Giải Toán 9: Bài 3. Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

§3. HÌNH CẦU DỈỆN TÍCH MĂT CẦU VÀ
THỂ TÍCH HÌNH CAU
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Hình cầu
Khi quay nửa hình tròn tâm o, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu.
Điểm o được gọi là tâm, độ dài R là bán kính của hình cầu.
Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo nên mặt cầu.
Diện tích mặt cầu
Công thức tính diện tích mặt cầu: s - 4nR“ hay s = 7td2 R là bán kính, d là đường kính mặt cầu.
Thể tích hình cầu
Thể tích hình cầu bán kính R: V = — 7tR'3 3
B. HƯỚNG ĐẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Cho hình cầu tâm o, bán kính R. Gọi A là một điểm trên mặt cầu và I là trung điểm của đoạn OA. Qua I dựng mặt phảng vuông góc với đường thẳng OA cắt hình cầu theo một hình tròn (C). Tìm diện tích hình tròn (C) và tỉ sọ diện tích của (C) và diện tích mặt cầu. Tính thế’ tích của hình cầu khi R = 3cm.
Giải
Gọi bán kính hình tròn (C) là r. Tam giác OIB vuông tại I nên
O	7 TiR2	O
Tỉ số diện tích là: 2c. - 4	_ _y_
s	4tĩR2	16
Thể tích của hình cầu khi R = 3cm.
V - 4 7iR3 = 4 rc.33 = 4tc.32 = 36tĩ (cm3)
3	3
Bài tập cơ bản
Nếu thể tích của một hình cầu là 113^-cm3 thì trong các kết quả
, . ?	7 . f,.'L L 22ìo
sau đây, kêt quả nào là bán kính của nó I iayK « — I ■
A. 2cm	B. 3cm	c. 5cm
D. 6cm	E. Một kết quả khác
31. Hãy điền vào các ô trông ở bảng sau:
Bán kính hình cầu
0,3mm
6,21dm
0,283m
lOOkm
6hm
50dam
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu
Một khôi gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị: cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khôi gỗ còn lại 2,. (diện tích cả ngoài lẫn trong).
Dụng cụ thể thao
Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu.
Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Loại bóng
Quả
bóhg
gôn
Quả khúc côn cầu
Quả
ten-nít
Quả
bóng
bàn
Quả
bóng
bi-a
Đường kính
42,7mm
6,5cm
40mm
61mm
Độ dài đường tròn lớn
23cm
Diện tích
Thể tích
Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier)
Ngày 4-6-1783\ anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính llm. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Giải
Từ công thức V = — 7cR3 => R3 -
Vậy chọn B) 3cm
Dòng thứ nhất: s - 4tiR2. Thay số vào ta được
R - 0,3 mm s = 4.3,14.0,32 = 1,13 (mm2)
R = 6,21 dm => s = 4.3,14.(6,21)2 = 484,37 (dm2)
R = 0,283m	=>	s	=	4.3,14.0,2832 = 1,01 (m2)
R = 100 km => s = 4.3,14.1002 = 125600 (km2)
R = 6hm => s = 4.3,14.62 = 452,16 (hm2)
R = 50dam => s = 4.3,14.502 = 31400 (dam2)
4
• Dòng thứ hai: V = -|7iR'. Thay số vào ta được:
O
R = 0,3mm	=> V = |.3,14.0,3s = 0,113 (mm3)
R = 6,21dm => V = |.3,14.(6,21)3 = 1002,64 (dm3) ó
R = 0,283m	=> V = |.3,14.0,2833 = 0,095(m3)
3
R = 100km	=> V = 1.3,14.1003 = 4186666,67 (km3)
3
R = 6hm	=> V = 1.3,14.63 = 904,32 (hm3)
R = 50dam	=> V = 1.3,14.503 = 523333,34(dam3)
3
Sau khi điền vào các ô trông ta được bảng kết quá sau
Bán kính
0.3mm
6,21 dm
0.283m
100km
6hm
50dam
Diện tích mặt cầu
1.13mm2
484,37dm2
l.Olm2
125600km2
452.16hm2
31400dam2
The lích
hình cầu
0.) 13mm’
1002.64dm'
0,095m'
486666,67km5
904,32hm'
523333.34 dam'
32. Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh cua một hình trụ bán kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm).
