trên đường tròn (O) đường kính AB, lây điểm M (khác A và B).
Vẽ tiêp tuyến của (0) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó
tại 'C. Chứng minh rằng ta luôn có:
MA2 = MB.MC
Cho đường tròn (O) và một điểm M cò định không nằm trên
đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thắng thứ nhất
cắt (0) tại A và B. Đường thẳng thứ hài cắt (0) tại c và D. Chứng
minh MẠ.MB = MC.MD.
Hướng dẫn: Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên
ngoài đường tròn. Trong mồi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng.
Một chiếc cầu được thiết, kế như hình 21
có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m.
Hãy tính bán kính của đường tròn chứa
cung AMB.
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền
dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm.
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường
tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung
23.
24
25
26
AC là s. Chứng minh SM = sc và SN = SA. 	__ Giải
BM 1 SA (AMB = 90" vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tương tự, có: AN 1 SB
Như vậy BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tâm.
Suy ra SH 1 AB.
(Trong một tam giác, ba đường cao đồng qui).
Nối B với ba điếm A, c, D ta có:
ABC = 90"
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ẤBD = 90"
(góc nộịtiếp chan nứa đường tròn)
Vậy: ABC = ABD = 180"
Suy ra ba điếm c, B, D thắng hàng.
Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau. Vì cùng căng dây AB.
Suy ra M = N (cùng chắn hai cung bằng nhau AB) nên ABMN là tam giác cân đinh B.
Ta có: \MAB ~ \MCA (Ẩ2 = C; B = Âi)
• MA MG
nên MB MA Suy ra MA2 = MB.MC.
Xét hai trường hợp:
M ở bên trong đường tròn (hình.a)
Xét hai tam giác MAB’ và MA’B chúng có:
Ml = M2 (đôi đỉnh)
B' = B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AA')
Do đó AMAB’ ~ AMA’B, suy ra:
MA MB' .	_
AT7- = m , đo đó MA.MB = MB’.MA MA MB
M ở bên ngoài đường tròn (hình.b)
AMAB’ ~ AMA’B
M chung B' = B vì cùng chắn AA ’)
MA _ MB ’
Suy ra: MA' - MB hay MA.MB = MA’.MB’
Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung
tròn là AMB..	A
Theo bài tập 23, ta có:
KA.KB = KM.KN
hay KA.KB = KMC2R - KM)
Tháy số, ta có:
20.20 = 3(2R - 3) do đó 6R = 400 + 9 = 409.
Vậy R =	~ 68,2 (mét)
_ 6
Cách vẽ như sau:
Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.
Vẽ nửa đường tròn đường kính BC.
Vẽ dây AB (hoặc dây CA) dài 2,5cm.
Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu cúa đầu bài (A = 9O',BC = 4cm, AB = 2,5 cm)
Ta có:
MA = MB (theo gt)
NC = MB (vì MN // BC)
Suy ra: MA = NC, do đó ACM = CMN
Vậy \SMC là tam giác cân, suy ra SM = sc.
Chứng minh tương tự, ta có ASAN cân, SN - SA.