Giải Toán 9: Bài 2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

§2. HÌNH NÓN - HÌNH NÓN CỤT - DIỆN TÍCH XUNG
QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN, HÌNH NÓN CỤT
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
1. Hình nón
Khi quay tam giác vuông góc AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình nón.
- Cạnh oc tạo nên đáy của hình nón, là một hình tròn tâm o.
Cạnh AC quét trên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của
nó được gọi là một đường sinh, chẳng hạn AD là một đường sinh.
A là đỉnh và AO là đường cao của hình nón.
Diện tích xung quanh, diện tích toàn phẩn của hình nón
Diện tích xung quanh của hình nón: s = 7irZ
Diện tích toàn phần của hình nón: St|j = 7irZ + 7ir2
(r: bán kính đường tròn đáy, Z: đường sinh)
Thể tích
Công thức tính thể tích hình nón: Vnón = — 7tr2h
Diện tích và thê tích hình nón cụt
S q = Tiừị + r2)Z
V = ^7th(r2 + r22 + qrj
3
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập tương tự
Nếu ta cho tam giác vuông ABC, với BC = 10cm, B = 60°, quay quanh
cạnh huyền BC thì diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo nên
sẽ bằng bao nhiêu?
Giải
Kẻ AD 1 BC.
Khi tam giác ABC quay quanh BC thì nó lx
tạo thành hai hình nón có đáy là hai hình
tròn bán kính r = AD = -—cm úp lên nhau. B
Diện tích xung quanh của hình tạo thành:
573
Sv„ - 7trZ, + 7trZy = 7ir(AB + AC) = 71
xq	I	z	2
(5 + 573)
Sv,
2571(73 + 3)
xq	2
■ cm
Thể tích của hình:
V = Ỉ7tr2h, + ^-7tr2h2 = -^7tr2(BD + DC) 3	3	3
1
= — 71
3
573
12571
(cm
.10
A. I6cm
D. 4cm
B. 8cm
c. -cm
Bài tập cơ bản
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh cùa hình lập phương bằng 1) (h.93). Hãy tính:
Bán kính đáy của hình nón.
Độ dài đường sinh.
Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn
bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy. Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.
Khi quay tam giác vuông đế’ tạo ra một hình nón như ở hình 87 SGK thì góc CAO gọi là nửa góc ở dính của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30", độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.
Hình ABCD (h.95) khi quay quanh BC thì tạo ra: A B
Một hình trụ
Một hình nón c. Một hình nón cụt
Hai hình nón
Hai hình trụ Hãy chọn câu trả lời đúng.
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình
quạt là 16cm, sô' đo cung là 120" thì độ dài đường sinh của hình nón là:
16
16
E. — cm
0
Hãy chọn kết quả đúng.
Hãy điền đủ vào các ô trống ờ bảng sau (xem hình 96):
Bán kính đáy r (cm)
Đường kính đáy d (cm)
Chiều cao h (cm)
Độ dài đường sinh I (cm)
Thê tích
V (cm3)
10
10
»
10
10
10
1000
10
1000
10
1000
35 cm
Hình 97
Hinh 96
Cái mũ của chú hề với các kích thước
cho theo hình vẽ (h.97). Hãy tính tổng
diện tích vải cần có để làm nên cái mũ
(không kể riềm, mép, phần thừa).
Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái
đồng hồ cát với các kích thước kèm theo
s
r-
R_.
f	X
— — — —
B-L
(AO = OB).	Hình 98
Hãy so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
Giải
15. a) Ta có đường tròn đáy của hình nón nội tiếp trong hình vuông của một mặt của hình lập phương. Do đó bán kính của hình tròn đáy của hình nón bằng một nửa của cạnh hình lập phương và bằng -■
b) Đỉnh của hình nón tiếp xúc với một mặt của hình lập phương nên đường cao của hình nón bằng với cạnh của hình lập phương và bằng 1.
Theo định lí Pitago, độ dài đường sinh của hình nón là:
16. Độ dài l của cung hình quạt tròn bán kính 6cm bằng chu vi đáy hình nón:
l = 2k.2 = 4 71
Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn x° ta có:
7tRx°
l =	= 4n
Suy ra: x°
180 4.180
6
= 120°
17. Theo đề bài: góc ở đỉnh của hình
nón là 60° nên suy ra đường kính
của đường tròn đáy của một hình
nón bằng a (do AACB đều). Vậy bán
kính đáy của hình nón là — .
Đường sinh của hình nón là a.
Độ dài cung hình quạt tròn n°, bán
kính a bằng chu vi đáy hình tròn nên ta có:
7ian
= 2jtỉ 2
180°
Suy ra n° = 180°
Gọi o là giao điểm của BC và AD.
Khi quay hình ABCD quanh BC thì có nghĩa là quay tam giác vuông OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh oc. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón. Vậy hình tạo ra sẽ là hai hình nón.
Vậy chọn D.
