Giải Toán 9: Bài 10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

§10. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Công thức tính diện tích hình tròn
Diện tích s của một hình tròn-bán kính R được tính theo công thức:
s = 71. R2
Cách tính diện tích hình quạt tròn
Trong hình tròn bán kính R diện tích hình quạt n° được tính theo công thức:
s =	hayS = ặ
360°	2
(/ là độ dài cung n° của hình quạt)
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
A
Hì nil 19
Bài tập mẫu
Trên hình 19 biết AABC vuông ở A, AB = 4cm, AC
= 6cm. Tính diện tích phần gạch sọc.
Giải
Diện tích phần gạch sọc bằng tổng diện tích của hai nửa hình tròn đường kính AB và AC trừ đi diện tích AABC.
Diện tích nửa hình tròn đường kính AB là:
S, = — 7ĩR? = ị.7t.22 = 27t(cm2)
2 2
Diện tích nửa hình tròn đường kính AC là:
S2 =-g JI.R; = ị.7t.32 = ^7t(cm2)
2 2 2
Diện tích AABC là:
S., = ~ah = ị.4.6 - 12 (cm2)'
2 2
Diện tích phần gạch sọc là:
s = Sj + S2 — S3 = 2n + — ,7t - 12 « 8,4 cm2
Bài tập cơ bản
Tính diện tích hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh là 4cm.
Chân một đống cát đố trên một nền phắng nằm ngang là một hình tròn có chu vi 12m. Hỏi chân đông cát đó chiếm, một diện tích là bao nhiêu mét vuông?
Tính diện tích một hình quạt tròn có bán kính 6cm, số đo cung là 36°.
Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD =• 30m.
Người ta muôn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:
Mỗi dây thừng dài 20m.
Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài lOm.
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà cả hai con dê có thê ăn được sẽ lớn hơn (h.60)?
Diện tích hình tròn sẽ thay đổi thế nào nêu:
Bán kính tăng gấp đôi?	b) Bán kính tăng gấp ba?
c) Bán kính tăng k lần (k > 1)?	
b)
Hình 6]
Điền vào ô trông trong bảng sau (làm tròn kết quả đôn chữ sô thập phân thứ nhất):
Bán kính đường tròn (R)
Độ dài đường tròn (C)
Diện tích hình tròn
(S)
Sô đo cùa cung tròn (nn)
Diện tích hình quạt tròn cung 11°
13,2cm
47,5°
2,5cm
12,50cm-
37,80cm-
10,60cm-
Giải
Hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 4cm thì có bán kính là 2cm. Vậy diện tích hình tròn là 7t(22) = 4rc (cm2).
Theo giá thiêt thì c = 2ttR - 12m => R — —— = —
2rt 71
Diện tích phần mặt đât mà đông cát chiêm chỗ lả: s = 7iR- = 71	~ ll,5(m“)
*, ,	„ 7tR2n"	7i62.36	„	2\
1 heo công thức s = 36Q” ta có' s = 30Q- = 3’ (cm ).
80. Theo cách buộc thứ nhât thì diện tích có dành cho mỗi con dê là bằng nhau.
Mỗi diện tích là -7 hình tròn bán kính 20m.
.71.20” = 1007t(m2)
Cả hai diện tích là 2007im2.	(1).
Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho .con dê buộc ở A là:
Ậ.7I.302 = 4 90071 (m2)
4	4	-	1	1
Diện tích cỏ dành cho con dề buộc ở B là: -7.7t.lO2 = -710071 (m2)
Diện tích cỏ dành cho cả hai con dê là:
— ,9007t + 410071 - 4100071 = 25071 (m2)	(2)
z	, ,n, 4 4 J 4 z , 4 n ' , . " ‘
So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thế ăn được sẽ lớn hơn.
Gọi s = tiR2 là diện tích hình tròn lúc đầu
Khi bán kính tăng gấp đôi, tức là Rj = 2R thì Sj = TcR2 = 7t(2R)2 = 4tiR2 = 4S
Khi bán kính tăng gấp ba, tức là R., = 3R thì S2 = 71R2 = 7t(3R)2 = 9tiR2 = 9S
Khi bán kính tăng gấp ba lần (k > 1) tức là kk = kR thì
Sk = 71R2 - 7t(kR)2 = 7t.k2R2 = k2(7tR2)
= k2S.
Vậy: khi bán kính tăng lên gấp đôi thì diện tích đường tròn tăng ■ lên gấp 4(22) lần. Khi bán kính tăng lên gấp ba thì diện tích đường tròn tăng lên gấp 9(32) lần. Khi bán kính tăng lên gâp k thì diện tích đường tròn tăng lên gấp k2 lần.
