Giải Toán 9: Ôn tâp chươmg IV
ÒN TẬP CHƯƠNG IV CÂU HỎI Hây phát biểu bằng lời: Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ. Công thức tính thê tích của hình trụ. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón. Công thức tính thể tích của hình nón. Công thức tính diện tích của mặt cầu. Công thức tính thế tích của hình cầu. Hãy nêu cách tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt. Trả lời a) Diện tích xung quanh hình lăng trụ thì bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao. Thế tích hình trụ thì bằng tích của diện tích hình tròn đáy nhân với đường cao. Diện tích xung quanh hình nón thì bằng — tích của chu vi đường xú tròn đáy với đường sinh. Thế’ tích hình nón bằng — tích của diện tích hình tròn đáy với chiều cao. Diện tích mặt cầu thì bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn. Thê tích hình câu thì băng — tích của diện tích hình tròn lớn với O bán kính. Chú ý: Vcjju = jitr3 = |*r2.r 7tr2 là diện tích hình tròn lớn. Cách 1: Ap dụng công thức Với hình nón cụt có các bán kính các đáy là rp r2, đường sinh l và chiều cao h thì: sx„ = ^ri + r2)-z = 7th(r2 + r22 + qr2) Như vậy: Diện tích xung quanh hình nón cụt thì bằng tích của số 7t với tồng hai bán kính và với đường sinh. Thế tích của hình nón cụt thì bằng — tích cùa số 71 với đường cao h và tông cúa bình phương các bán kính cộ.ng thêm tích cùa hai bán kính. Cách 2: Vì hình nón cụt được cắt ra từ hình nón nên ta có thế tính = V - V ’ nõn cụt lion lớn nón nho xq nón cụt nón lớn ^x<| nón nho BAI TẬP Hãy tính thê tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114. Hình 114 Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này. Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115. Cho ba điểm A, o, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a, OB = b (a, b cùng đơn vị: cm) Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng phía với AĐ. Qua o vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở c, By ở D (xem hình 116). Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi. Tính diện tích hình thang ABDC khi COA = 60". Với COA = 60° cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính ti số thế tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành. Hãy tính thế tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.Ị17) B b) Hình 117 Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.l 18) (đơn vị: cm) c) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm o, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng: Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thế tích hình nón do tam giác đều sinh ra. r cm Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón. Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính: o Thế tích hình cầu. Thể tích hình trụ. Hiệu giữa thể tích hình trụ và thế tích hình cầu. Hình 120' Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm. Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng. Giai Thể tích phần cần tính gồm: Thể tích hình trụ (một đáy) đường kính đáy llcm, chiều cao 2cm (Vj) Thể tích hình trụ (một đáy) đường kính đáy 6cm, chiều cao 7cm (V2) Ta có: V, ]J.2 = 3,14.i|i.2 = 189,97(cm3) v2 = 7I^2.7 = 3,14.^.7 = 197,82(cm3) Vậy thế tích của chi tiết máy là: V ■’ = V, + V2 = 189,97 + 197,82 = 387,79 (cm3) • Diện tích cần tính gồm: Diện tích hình tròn đáy có đường kính llcm: S2. = 7t — Diện tích xung quanh hình trụ có đường kính đáy llcm, chiều cao 2cm: S) = 27ify J.2 = 69,08 (cm2) : 94,99 (cm ) Diện tích một phần hình tròn là hiệu giữa diện tích hình tròn đường kính llcm và diện tích hình tròn đường kính 6cm. S.3 = Í= 3,14(5,52 - 32) = 66,73 (cm3) s„ =2rc Diện tích xung quanh hình trụ đường kính đáy 6cm, chiều cao 7cm. 6 1.7 = 2.3,14.3.7 = 131,88 (cm2) Diện tích hình tròn đáy có đường kính 6cm: s5 = 7^-jj = 3,14.32 = 28,26 (cm2) Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là: s = s, + s2 + s:j + s4 + s5. = 390,94 (cm2) Theo đề bài ta có: 2(AB + AD) = 6a ÍAB + AD = 3a AB.AD = 2a2 [AB.AD = 2a2 . Xem AB và AD như là các ấn thì chúng sẽ là các nghiệm của phương trình bậc hai: X2 - 3ax + 2a2 = 0 (Tìm hai sô khi biết tổng và tích của chúng). Giải phương trình bậc hai này ta có: AB - 2a và AD - a (vì AB > AD) Diện tích xung quanh của hình trụ là: s = 27tAB.AD = 4ĩta2 Thể tích của hình trụ là: V = 7t.AD2.AB = 2na3 a) Diện tích toàn phần cần tính gồm: Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh 5,6m và bán kính đường tròn đáy 2,5m (Sxq) Diện tích hình tròn ban kính là 2,5m. (S(1) Ta có: sxq = 77.2,5.5,6 = ^.2,5.5,6 = 44 (m2) sd = 71.