Giải Toán 9: Bài 6. Cung chứa góc

  • Bài 6. Cung chứa góc trang 1
  • Bài 6. Cung chứa góc trang 2
  • Bài 6. Cung chứa góc trang 3
  • Bài 6. Cung chứa góc trang 4
  • Bài 6. Cung chứa góc trang 5
§6. CUNG CHỨA GÓC
A. KIẾN THỨC Cơ BẲN
Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh một quỹ tích (tập hợp) các điếm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chát T.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H.
Quỹ tích “cung chứa goc”
Quỹ tích (tập hợp): Các điếm M tạo với hai nút
của đoạn thẳng AB cho trước một góc ẤMB c° sô đo a cho trước (0° < a < 180°) là hai cung tròn có sô đo 360° - 2cc đối xứng với nhau qua AB.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Giải
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta có:
Il + I2 — Bi + Ai + Cl + A2 hay ĩ =	90u	+ Â2
Vậy: BIC = 90° + — không đối.
a
Điểm I nhìn đoạn thẵng BC cố định dưới góc 90" + — không đổi
nnn a	•>	__
nên quỹ tích của I là cung chứa góc 90” + — dựng trên đoạn thang BC (hai cung đối xứng nhau qua đường thẳng BC).
Bài tập Cơ bản
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điếm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điếm o của hai đường chéo của các hình thoi đó.
Dựng một cung chứa góc 55° trên doan_thang AB = 3cm.
Gọi cung chứa góc 55° ở bài tập 46 là AmB . Lấy điểm M1 nằm bên trong và điểm Mọ nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho Mj, M9 và cung AmB nằm cùng một phía đôi với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
AMpB > 55°	b) AM2B < 55°
Giải
Theo tính chất_củajgóc ngoài tam giác, ta có:
II = A2 + Bi	(1)
Ĩ2 = Â2 + Cl '	(2)
Cộng (1) và (2)^vế với V&
Il + L = A| + A2 + Bi + Ci Hay	I = 90° + 45° = 135°
Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135° không đổi, vậy quỹ tích của I là cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng BC (một cung).
Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm o nhìn AB cố định dưới góc 90°. Quỹ tích của o là nửa đường tròn đường kính AB.
Trình tự dựng như sau:
Dựng đoạn thắng AB - 3cm (dùng thước đo chia khoáng mm).
Dựng góc xAB = 55" (dùng thước đo góc và thước thẳng).
Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke).
Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chia khoảng và êke). Gọi o là giao điểm của d và Ay.
Dựng đường tròn tâm o, bán kính OA (dùng compa).
Ta có: AmB là cung chứa góc 55° dựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung).
a) M1 là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc 55° (h.a). Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm M.A, MjB với cung tròn. Vì AMjB là góc có đinh nằm trong đường tròn, nên:
,-777; sđ(AB + A'B') sđAB sđA'B'
AM,B =	——	- " - + ——
1 2 2 2
= 55° + (một số dương)
Vậy AM?B > 55°
Mọ là điểm bát kì nằm ngoài đường tròn (h.b),
M2A và M2B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì AM2B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên:
sd(AB - ATT) sdAB sdATV am2b =	—-	= —77	—7-—
2. , 2 2 = 55° - (một số dương)
Vậy ÃmỊb < 55°
Bài tập tương tự
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm D. Trên dây BD lấy điểm M sao cho DM = DC.
Chứng minh rằng tam giác MCD là tam giác đều.
Tìm quỹ tích các điểm M khi điếm D di động trên cung nhỏ AC.
LUYỆN TẬP
Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến v'ới các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, A = 40° và đường cao AH = 4 cm.
Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.
Chứng minh AIB không đổi.
Tìm tập hợp các điểm I nói trên.
Cho I, o lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60° • Gọi H là giao điếm của các đường cao BB’ và CC’.
Chứng minh các diêm B, c, o, H, I cùng thuộc một đường tròn.
“Góc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khấc trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11 mét.
Giải
- Trường hợp các đường.tròn tâm B có bán kính BA. Tiếp tuyến AB vuông góc với bán kính BT tại tiếp diêm T.
Do AB cô định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.
- Trường hợp đường tròn tâm B có bán kính lớn hơn BA: quỹ tích là tập hợp rỗng.
Trình tự dựng gồm ba bước:
Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.
Dựng cung chứa góc 40° trên đoạn thẳng BC.
Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:
Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH’ = 4cm (dùng thước có chia
khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH’ tại H (dùng êke).
Gọi giao điểm của xy và cung chứa góc là A và A' •
Khi đó tam giác ABC hoặc A’BC đều thỏa mãn yêu cầu của đề toán.
a) Vì BMA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn), suy ra trong tam giác vuông MIB
có :tgẤĨB =	= ị => ẤĨB = 26°34'
Z-L	MI 2
Vậ'y AIB là một góc không đối. b) Pliần tliuận:
Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cô định dưới góc 26°34', vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26°34' dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung AmB và AmT) )•
Phần đảo:	'	'	_
Lây điểm I’ bất kì thuộc AmB hoặc Am'B. TA cắt đuờng tròn đường kính AB tại M’.
Trong tam giác vuông BMT, có tgl' = M, i; = tg26°34'
Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung AmBvà Am'B-
Ta cố: BOC = 2.BAC = 2 . 60° = 120°	(1)
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
và BHC = B'HC' (đôi đinh) mà BJHC ’ = 180° - Â = 180° - 60u = 120° nên BHC = 120° ~ o
BĨC = Â + 5đ_2
= 60° + 18Q0 - 60 = 60° + 60°
(sử dụng góc ngoài của tam giác).
Do đó BIC = 120°
Từ (1), (2), (3) ta thấy các điếm o, H, I cùng nằm trên cung chứa góc
120° dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điếm B, c, 0, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Gọi vị trí đặt quả bóng đê sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ. Gọi H là trung điểm PQ, PMH = a •
tga =	= 0,333
11
a - 18"36'
Theo các giả thiết đã cho thì trong tam giác vuông MHP, ta có
Vậy góc sút phạt đền là 2a ~ 37°12'.
Vẽ cung chứa góc 37°12' dựng trên đoạn thắng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có “góc sút” như quả phạt đền llm.