G 13 2
• Dòng thư nhất: R = — = — 7	« 2,1 (cm)
2tt - 2.3,14
s = 7I.R2 = 3,Ì4(2,1)2 = 13,8 (cm2) 7tR2n° 3,14.2, l2.47,5
Dòng thứ hai:
R
quạt	360°	360"
c = 2ttR = 2.3,14.2,5 = 15,7 (cm) . s = TiR2 = 3,14.2,52.* 19,6 (cm2) 12,5.360'
1,83 (cm2
n' =
S„„H,.360"
7tR2
• Dong thứ ba:
R = .ỉ =
37,8
\Í3,14
3,14.2,52 » 3,5 (cm)
229,3"
c = 2tiR - 22 (cm)
n„ = S„„ạt.36O" = 10,6.360"
TĩR2	3,14.3,52
Điền vào các ô trông ta được bảng sau:
« 99,2"
Bán kính
R
Độ dài đường tròn
C
Diện tích hình tròn
s
Số đo cúa cung n°
Diện tích hìnu quạt tròn
ư , Squat
2,lcm
(13,2cm)
13,8cm2
(47,5°)
l,83cm2
(2,5cm)
15,7cm
19,6cm2
229,3"
(12,50cm2)
3,5cm
22cm
(37,80cm2)
99,2°
(10,60cm2)
Bài tập tương tự
Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính 6cm và góc ở tâm tương ứng là 60°.
nay tinn aiẹn ticn
Cho tam giác đều ABC với độ dài mỗi cạnh là a. Lấy A, B, c làm tâm, dựng ba đường tròn với cùng bán kính là a. 145,7 +írib r,i5r' phần chung của ba hình tròn nói trên.
LUYỆN TẬP
a) Vẽ hình 62 (tạo bởi các cung tròn) với
HI = 10cm và HO = BI = 2cm. Nêu cách vẽ.
Tính diện tích hình HOABINH (miền gạch sọc).
Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA có cùng diện tích với hình HOABINH đó.
a) Vẽ lại hình tạo bơi các cung tròn xuất
phát từ đỉnh c của tam giác đều ABC cạnh lcm. Nêu cách vẽ (h.63).
Tính diện tích miền gạch sọc.
Hìnlì viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi mí
cung và dây căng cung ấy. Hãy tính diện tích hìn viên phân AmB, biết góc ở tâm AOB = 60" và bá kính đường tròn là 5,lcm (h.64).	Hình. 63
Hỉnlì vánh khăn là phần hình tròn giữa hai đường tròn đồng tâm (h.65).
Tính diện tích s cua hình vành khăn theo Rj và R, (giá sứ R] > R9).
Tính diện tích hình vành khăn khi R, = 10,5cm, Rọ = 7,8cm.
Lấy cạnh BC của một tam giác đều làm đường kính, vẽ một nửa đường tròn về cùng một phía với tạm giác ấy đối với đường thẳng BC. Cho biết cạnh BC = a, hãy tính diện tích của hai hình viên phân được tạo thành.
Giải
a) Vẽ nứa đường tròn đường kính HI = 10cm, tâm M.
Trên đường kính HI lấy điểm o và điểm B sao cho HO = BI = 2cm. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính HO, BI nằm cùng phía với
đường tròn (M).
Vẽ nửa đường tròn đường kính OB nằm khác phía đôi với đường tròn (M). Đường thẳng vuông góc với HI tại M cắt (M) tại N và cắt đường tròn đường kính OB tại A.
Diện tích hình HOABINH là:
Vẽ —	đường tròn tâm	c,	bán	kính	3cm,	ta	được cung	gp.
b) Diện tích hình quạt CAD = ^rc.l2 Diện tích hình quạt DBE = — 71.22
O
Diện tích hình quạt ECF - — 7C.32
O
Diện tích hình gạch sọc = 17t.l2 + - 71.22 + — 7Ĩ.32 3	3	3
= — 71(1“ + 22 + 32) = 2 71 (cm2)
\OAB là tam giác đều có cạnh băng K = 5,lcm. Ap dụng công thức
tính diện tích tam giác đều cạnh a là ---
(1)
r“7s '	4
AOBC
(2)
Diện tích hình quạt tròn AOB là: 7ĩ.R2.60° tiR2
360°
Từ (1) và (2) suy ra diện tích hình viên phân là: tcR2 R2ự3 _	Vã"
6	4	1^6	4
Thay R = 5,1 ta cộ SVịên ,	£2,4 (cm-).
a) Diện tích hình tròn (0; Rj) là s, = ĩtR2.
Diện tích hình tròn (0; R9) là S2 = JtR2.
Diện tích hình vành khăn là:
s = s, -S2 =7iR2 — 71R2 = 7ĩ(R2 — R2) b) Thay số: s = 3,14(10,52 - 7,82) = 155,1 (cm2)
Gọi nửa đường tròn tâm o đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại M và N.
AONC có oc - ON, C = 60" nên AONC là tam giác đều, do đó NOC = 60".
Vậy diện tích hai hình viên phân bên ngoài tam giác là:
z \ 2
a2	r-
^-(2k-3V3)
24