Theo bài 16 thì bán kính hình tròn chứa hình quạt bằng độ dài đường sinh của hình nón.
Đầu bài cho ta bán kính hình tròn chứa hình quạt là 16cm nên độ dài đường sinh của hình nón là 16cm. Vậy chọn A.
• Dòng thứ nhất:
d = 2r = 2.10 = 20 (cm)
Th2
-2 + r2
= 7l02 + 102 = 1072 (cm)
V = Ỵ-7tr2h - 7.102.10.7t = 103.7t.i (cm3)
Dòng thứ hai: r -
, . d 10 r hai: r = - = —- = 5 (cm)
l = 7h2 + r2 = 7l02 + 52 = 7Ĩ25 = 575 (cm)
V = 4nr2h = 4.7ĩ.52.10 - 250.71.-ị (cm3)
3	3	3
_ w 1 2k . Í3V /3.1000 ini3z__A Dòng thứ ba: Từ:V = -y7tr2h => r =	' p = 10 p (cm)
3	V 7th V 7t.lO	V 7t
d = 2r = 2.10^5 = 20^ (cm)
Dòng thứ tư: d = 2r = 2.10 = 20 (cm)
_ 3.1000	30
o
nr
I = yjh2 + r2 =
I = \Jh'~ + r2 = ^10’ + 102 — - 10^1 + — (cm)
tư: d = 2r = 2.10 = 20 (cm)
_ w 1 2k . K 3V Từ V = -T 7tr2h => h =
3
2k . k 3 V 3.1000 30 s r h => h - —— = ——— = — (cm)
30
71
102 = .10
7tr 10 7t 71
71
= lO.py + 1 (cm)
• Dòng thứ năm: r = 2 = 2 = 5 (cm)
, 3V 3.1000	120,	,
h = —7 = —- = —- (cm)
7tr	7t5	7t
Điền các số vào ô trống, ta được kết quả bảng sau:
r (cm)
d (cm)
h (cm)
l (cm)
V (cm3)
(10)
20
(10)
1072
102.7t.-
3
5
(10)
(10)
575
250.71.—
3
ioJĩ
N 7t
27I
(10)
(1000)
(10)
20
30
71
1OFỈ
(1000)
5
(10)
120
7t
(1000)
Diện tích vải cần có để làm nên cái mũ gồm diện tích xung quanh của hình nón và diện tích của vành nón.
Ta có bán kính đường tròn đáy của hình:
_ 35-10.2
r =	= 7,5 (cm)
Sv„ = n.r.ỉ = 71.7,5.30 = 225tt
sq	z__\2
35	n
s . .	= 7Ĩ ^2-	- 71.7,5” = 250ti
vannnon	9	’
k ỷ )
Vậy diện tích vải cần có là:
s = Sv„ + Svi, ,	= 22577 + 25071 = 4 75ti = 706,5 + 785 = 1491,5 (cm2)
22. Chiều cao của mỗi hình nón là: -g Thế tích của hai hình nón là:
2V ó = 2. |tiR2^ = ^^
nón	3	2	3
Thế tích của hình trụ:
. . ... 2V.
nên -n°n_
V.
trụ
V = 7iR2h
trụ
7ĩR“h
3 _ = i 3
7tR2h
3.
1.
2.
Bài tập tương tự
Cho hình nón có thế tích bằng 12ti dm3 và đường cao dài 4dm.
Tìm bán kính đáy hình nón.
Tìm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. Cho hình nón cụt với hai bán kính đáy lần lượt bằng 6cm và 10cm, đường sinh bằng 16cm.
Tính diện tích xung quanh.
Tính đường cao và thể tích hình nón cụt đó.
LUYỆN TẬP
Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (góc a của tam giác vuông AOS - hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16cm, sô' đo cung là 120°. Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:
A. A	B A	c. 72
4	2
D. 2V2
Hãy chọn kết quả đúng.
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy
là a, b (a < b) và độ dài đường sinh là I (a, b, l có cùng đơn vị đo).
Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài: cm): .
Hình
Bán kinh đáy r
Đường kính dãy (1
Chiếu
cao hình
nón h
Độ (lài đường sinh /
Thê
tích V
5
12
16
15
7
25
40
29
27. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình 100. Hãy tính:
quạt 360o
Diện tích xung quanh hình nón: s
Jt.z2
T
hình 102
Thế tích của dụng cụ này.
Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước cho ở hình 101 (đơn vị: cm).
Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
Khi xô chứa đầy hóa chát thì dung tích của nó là bao nhiêu?
Côi xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xéc-van-téc (Cervantès).
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h.102). Chiều cao của hình nón là 42cm và thể tích của nó là 17 600 cm3.
Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ sô thập phân thứ hai).
Giải
c 7tr2n° 7t.Z2.90 23. Diện tích hình quạt: Squạt = ogn0 =	36~
= Tt.r.z
7t.r.z -
Theo đầu bài ta có: Sv„ = s
quạt
Jt.z2
Vậy I = 4r
_• r 1 Suy ra sin a = - = —
Kí hiệu như hình vẽ. Ta có hai tam giác vuông AO’C và AOB đồng dạng vì có góc chung.
