Giải Toán 9: Bài 5. Công thức nghiệm thu gọn
5. CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN A. KIẾN THỨC CỠ BẢN Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a + 0) và b = 2b’, A’ = b’2 - ac Nếu A’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: -b'+ TÃ7 -bTÃ7 ■ , a , a .. b' Nếu A’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép Xj = x2 = . NếuyV < 0 thì phương trình vô nghiệm. Chú ý Khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì biêu thức ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của X. Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0cóa 0, khi đó dễ giải hơn. Đối với phương trình bậc hai khuyết ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Xác định các hệ số a, b, c, b’ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn đê giải các phương trình. 7x2 - 32x - 15 = 0 b) 3x2 + 2(75 - l)x - 4Võ -8 = 0 Giải a = 7, b = -32, c = -15, b’ = -16 Ta có: A’ = (-16)- -7(-15) = 361 => TÃ7 = 19 Phương trình có hai nghiệm: X1 x2 16-19 _ -3 7 “7 16 + 19 c 7 a = 3, b = 2(75 - l),c =-475 - 8, b' = 75 - 1 Ta có: A' = (75 -1)2 -3(-47o - 8) = 6 - 275 + 1275 + 24 = 30 + 1075 = (5 + 7õ)2 -(Võ-D-(5 + 75) -(2V5+4) 3 “3 -(75-1)+ (5 + 75) Phương trình có hai nghiệm: 2. Bài tập cơ bản 2. Bài tập cơ bản ị_Xa - 3 Xác định a, b’, c rồi dùng cóng thức nghiệm thu gọn giải các phương trình: 4x2 + 4x + 1 = 0 b) 13852x2 - 14x + 1 = 0 a) 4x2 + 4x + 1 = 0 c) 5x2 - 6x + 1 - 0 c; ox- - ox + 1 = u d) _3x2 + 4Vẽx + 4 = 0 Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + 2b’x + c = 0 và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính đê viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): 3x2 - 2x = X2 + 3 b) (2x - V2)2 - 1 = (x + l)(x -1) c) 3x2 + 3 = 2(x + 1) d) 0,5x(x + 1) - (x - l)2 Đố. Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì ax2 + bx + c > 0 với mọi giá trị của X? Giải a) 4x2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, b’ = 2, c = 1 A’ = 22 - 4.1 = 0: Phương trình có nghiệm kép 2 1 X, = x2 = -— = - — , *. .42 13852x2 - 14x + 1 = 0 có a = 13852, b = -14, b’ = -7, c = 1 A’ = (-7)2 - 1385.1 = 49 - 1385 < 0 Phương trình vô nghiệm. 5x2 -6x + l = 0cóa = 5, b = -6, b’ = -3, c = 1 A' = (-3)" - 5.1 = 4, VÃ7 = 2 + 2 _. " 3-2 1 X, = —■— = 1, x„ +>•1 — _ — -^-9 — _ — _ 5 5 5 -3x2 + 4 Võx + 4 = 0 có a = -3, b = 470, b ’ = 276, c = 4 A' = (2Vẽ)2 - (-3).4 = 24 + 12 = 36, VÃ7 = 6 d) -2Vẽ+ 6 2 Vẽ 6 -276-6 276 +6 -; x2 = ——-— = —— 2 -3 3 -3 3 a) 3x2 - 2x = X2 + 3 2x2 - 2x - 3 = 0. b’ = -1, A’ = (-1)2 - 2.(-3) = 7 X, = - l,82;x2 = « -0,82 (2x - 72)2 - 1 = (x + l)(x -1) o 3x2 - 472.x + 2 = o.b’ = -272 A' = (-2-v/2)2_-3.2 = 2 272+72 .. 2V2-V2 V2 . _ X, =—^—7 = -ự2«l,41; X, = ——— = — «0,47 A'= (-272)2 -3.2 = 2 272 +72 ln 1,41; c) 3x2 + 3 = 2(x + 1) cTVx2 - 2x + 1 = 0. b’ = -1; A’ = (-1)2 - 3.1 =-2 < 0 Phương trình vô nghiệm. 