Giải Toán 9: Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai

  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 1
  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 2
  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 3
  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 4
  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 5
  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 6
  • Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai trang 7
§7. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC HAI
A. KIẾN THỨC Cơ BẤN
Phương trình trùng phương
• Phương trình trúng phương là phương trình có dạng: ax’ + bx2 + c = 0 (a = 0)
» Giai phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a * 0):
 0.
+ Giai phương trình at2 + bt + c = 0.
+ Với mỗi giá trị tìm được cùa t, lại giái phương trình X2 = t .
Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định cùa phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.
Biỉớc 3: Giài phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn. loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Giải các phương trình:	15	2
X4 - 5x
 Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện X + ±2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là Xj = 3, x2 = -5.
 +4 = 0	b) 3x4 + 4x2 + 1 = 0 c) —	— = 1
r'lj ’ •	X — 4 X — 2
Giai
Đặt X2 = t. Điều kiện t > 0.
Thay X2 = t vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai với ẩn t: t2 - 5t + 4 = 0
Phương trình cóa + b + c= l- 5 + 4 = 0 nên tj = 1, t2 = 4 đều thỏa mãn t > 0 với tj = 1 ta được X2 = 1 suy ra X = ±1 với t2 = 4 ta được X2 = 4 suy ra X = ±2
Vậy phương trình có bốn nghiệm: xt = 1, x9 = -1, x3 = 2, x4 = -2
Đặt X2 = t (t > 0) thay vào phương trình đã cho ta đươc:
3t2+4t+l=0
Phương trình cóa-b + c = 3- 4 + l= 0 nên tj = -1, t2 = - —
Vì t > 0 nên tp t9 đều không không thõa. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Điều kiện X2 - 4 + 0 hay X2 + 4 hay X + ±2 Mẫu thức 'chung X2 - 4
Khử mẫu và biến đổi ta được: 15 - 2(x + 2) = X2 - 4 » 15 - 2x - 4 - X2 + 4 = 0 ~x2 - 2x + 15 = 0 X2 + 2x - 15 = 0
Giái phương trình X2 + 2x - 15 = 0 T.a có: a = 1, b’ = 1, c = -15 nên \’ = l2 - (-15) = 16 =z> ạ/Ã = 4
Bài tập co bản
b) 2x	-X2 - X + 2	.
—— =	. Điêu kiện: X + -1, X + -2
I x + 1 (x + l)(x + 2)	■
Phương trình tương đương 4(x + 2) = -X2 - X + 2
 4x + 8 = 2 - X2 - X X2 + 5x + 6 = 0
 - 3x2 - 2 = 0
b) (2x2 + X - 4)2 - (2x - 1)2 = 0
Giải các phương trình trùng phương
X4 Giải ra ta được: Xj = -2 không thỏa mcãn điều phương trình chỉ có một nghiệm X = -3.
3x2 - 5x + 1 = 0
o
 2 - 4 = 0
(2x2 + X - 4)2 - (2x -1)2 = 0
 — 5x2 + 4 = 0
3x4 + 10x2 + 3 = ó
Giải các phương trình:
(x + 3)(x - 3)
	+ 2 = x(l - x)
_ -X2 - X + 2
X + 1 — (x + l)(x + 2)
Giải các phương trình:
(3x2 - 5x + l)(x2 - 4) = 0
Giải
X4 - 5x2 +4 = 0. Đặt X2 = t > 0, ta có: t2 - 5t + 4 = 0; tj = 1, t2 = 4 nên: Xj = -1, x9 = 1, X3 = -2, x4 = 2
(x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x - 5)
 4 - X2 - 3x2 + 21x - 30 = 6x - 30 4x2 - 15x -4 = 0
36. a) (3x2 - 5x + l)(x2 - 4) = 0 
kiện cùa ân nên
5± 7Ĩ3 X =	7	
6
X = ±2
A = 225 + 64 = 289,TÃ = 17
 (2x2 + X - 4 + 2x - 1 )(2x2 + X - 4 - 2x + 1) = 0
9	„	i 2x' + 3x - 5 = 0
 (2x2 + 3x - 5)(2x - X - 3) = 0 ị
Í 2x- - X 3 = 0
Xj - 1 ; x2 - 2,5 ; Xg - 1 ; x4 - 1,5
B. BÀI TẬP TƯƠNG Tự
Giải các phương trình trùng phương:
a) 2x4 + 7x2 + 3 = 0	b) 3x4 - 5x2 -2 = 0
c) X4 - 13x2 + 36 = 0	- d) 9x4 + 6x2 + 1 = 0
Giải các phương trình có ân ở mầu:
a)
c)
45 <.18
X + 6 X 2x + 5 _ 3x + 3 4x-3= 7-X
b)
d)
2(x-l) X2 — 1
J.