Nên
-A_’ = |^z1 =Ịi-Ịk
l-l, b ; b‘ b 1
Diện tích xung quanh của hình nón lớn: S	= 7i.r.z = 7i.b.z
xq nón lớn
Diện tích xung quanh của hình nón nhỏ:
^xqnónnhỏ Tt.r.Zj	71.a. -
■ I = 71
_2z
a I
a + b a + b Diệri tích xung quanh của hình nón cụt:
s„
S nAn = sxn nrtn )An
xq nón cụt	xq nón lớn
= 7tbZ - 71 -
xq nón nhó
2;	/	„2	\
a z	I,	a	'
b -
7iZ
Z’-Zi
^b2 + ab - a2 a + b
Til
\	u 7
• Dòng thứ nhất: d = 2r = 2.5 = 10
z = 7h2 + r2 = 7l22 + 52 = 7169 = 13
V = Ỉ7ir2h = ị.3,14.52.12 = 314 3	3
d 16 o
• Dòng thứ hai: r = — - — = 8
z = 7h2 + r2 = 7l52 + 82 = 7289 = 17
= ịĩtr2h = 4.3,14.82.15 = 1004,8
3	3
Dòng thứ ba: d = 2r = 2.7 = 14
h = l2 - r2 = 7252 - 72 = 7576 = 24
= ịnr2h = ị.3,14.72.24 = 1230,9
3	3
	 d 40
Dòng thứ tư: r = ^ = y- = 20
h = 7/2 - r2 •= 7292 - 202 = 7441 = 21
= ị 7tr2h = ị .3,14.202.21 = 8792
3	3
Điền các số vào ô trống, ta được kết quả bảng sau:
Hình
Bán kính đáy r
Đường kính đáy d
Chiều cao hình
nón h
Độ dải đường sinh ỉ
Thế . tích V
(5)
10
(12)
13
314
8
(16)
15
17
1004,8
(7)
14
24
(25)
1230,9
20
(40)
21
(29)
8792
a) Thể tích cần tính gồm một hình trụ, đường kính đáy l,4m, chiều cao 70cm = 0,7m, và một hình nón, bán kính đáy bằng bán kính đáy của hình trụ, chiều cao hình nón 0,9m.
Thể tích hình trụ: V. , = 7t.r2h = 7t.0,72.0,7 = 0,343n (m3)
Thể tích hình nón: V . = ỉ 7tr2h = rcO’ZjP-’9- _ QJ47 (m3)
,	-	- nón 3	3
Vậy thế tích cái phễu:
V = v,„, + V = 0,34371 + 0,147k = 0,49n (m:ì)
trụ	nón	7	7	7
b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích xung quanh hình nón. Đường sinh của hình nón là:
l = 7h2 + r2 = J0’9*	= Vĩ?3 = 1,14 (m)
Sxqtru = 27trh = 2.3,14. ^.0,7 = 3,077(m2)
Sx„nón = nrZ = 3,14.^4 j.1,4 = 2,506(m2)
Vậy diện tích mặt ngoải của phều:
s = s	.„ + Sv	= 3,077 + 2,506 = 5,583 (m2)
a) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình nón cụt
và diện tích hình tròn đáy có bán kính 9cm.
Đường sinh của hình nón lớn là l = 36 + 27 - 63 (cm)
Diện tích xung quanh của hình nón lớn, hình nón nhỏ:
s „ónU' = ml = 3,14 . 21 . 63 = 4154,22 (cm2)
s"2 = 3,i;.9.27 = 7gU3>
xq nõn nho	7	■
Diện tích xung quanh của hình nón cụt:
= S _ - S
xq nón cụt	xq nón lớn	xq nón' nho
Vậy diện tích xung quanh của xô là: 3391,2 (cm2) b) Chiều cao của hình nón lớn:
h = 7ô32 -212 = 73528 = 59,397 (cm)
Chiều cao của hình nón nhỏ:
h ’ = ự272 - 92 = 7648 = 25,456 (cm)
Thể tích của hình nón lớn:
Vnónlớn = jrcr2h = j.3,14.212.59,397 = 27416,467 (cm3) Thế tích của hình nón nhỏ:
Vnónnho = I Ttr '2 h ’ = I .3,14.92.25,456 = 2158,160(cm3)
Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là:
V = V,	- V
= 27416,467 - 2158,160 = 25258 (cm3)
= 25,3 (dm3)
22
Theo đầu bài ta có: V = 17600cm3, 71 = —, h = 42cm
Từ công thức V = -rcr2h ta suy ra r =
O
Thay số vào ta được:
r =	= 7400,36 « 20,01 (cm)
V 3,14x42	.
Vậy bán kính đáy'của hình tròn nón là r = 20 (cm).