3 - I)2 « 0,5x2 - 2,5x +1 = 0 « X2 - 5x + 2 = 0, b' = -2,5; A’ = (-2,5)2 - x, = 2,5 + 74,25 = 4,56, X, = 2,5-74,25 0,5x(x + 1) = (x - l)2 0,5x2 - 2,5x +1 = 0 « X2 - 5x + 2 = 0, b’ = -2,5; A’ = (-2,5)2 - 1.2 = 4,25 0,44 (Rõ ràng trong trường hợp này dùng công thức nghiệm thu gọn cũng không đơn giản hơn) Khi a > 0 và phương trình vô nghiệm thì b2-- 4ac < 0. Do đó -■ b2 - 4ac 4a > 0 , với mọi X. Suy ra: ax2 + bx + c = a X + [ - 1 2a 1 b2 - 4ac 4a Bài tập tương tự Xác định các hệ số a, b, c, b’ rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn. X2 + 8x - 20 = 0 b) X2 - 6x - 27 = 0 4x2 - 12x - 7 = 0 d) X2 - 4x + 2 = 0 X2 - 2x - 2 = 0 f) X2 - 27ãx + 2 = 0 LUYỆN TẬP Giải các phương trình: 25x2 -16 = 0 b) 2x2 + 3 = 0 4,2x2 + 5,46x = 0 d) 4x2 --27ãx = 1 - Tã Giải vài phương trình cua An Khô-va-ri-zmi (Xem Toán 7, Tập 2, Tr 26): 1 .’+ax=19 a) X2 = 12x + 288 T7X + 1890 = 0 —X’ J 12,. ,12 Không giải phương trình, hãy cho biêt mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm? 15x2 + 4x - 2005 = 0 b) “5 Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc V của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bới công thức: V = 3t2 - 30t + 135 (t tính bằng phút, V tính bằng km/h) Tính vận tõc của ôtô khi t = 5 phút. Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập ft"-; _s, phân thứ hai). Cho phương trình (ấn x) X2 - 2(m - l)x + m2 = 0. Tính A’. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm? Giải a) 25x2 -16 = 0« 25x2 = 16 « X2 = II 2 5 Ễ , 4 . = ± — 5 ) nghiệm vì vê trái lả 2x2 + 3 > 3 còn vế phải bằng 0. X = 0 2,lx + 2,73 = 0 2a/3x - 1 + X = -1,3 73 =0 4,2x2 + 5,46x = 0 2x(2,lx + 2,73) = 0 4x- - 2V3x = 1 - 73 <=. 4x- - 2V3x - 1 - Có a = 4,b = -273, b' = -73, c = 1 + Tã V = (-73)2 -4.(-l + 73) = 3 + 4 - 473 = <2 - 7Õ)-, Tv = 2 - TĨ X, = 73 - 2 + 73 73-1 73 + 2-73 1 4 2 ,x'2~ 4 — - 2 a) X2 - 12x + 288 x2 - 12x - 288 = 0 A’ = (-6)2 - 1.Í-2SS) = 36 + 288 = 324 Tv = 18 Xj = 6 + 18 = 24, x2 = 6 - 18 = -12 o x2 + 7x - 228 = 0, \ = 49 - 44-228) = 49 + 912 = 961 = 312 X, -7 + 31 2 12, x2 -7-31 2 22. Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 có a và c trái đâu thì ac 0; hơn nữa b2 > 0. Do đó A = b2 - 4ac > 0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng: a) Phương trình 15x2 + 4x - 2005 = 0 có a = 15, c = -2005 trái dấu nhau nên phương trình có hai nghiêm phân biệt. 19 r- 19 b) Phương trình --7*x2 - v7x + 1890 = 0 có à = -V- và c = 1890 , „5 5 trái dâu nhau nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. a) Khi t = 5 (phút) thì V = 3.52 - 30.5 + 135 - 60 (km/h) b) Khi V = 120 (km/h), đế tìm t ta giải phương trình 120 = 3t2 - 30t + 135 hay t2 - lOt + 5 = 0. Có a = 1, b = -10, b’ = -5, c = 5. A; = 52 - 5 =-25 - 5 = 20,7v = 275 t, = 5 + 27o = 9,47,ụ =5- 275 ~ 0,53 Vì rađa chi theo dõi trong 10 phút nên 0 < t < 10 nên cã hai giá trị của t đều thích hợp. Vậy tj = 9,47 (phút), t., = 0,53 (phút). a) X2 - 2(m - l)x + m2 = 0 có a = 1, b = -2(m - 1) b’ = -(m - 1), c = m2 A’ - [-(m - 1 )12 - m2 = m2 - 2m + 1 - m2 = 1 - 2m b) Ta có A’ = 1 - 2m Phương trình có nghiệm kép khi m = —.