Giải Toán 9: Bài 2. Đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0)

§2. ĐÓ THỊ CỦA HÀM số y = ax2 (a # 0)
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
ĐỒ thị hàm sô'
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a -t- 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đôi xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh o.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, o là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, o là điếm cao nhát của đồ thị.
Cách vẽ đồ thị
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa X và y.
Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Xác định hệ số a của hàm số y = ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(l; -1).
Vẽ đồ thị của hàm số đó.
Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 3.
Tìm điểm thuộc parabol có tung độ bằng -3.
Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đôi hoành độ.
Giải
Thay tọa độ của điếm A:
X = 1, y = -1 vào y - ax2 ta được -1 - a.l2 => a = -1
Vẽ đồ thị:
Tập xác định của hàm sô là R.
Lập bảng giá trị:
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = -x2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
- Vẽ đồ thị hình bên.
Đồ thị hàm số y = -X2 là một parabol đỉnh o trục đối xứng Oy. c) Thay X = 3 vào y = -X2 được y = -32 = -9. Điếm phải tìm là B(3; -9).
Thay y = -3 vào y = -X2 được -3 = X2 => X = ±Vã • Các điếm phải tìm là C(ỷ3;-3) và C'(-ạ/3;-3).
Tập hợp các điểm có tung độ gấp đôi hoành độ là
đường thắng y = 2x.	|-y = 2x
Giải hệ phương trình ịy _ x2 •
được (0; 0), (-2; -4). Đó là hai điếm phải tìm.
3	3	9
2 x2,y = X2. Điền vào những ô trông của các bảng sau rồi vẽ hai đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
4. Cho hai hàm số: y
Bài tập cơ bản
X
-2
-1
0
1
2
3 o y = -X
2
X
-2
-1
0
1
2
3 2 y = --X
J 2
Nhận xét về tính đối xứng của hai đồ thị đối với trục Ox.
5. Cho ba hàm số: y = —x2;y = x2;y = 2x2
Vẽ đồ thị của ba hàm số này trên cùng một mặt phảng tọa độ.
Tìm ba điểm A, B, c có cùng hoành độ x = -1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Xác định tung độ tương ứng của chúng.
Tìm ba điểm A’, B’, C’ có cùng hoành độ X = 1,5 theo thứ tự nằm trên ba đồ thị. Kiếm tra tính đối xứng của A và A’, B và B’, c và ơ.
Với mỗi hàm số trên, hãy tìm giá trị của X đế hàm số đó có giá trị nhỏ nhất.
Giải
X
-2
-1
0
1'
2
3 2 y = — X
2
6
3
2
0
3
2
6
X
-2
-1
0
1
2
3 2 y = —X
2
-6
3
2
0
3
2
-6
Thực hiện phép tính và điền vào chỗ trông ta được bảng sau:
Vẽ đồ thị: hình bên
Nhận xét: Đồ thị của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục Ox.
a) Vẽ đồ thị:
yA = j.(-l,5)2 = j.2,25 = 1,125
yB = (-1,5)2 = 2,25
y~ = 2(-l,5)2 = 2.2,25 = 4,5
Gọi yA, yB, yc lần lượt là tung độ các điểm A’, B’, C’ có cùng hoành độ X = 1,5. Ta có:
yA= j.l,52 =j.2,25 = 1,125
yB, = 1,52 = 2,25 y^, = 2 1,52 = 4,5
Kiếm tra tính đỗì xứng: A và A’, B và B’, c và C’ đốì xứng với nhau qua trục tung Oy.
Với mỗi hàm số đã cho ta đều có hệ số a > 0 nên 0 là điếm thấp nhất của đồ thị. Khi đó ta có X - 0.
Vậy X = 0 thì hàm số có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập tương tự
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của ba hàm số sau:
y = -X2; y = -2x2; y = - —X2. Có nhận xét gì về ba đồ thị này?
Trên một hệ trục tọa độ vẽ ba đồ thị sau:
(P): y^ = X2; (dj): y2 = X + 2; (d2): y3 = -X + 6
Chứng minh rang ba đồ thị trên cùng đi qua một điểm (điểm B) tính tọa độ điểm này.
