Giải Toán 9: Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
x + y = 3
Câu hỏi
í. Sau khi giải hệ
1 - bạn Cường kết luận rằng hệ phương
s 1	X 1	•	1	•	‘
trình có hai nghiệm: x = 2 và y = 1. Theo em điêu đó đúng hay sai? Nêu sai thì phải phát biếu thế nào cho đúng?
Dựa vào minh họa hình học (xét vị trí tương đối cúa hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ), em hãy giải'thích các kết luận sau:
ax + by = c .
Hệ phương trình , 1,.	, (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
• H &	[a x + b y = c > > >	’	>
„	- , . „	a b c
Có vô sô nghiệm nếu —; = 77 = —;
a b c a _ b c
Vô nghiệm nêu —; - 77 * —
a D • c	,
•	z a b
Có một nghiệm duy nhất nếu — * — •
Khi giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta biến đối hệ phương trình đó để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó có một phương trình mật ẩn. Có thể nói gì về số nghiệm của hệ đã cho nếu phương trình một'ẩn đó:
a) Vô nghiệm?	b) Có vô số nghiệm?
Trả lời
Kết luận của bạn Cường là sai vì nghiệm của hệ là một cặp (x; y), chứ không phải là mỗi số riêng biệt.
Phát biểu đúng: “Nghiệm duy nhất của hệ là (x; y) = (2; 1)”
Ta biết tập nghiệm của phương trình ax + by - c được biêu diễn bằng đường thẳng ax + by = c và tập nghiệm của phương trình a’x + b’y = c’ được biểu diễn bằng đường thẳng a’x + b’y = c’.
Với —; = 77 = , thì hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’
song song với nhau, tức là chúng không cắt nhau, suy ra không có điểm nào chung cho hai đường thẳng hay không có điểm nào mà tọa độ của nó thỏa mãn cả hai phương trình.
Vậy hệ vô nghiệm.
a b	v	,
Khi —- * — thì hai đường thăng ax + by = c và a’x + b’y = c căt
nhau tại một điểm dúy nhất, tọa độ của giao điểm thỏa mãn cả hai phương trình cúa hệ. Vậy hệ có nghiệm duy nhát.
a) Hệ đã cho vô nghiệm bởi vì mỗi nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình, một phương trình vô nghiệm thì hệ không có nghiệm chung.
b) Hệ đã cho có vô số nghiệm.
BÀI TẬP
40. Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:
2x + 5y = 2
0, 2x + 0, ly = 0,3 3x + y = 5
41. Giải các hệ phương trình sau ) jx7õ-(1 + 7ã)y = 1 (1 - 73)x + y7ỡ = 1 Hướng dẫn câu b): Đặt ân phụ.
a)
b)
42. Giải hệ phương trình
2x
b)
c) <
y
y + 1
3y
	 4- 	——
X + 1 y + 1
3	1
— X - y = — 2	2
3x - 2y .= 1 -72
= -1
2x - y = m
4x - m2y = 272 trong mỗi trường hợp sau:
a) m = -72	b) m = 72	c) m = 1
Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
Một vật có khôi lượng 124g và thê tích 15cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biêt rằng cứ 89g đồng thì có thp-tich là 10cm3 và 7g kẽm có thê tích là lcm3.
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng .khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hói với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trống bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
Năm ngoái, hai đơn vị sán xuâ’t nông nghiệp thu ho.ạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhát làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cá hai đơn vị thu hoạch được 819 tân thóc. Hỏi mỗi năm. mỗi đơn vị thu hoạch được hao nhiêu tâ'n thóc?
Giải
40. a
2x + 5y = 2 2 . 
í 2x + 5y = 2 [2x + 5y = 5
Hệ phương trình vô nghiệm. Minh họa hình học:
Vẽ (dj): 2x + 5y = 2 2
(’ho X = 0 => y = 7 •
Cho y = 0 => X = 1.