4
LUYỆN TẬP
Giải phương trình trùng phương: a) 9x4 - 10x2 + 1=0
■ c) 0,3x4 + l,8x2 + 1,5 = 0
Giải các phương trình: a) (x - 3)2 + (x + 4)2 = 23 - 3x
i«i.(x - l)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)
14	,	1
b) 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - X2
d) 2x- +1 =±-4 X
b) X3 + 2x2 - (x - 3)2 = (x - 1 )(x2 - 2)
d)
x(x-7)
x-4
14	_ 1	Ị_	2x _ X2 - x + 8
X2 - 9 _	3-x	X + 1 ~~ (x + l)(x - 4)
39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:
' a) (3x2-7x-10)[2x2 + (1 - 7õ)x + Võ - 3] = 0 b) X3 + 3x2 - 2x - 6 = 0
(x2 - l)(0,6x + 1) = 0,6x2 + X
(x2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2
40. Giái phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0 b) (x2 - 4x + 2)2 + X2 - 4x - 4 = 0
_	r-r	■	X 1 n X + 1	„
X - Vx = õVx + 7	đ) x + 1 - 10. X - 3
Hướng dẫn: a) Đạt t = X2 + X, ta có phương trình 3t2 - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mồi giá trị cua t vừa tìm được vào đẵng thức t = X2 + X, ta được một phương trình cua ẩn X. Giái mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị cua X.
,	„ „ x X + 1 x _ X
Đặt —	= t hoặc ——— - t.
X	' X + 1
Giải
a) 9x4 - 102 + 1 = 0. Đặt t = X2 > 0, ta có: 9t2 - lot + 1 = 0.
“ , _ ' - - , ~ .	1
Vì a + b + c = 9 - 10 + 1 = 0 nên tj = 1, C = 77 •
11 9
Suy ra: X; = -l,x2 = l,x.. = -|>x4 = ị
5x4 + 2x2 - 16 = 10 - X2 « 5x4 + 3x2 - 26 = 0.
Đặt t = X2 > 0, ta có: 5t2 + 3t - 26 = 0
A = 9 + 4.5.26 = 529 = 232; tj = 2, t2 = -2,6 (loại). Do đó: X, = 72, x2 = -72
0,3x4 + l,8x2 + 1,5 - 0 X4 + 6x2 + 5 = 0. Đặt t = X2 > 0, ta có:
t2 + 6t + 5 = 0, tj = -1 (loại), t2 = -5 (loại).
Phương trình vô nghiệm.
Chú ỷ: Cũng có thế nhận xét rằng vế trái X4 + 6x2 + 5 > 5, còn vế ■phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.
đ) 2x2 + 1 = —= - 4 2x2 +5	5- = 0 . Điều kiện: X + 0
X _	X
2x4 + 5x2 -1 = 0. Đặt t = X2 > 0, ta có:
2t2 + 5t - 1 = 0; A = 25 + 8 = 33, t, = 5	, t2 = 5 (loại)
1	4	4
TA-	7-5 + 733	7-5 + 733
Do đó: X, =	—	,x9 =	—	
2 2
a) (x - 3)2 + (x + 4)2 = 23 - 3x o X2 - 6x + 9 + X2 + 8x + 16 = 23 - 3x
» 2x2 + 5x + 2 = 0 A = 25 - 16 = 9 ! x1 = -2, x2=-|
X3 + 2x2 - (x - 3)2 = (x - l)(x2 - 2)
 x3 + 2x2 - X2 + 6x - 9 = X3 - X2 - 2x + 2 2x2 + 8x - 11 = 0
A’ = 16 + 22 = 38
-4 + 738	-4-738
X, = ——— 	, X., =	— 	
7 2 „ - 2
(x - l)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5) X3 - 3x2 + 3x - 1 + 0,5x2 = X3 + l,5x
 2,5x2 - l,5x + 1 = 0 & 5x2 - 3x + 2 = 0; A = 9 - 40 = -31 < 0
Phương trình vô nghiệm.
x(x~7> -1 = 5-T^e>2x(x-7)-6 = 3x-2(x-4)
7	3	2	3
 2x2 - 14x - 6 = 3x - 2x + 8 » 2x2- 15x - 14 = 0; A = 225 + 112 = 337
15 + 7337	. 15-7337
X, =	7	, x2 =• —	Ỳ	
4	4
,	14 -ì	1	TA-, , ....	.	.0
—— = 1 - —	. Diêu kiện: X + ±3
X - 9	3 - X	. ,	.
, . .	..	14	1	1
Phương trình được viết lại:	—— - 1 -t	-
X - 9	X - 3
14 = x2-9+x + 3 o X2 + X - 20 = 0, A = 1 + 4.20 = 8]
VÃ = 9
nên X, = —-— = -5;x., = —-— = 4 (thoa mãn)
2 2
Vậy phương trình có hai nghiệm X] = -5, x2 = 4.