Đường thẳng (dj) và (d9) cắt parabol (P) tại A và c (khác điếm B). Tính tọa độ của B và c.
LUYỆN TẬP
Cho hàm số y = f(x) = X2.
Vẽ đồ thị của hàm số đó.
Tính các giá trị f(-8); f(-l,3); f(-0,75); fíl,5).
Dùng đồ thị để ước lượng các giá trị (0,5)2; (-1,5)2; (2,5)2.
Dùng đồ thị để ước lượng vị trí các điểm trên trục hoành biếu diễn các sô 73; 77
Trên mặt phẳng tọa độ (h.10), có một điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2.
Tìm hệ số a.
Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không?
I i II
-il-sipi-dp
Hãy tìm thêm hai điếm nữa (không kế điểm O) đê vẽ đồ thị.
Biết rằng đường cong trong hình 11 là một parabol y = ax2.
Tìm hệ số a.
Tìm tung độ của điểm, thuộc parabol có hoành độ X = -3.
9. Cho hai hàm số
1 „2 y = — X
3
và y = -X + 6.
Vẽ đồ thị của các hàm sộ" này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị đó.	Hình 11
10. Cho hàm sô" y = -0,75x2. Qua đồ thị của hàm sô" đó, hãy cho biết khi X tăng từ -2 đến 4 thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?
Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ y - 8.
Giải
Vẽ đồ thị hàm sô" y = X2. Xem bài 5 câu a.
Ta có y = f(x) = X2 nên
f(-8) = (-8)2 = 64; f(-l,3) = (-1,3)2 = 1,69 f(—0,75) = (-0,75)2 = 0,5625 «1,5) = 1,52 = 2,25
Theo đồ thị ta có:
(0,5)2 «0,25 (-1,5)2 a 2,25 (2,5)2 «6,25
Theo đồ thị ta có: Điểm trên trục hoành 5/3 thì có tung độ là y = (73)2 =3. Suy ra điếm biểu diễn 73 trên trục hoành gồm bằng 1,7. Tương tự điểm biểu diễn 77 gồm bằng 2,7.
Vậy điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị hàm sô
Nhờ tính đối xứng cua đó thị, chằng hạn ta lây thêm hai điếm M’(-2; 1) và A’(—4; 4). Vẽ đồ thị: Xem hình bẽn.
8. a) Theo hình vẽ, ta lấy điếm A thuộc đồ thị có tọa độ là X = -2, y = 2. Khi đó ta được-:
2 = a.(-2)2 suy ra a =
Đô thị có hàm sô là y = — X" . Tung độ cúa điêm thuộc parabol có
2	9
hoành độ X = -3 là y = |(-3)2 suy ra y = 2 •
Các điểm thuộc parabol có tung độ là 8 là:
8 = ịx2 o X2 = 18 » X = ±4
Ta được hai điểm và tọa độ của hai điểm đó là M(4; 8) và M’(-4; 8).
9. a) Vẽ đồ thị: y = — X2
O
X
-6
-3
0
3
6
1 2
y = - X
3
12
3
0
3
12
y = -X + 6
Cho X = 0 => y = 6.
Cho y = 0 => X - 6.
Vẽ đồ thị: xem hình bên.
b) Giá trị gần đúng cùa tọa độ các giao điểm
(thực ra đây là giá trị đúng).
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A và B.
Theo đồ thị ta có A(3; 3) và B(-6; 12).
y
-2
-]
<1
1
r2
1
2
\
1
A
\
4
/
/
H
2
-h
Vẽ đồ thị: y = -0,75x2
X
-4
-2
-1
0
1
2
4
y = -0,75x2
-12
-3
-0,75
0
-0,75
-3
-12
Vì -2 < 0 < 4 và khi X - 0 thì y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm sô. Hơn nữa khi X = -2 thì y = -0,75.(-2)2 = -3, khi X = 4 thì y = - 0,75.42 = -12 < -3.
Do đó khi -2 < X < 4 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là -12 còn giá trị lớn nhất là 0.