2
Vẽ (d„): “X + y = 1 -	5
Cho X = 0 => y = 1
Cho y = 0 => X = Ệ.
Ta được (dj) và (d0) song song với nhau.
0,2x + 0,ly = 0,3
2x + y = 3 3x + y = 5
b) 7	’?	’ 
[3x + y = 5
Minh họa hình học:
Vẽ (dj): 0,2x + o,ly = 0,3 Cho X = 0 => y = 3.
Cho y = 0 => X -	.
2
Vẽ (d9): 3x + y = 5
Cho X - 0 => y - 5
Cho y = 0 => X = -|.
3
Ta được (dj) và (d2) cắt nhau tại (2; 3	1	'3x - 2y - 1
c) <
— X -y = —
2 2 <!
6x - 4y = 2
 5
2x + y = 3
6x - 4y = 2 Hệ có vô sô nghiệm.
Minh họa hình học:
vÃIÍL, 'ĩ
2 2 1 Cho x = 0=>y = -7..
J 1 2 Cho y = 0 => X = 4.
‘7	.	7	3
Vẽ ;6x - 4y = 2
Cho X = 0 =» y = - - .
u y - 2
Cho y = 0 => X = 7.
3
Hai đường thăng trùng nhau.
 5
-1).
6x - 4y = 2 6x - 4y = 2
41. a)
x7õ -(1 + 73 )y = 1 (1 - 7s)x + yTõ - 1
(1)
(2)
1 - (1 - 77)x
(3)
Thay (3) vào (1): xTõ - (1 + 77)
l-(l-77)x
7s
« 5x - (1 + 77) + (1 7 3)x = 75 3x = 77 + 77 +1 77 + 77 + 1 1 _c
1, DO
 X -
Thay vào (3) được y =
77
 V
Vậy hệ có nghiệm (x;y) =
77 + 77 + 1.77 + 77-1 3
b) Đặt X + 1 - ư và y 1 - V, ta có hệ phương trình
2u + v = 77	(1)
u + 3v = -1	(2)
(1) V = 77 - 2u (3)
Thay (3) vào (2): u + 3(77 - 2u) - -1
o u + 377 - 6u = -1 5u = 377 + 1
377 + 1
• u
Thay vào (3): V = 77 - 2.
3577 + l
577 - 677 -2	-2-77
 V =	-	 V =	—
nên hệ đã cho tương đương với:
X 1 + 377
x + 1	5
y -2 - 77 -»
y+ 1	5
(4 - 377)x = 1 + 377 (7 + 77)y = -2 - 77
5x = (1 + 377)(x + 1) 5y = (-2-77)(y+ 1) 1 + 377
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
(x;y) =
1 + 377. 2 + 77 4-377’ 7 + 77y
4-377 2 + 77 7 + 77
42. Cách 1: (Dùng phương pháp thế):
Từ phương trình đầu ta có y = 2x - m. Thế vào phương trình sau đế
khử ân y thì được
4x - m2(2x - m) = 2V2 2(2 - m2)x = 2V2 - m3
 2(72 - m)(72 + m)x = (72 - m)(2 + m72 + m2)	(1)
Với m = -72, phương trình (1) trở thành Ox = 472, vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Với m - 72, (1) trở thành Ox = 0, đúng với mọi X.