(2,5)2 = y.6,25 = 19,64 (m2) Vậy stp = Sxq + sd = 44 + 19,64 = 63,64 (m2) b) Tương tự, ta có: 22 Sv„ = 71.3,6.4,8 =-^-.3,6.4,8 = 54,25 (m2) xq ’ ’ 7 ’ ’ J \ / 99 sd = 71.3,62 = y12>96 = 40>69 (m2) VậyStp = Sxq + sđ = 54,31 + 40,73 = 94,94 (m2) a) Ta có: AOC = BDO (cùng phụ BOD) Các tam giác vuông AOC và BDO có một góc nhọn bằng nhau: . AC OB AC b AOC = BDO nên chúng đổng dạng, ta có: — = — hay — = ——, AU BD a BD suy ra: AC.BD = ab (không đổi) b) Khi AOC = 60° thì AAOC là nửa tam giác đều, cạnh ọc, chiều cao AC. Thay giá trị này vào (*) ta có BD = Vậy: oc = 2AO = 2a; AC = QC^3 = a7ã 2 , " bV3 nên: ■'ABCD AC + BD AB a-ự3 + ■ bVã -2— (a + b) = 3a vĩĩ + bVs (a + b) r- r- 6 = —^-(3a + b)(a + b) = —|-(3a2 + b2 + 4ab) 6 6 c) Khi quay hình vẽ xung quanh cạnh AB: AAOC tạo nên hình nón, bán kính đáy là AC, chiều cao AO; ABOD tạo nên hình nón, bán kính đáy BD, chiều cao OB. Thế tích hình nón bổn kính đáy AC là: V =ịrcAC2.AO 3. Thế tích hình nón bán kính đảy BD là: V, =4tiBD2.OB 3 Tỉ số thế tích là: v -!-77AC2.AO V. 3 v2 ịnBDÍOB 3 AC2.AO (aự3)2.a 3a3 a3 BD2.OB _ 7 V /0 )2 ■ b3 " b3 42. a) Thế tích của hình cần tính gồm: Một hình trụ đường kính đáy 14cm chiều cao 5,8cm (Vj). Một hình nón đường kính đáy 14cm chiều cao 8,lcm (V2). Ta có: V, = 7ir2h = 77 14 V 1.2,1 „ v„ = — 7ir h = — .71 2 3 3 .5,8 = 284,271 (cm3) \2 14 .8,1 = 132,371 (cm3) Thể tích của hình cầu: V = V, + v2 = 284,271 + 132,371 = 4 16,5tc ' 1307,877 (cm3) b) Thế tích cần tính là một hình nón cụt, chiều cao 8,2cm; bán kính đường tròn của đáy trên và đáy dưới theo thứ tự là 3,8cm và 7,6cm. Cách tính là lấy thể tích hình nón lớn trừ đi thế tích hình nón bé. Thế tích hình nón lớn: = 471.7,6-(8,2 + 8,2) = ị 77.(7,6)2.16,4 = 315,7577 (cm3) lởn 3 3 Thể tích hình nón nhỏ: Vh„ = 4 77.3,82.8,2 = 39,4777 (cm3) nhó 0 ’ ’ Thê tích cần tính là: = V - = 315,7071 - 39,4771 = 276,2877 « 867,5277 (cm3) 43. a) Thê tích của hình cần tính gồm thê tích cùa một hình trụ cộng với thế tích cúa một nửa hình cầu. Thế tích hình trụ: V, - " .8,4 - 333,3977 (cm3) J 12422 (12,6? _ '.3. Thê tích nửa hình cầu: V9 _ 2^’ 3 ’ 7 2 I ~ 166,70 (cm ) Thê tích của hình: = V, + V, = 1047,8 + 523,9 = 1571,7 (cm3) = 333,3977 + 166,7077 = 500,1 = 1570,31 (cm3) Thế tích của hình cần tính gồm thế tích cúa một hình nón cộng với thế’ tích của hình cầu. Thể tích hình nón: V = i.44.6,92.20 = 317,4ti (cm3) 1 3 7 . 14 9 9 Thể tích nủa hình cầu: V., = 4.4.44.6,9'3 = 21971 (cm3) 444, , , 2 2 3 7 Thê tích của hình: V = V] + v2 = 317,4tt + 21971 = 536,471 = 1684,3 (cm3) Thể tích của hình cần tính gồm: Thế tích một hình nón (V.) Thể tích một hình trụ (VỌ Thể tích nửa hình cầu (V.) Ta có: V, 1 22 _ 16 ,3. .2 .4 ===-71 (cm ) 3 7 3 =’22 22.4 = lg7i (cm3) 2 7 3 2 3 Thế tích hình cầu: 1 4 22 7 16 3 V., = —,23 = 44 ít (cm3) V = V, + v2 + v3 16 16 80 -7- 71 + 1671 + -7- 71 = -2- 7i(cm ) « 83,73 (cm " 3 3 ^3 44. Khi hình vẽ quay quanh trục GO thì: a) Thế’ tích hình trụ sinh ra bởi hình vuông ABCD là: V = 7Ĩ AB 2 ,CB = 7Ta/2R3 Thể tích hình cầu: V, = 4 71R3 3 Thể tích hình nón: - Rõ ràng rằng: V2 = .GH = |kR’ Rõ ràng răng: V2 - V] X V2 b) Diện tích toàn phần của hình trụ: AB s = 27r.44.BC + 2tt 2 Diện tích mặt cầu: s, = 47iR2 Diện tích toàn phần của hình nón: <AB l 2 3tiR- S2 =71 Rõ ràng 'Sz = s, X s., ¥”■■(?) 9ttR- 45. a) Hình cầu bán kính r, vậy thế’ tích của nó là V = — 7rr3 ỉ lình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng 2r. Vậy thể tích cua nó là’: V, = Jir-.2r = 2xr Thế tích hình trụ trừ đi thê tích hình cầu: V., = V, - V = f 7tr:i 3 Thế tích hình nón có bán kính đáy r, chiều cao 2r: V, = ^r-.2r = |xr;! 3 3 Từ các kết quả trên suy ra: Thế tích hình nón “nội tiếp” trong một hình trụ thì bằng thế tích hình trụ trừ đi thể tích hình cầu nội tiễp trong hình trụ ấy