2x x2-x + 8	^.7
	- - 7	—	77. Điếu kiện: X -1, X * 4
*■ X + 1 (x + l)(x - 4)
Phương trình tương đương với:
2x(x -.4) = X2 - X + 8 2x2 - 8x' - X2 + X - 8 = 0
« X2 •- 7x - 8 = 0 Cóa-b + c = l- (-7) -8 = 0 nên Xj = -1, x9 = 8 Vì Xj = -1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có
một nghiệm là X = 8.
a) (3x2 -7x-10)[2x2 + (1 - Võ)x + Võ - 3Ị = 0 3x2 - 7x - 10 = 0	(1)
' 2X- + (1 - Võ)x + Võ - 3 = 0 (2)
Giải (1): Phương trình cóa-b + c = 3 + 7-10 = 0
-10 10
nên Xj = -1, x2 = - — = y
Giải (2): Phương trình có a + b + c = 2 + (l- Võ) + Võ - 3 = 0
_ 1 „ _ Võ-3 nên x3 = 1, x4 = —-—
X3 + 3x2 - 2x - 6 = 0 x2(x + 3) - 2(x + 3) = 0 o (x + 3)(x2 - 2) = 0
X + 3 = 0	r-	Ị-
„2 o _ n ° X1 = ~3’ x2 = -^2’x3 = V2 X - 2 = 0
(x2 - l)(0,6x + 1) = 0,6x2 + X (0,6x + l)(x2 - X - 1) = 0 0,6x + l = 0	(1)
X2 - X - 1 = 0	(2)
o 0,6x + 1 - 0 X.; = - —7- = - Ệ
2	0,6	3
: A = (-1)2 -4.1.Í-1) = 1 + 4 = 5,VÃ = Võ
1 - Võ	1 + Võ
X.. = —„—, X, = —7T—
2 2
Vậy phương trình có ba nghiệm
_ 1 + Võ 1 - Võ
x' =_Ỉ’X2 = 2~’X;1 = 2^
(x2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2 (x2 + 2x - 5)2 - (x2 - X + 5)2 = 0
 (x2 + 2x - 5 + X2 - x + 5)(x2 + 2x2 - 5 - X2 + X - 5) = 0 (2x2 + x)(3x-10) = 0
o x(2x + l)(3x - 10) = 0 
2
10
Vậy phương trình có ba nghiệm:
v _n v 1 v _1£
X1 = °>X2 =	2>X3 =
a) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0. Đặt t = X2 + X , ta có:
3t2 - 2t - 1 = 0; t1 = l, t2=-j
Với tj = 1, ta có: X2 + X - 1 hay x2+x-l = 0, A = 4 + l=5, VÃ = Võ
-1 + VÕ __ -l-Võ
X1 = 	y X2 = 	
2 2
Với t2 = ta có : X2 + X = hay 3x2 + 3x + 1 = 0:
Phương trình vô nghiêm, vì A = 9 - 4.3.1 = -3 < 0.
-1 +Võ -1 - Võ
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: X, =	—,x2 =	
(x2 - 4x + 2)2 + X2 - 4x 4 = 0.
Đặt t - X2 - 4x + 2, ta có phương trình t2 + t - 6 = 0.
Giải ra ta được tj = 2, t2 - -3.
Với tT = 2, ta có: X2 - 4x + 2 = 2 hay X2 - 4x = 0. Suy ra	X1 =	0,	X2	=	4.
Với t1 = -3, ta có: X2 - 4x + 2 = -3 hay X2 - 4x + 5 = 0.	Phương trình
này vô nghiệm vì A. = (-4)2 - 4.1.5 = 16 - 20 = -4 < 0.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: Xj = 0, x2 = 4
X - Vx = 5 Vx + 7 X - 6W -7 = 0. Điều kiện: X > 0. Đặt t = Vx, t > 0 Ta có: t2 - 6t - 7 = 0. Suy ra: t1 = -1 (loại), t9 = 7
Với t = 7, ta có: Vx = 7. Suy ra X = 49.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: X = 49
d)
X + 1
10.—— = 3. Điều kiện: X * -1, X * 0 X
Đặt ——— = t, tơ có : ——— = .—. Vậy ta có pl X + l	X t
hay: t2 - 3t - 10 = 0. Suy ra tj = 5, t2 = -2.
X	5
Với tj = 5, ta có ——*7 = 5 hay X = 5x + 5. Suy ra X = -V.
= t, ta có : ——— = .—. Vậy ta có phương trình t —-— 3 = 0 X t	L
x + 1
- Với t2 = -2, ta có
X	2
——- = -2 hay X - -2x - 2. Suy ra X = - 77. X +1	3
Vậy phựơng trình đã cho có hai nghiệm: Xj - "V";x2 - ~ —