Hệ có nghiệm
[y = 2x - 72 c) Với m = 1, (1) trở thành 2x = 272
272-1
Hệ có nghiệm
272-1
y = 272 - 2
Cách 2: (Dùng phương pháp cộng đại số): Nhân hai vế của phương trình đầu với -2 rồi cộng từng vế hai phương trình thì được
(2 -_m2)y = 272 - 2m (2 - m2)y = 2(72 - m) (2)
Với m = -72, phương trình (2) trở thành Oy = 472, vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Với m = 72, (2) trỏ thành Oy = 0, đúng với mọi y. y+ 72
2
Hệ có nghiệm
c) Với m = 1,
Hệ có nghiệm
.y 6 R (2) trở thành y
272-1
X = —■—	
2(72 - 1)
y = 2(72-1)
43. Gọi vận tốc của người xuất phát từ A là Vp của người đi từ B là v2 (m/ phút). Điều kiện là V1 > 0, v9 > 0. Khi gặp nhau tại địa điểm cách A là 2km, người xuất phát từ A đi được 2000m, người xuất phát từ B đi được 1600m trong cùng thời gian đó (vì cùng xuất. phát). Ta có phương trình
2000 1600
—7^ = —7^	(1)
v! v2
Điều đó còn cho thây người xuất phát từ B đi chậm hơn. Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mồi người đi được l,8km = 1800m. Ta có phương trình
Đặt
= X và
Vo
y, từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
20x =16y ' 18x + 6 = 18y
Hệ phương trình này có nghiệm là (x;y) = —	. Từ đó suy ra
ỊỌỌ 4	" ..ỊỌỌ^VÍ v •
Vj 3	v2 3
Các giá trị tìm được của Vj và v9 thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Vậy vận tốc của người đi từ A là 75m/ph, của người đi từ B là 60m/ph.
Gọi X và y lần lượt là sô gam đồng và kẽm có trong vật đó (x, y > 0). Vì khôi lượng của vật là 124g nên ta có phương trình X + V = 124.
10_.z__.3x
Thề tích của V gam đồng là —^x(cm )•
89
Thê tích của y gam kẽm là — y(cm ).
.	, /	, ĩ	10	1
Vì thê tích của vật là 15cm3 nên ta có phương trình —7 X + — y = 15.
x + y = 124	89	7
Từ đó ta có hệ phương trình 1 10	1
X + — V = 15
, „ , .. ....... ' 89 „
Giải hệ phương trình, ta được X = 89, y = 35. Vậy có 89 gam đông và 35 gam kẽm.
Giả sứ đội I làm xong công việc trong X ngày, đội II trong y ngày (x, y nguyên dương).
Theo dự định hai đội hoàn thành công việc trong 12 ngày nên có phương trình: 1 + 1 = —
_ L ... x 1 ,12 ... ,	8 2
Khối lượng công việc hai đội làm chung trong 8 ngày là — = — còng việc.
-LAO
Khối lượng công việc còn lại là 7? cõng việc vả do đội II đám 3 2
nhiệm. Do năng suất gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày được ~ công
* 1 _ , „ , " . y
việc và họ hoàn thành nốt — công việc nói trên trong 3,5 ngày. Do đó 2 1
ta có phương trình: 3,5.— = -7 hay y = 21 y 3 (1 + 1 = 1-
Hệ phương trình cần tìm là 1 x y ■
(y = 21
Giải hệ phương trình ta được X = 28; y - 21.
Vậy: Đội I làm xong công việc trong 28 ngày, đội II làm xong công việc trong 21 ngày.
Gọi X (tấn) và y (tấn) lần lượt là số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (x, y > 0).
115..
—- X 100
Ta cỏ: X + y = 720
Năm nay sô thóc đơn vị thứ nhất làm được: X + 15%x =
100
.... , . ... 112 Sô thóc đơn vị thứ hai làm được: y + 1^/cy - — y
115 '	112.	....
100 100
Ta có hệ phương trình:
Ta đươc: ' ' 77 X + y — 819
• n nn inn.
X + y = 720
115	112	_ aiQ
-T77X + ——y = 819 .100... 100 Giái ra ta được X = 420, y = 300.
Vậy năm ngoái đội I thu hoạch được 420 tấn thóc, đội II thu hoạch 115
được 300 tân thóc. Năm nay đội I thu được 7l5t.42O = 483(tấn), đội II ' . 112 * ’ 100
thu đươc .300 = 336(tân).
• 100