Diện tích xung quanh của hình trụ:
Sxq = 2ĩirh = 2rtr.2r = 4nr2
Diện tích mặt cầu:
s = 4ĩtr2
Diện tích cần tính là: 4rcr2 + 4ĩtr2 = 8nr2 c 23
• Dòng thứ nhất: Từ c = 7id=>d = — =	= 7,32(cm)
71 22
7
• Dòng thứ hai: Áp dụng công thức c = Tid, thay số vào ta được:
d = 42,7mm
=>
c =
22
7
.42,7 = 134,08 (mm
d = 6,5cm
=>
c =
22
T
.6,5 = 20,41 (em)
d = 40mm
=>
c =
22
7
.40 = 125,6 (mm)
d = 61mm
=>
c =
22
.61 = 191,71 (mm)
• Dòng thứ ba: Áp dụng công thức s = 7id2, thay số vào ta được:
d = 42,7mm =>s = 5^.42,72 = 5730,34 (mm2) « 57,25 (cm2) 22
d = 7,32mm =>	s = ^.7,322 = 168,25 (cm2)
d = 6,5cm	=>	s =—.6,52 = 132,67 (cm2)
22
d = 40mm => s = -2^-,402 = 5024 (mm2)
7
22
d = 61mm => s = 5±.612 = 11683,94 (mm2)
7
• Dòng thứ tư: Áp dụng công thức V = ^-kR'ì) thay số vào ta được: 4 22 <42.7 Y3
T'(
2 )
22
<7,32
7
1 2
22
<6,5Y
7
1 2 1
22
(12)'
d = 7,32mm => V -
= 205,26 (em 4
d = 42,7mm => V =	2 1 = 40743,85(mm!) = 40,74 (em'3)
A on / r-7 O n \3
d = 6,5cm	=> V = —. —Ỵ —j = 143,72 (em'3)
em
d = 40mm => V - — . -ý-. —y- ■ = 33493,33 (mm3) = 33,49 (
d = 61mm => V =1	i = 118786,72 (mm3) = 118,79 (cm3)
3 7 \ 2 7
Sau khi điền vào các ô trống ta được kết quả:
Loại bón”
Quả
bónggôn
Quá khúc côn cẩu
Quả
ten-nit
Quả
bó ng bà n
Quả
bóng bi-a
Đường kính
(42,7mm)
7.32cm
(6.5cm)
(40mm)
(61mm)
Độ dài đương tròn lớn
134,08mm
(23cm)
20,41 cm
125,6mm
191,71 mm
Diện tích
57,25cm2
168,25cm2
132,67cm2
5024mm2
11683,94mm2
Thể tích
40,74cm3
2O5,26cm!
143,72cm’
33.49cm'
118.79cm'
Diện tích của khinh khí cầu:
22
s = rcd2 =4F-112 - 379,94 (m2)
7
B. BÀI TẬP TƯƠNG Tự
Diện tích một mặt cầu là 36cm2. Tính đường kính của một mặt cầu thứ hai có diện tích gâp 3 lần diện tích mặt cầu thứ nhất.
Tam giác đều ABC cạnh AB = a.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Cho toàn bộ hình vẽ quay xung quanh đường cao AH đế tạo thành một hình nón ngoại tiếp một hình cầu. Tính hiệu thế tích hai hình tạo thành.
[-*-3,62 m-*|
ình 110
Luyện tập
Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h.110).
Hãy tính thế tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.
Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm).
Tìm một hệ thức giữa X và h khi AA’ có độ dài không đời và bằng 2a.
Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thê tích cua chi tiết máy theo X và a.
Cho nứa đường tròn tâm o, đường kính AB = 2R,
Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điếm M rối vẽ tiêp tuyên MP cắt By tại N.
Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.
Chứng minh AM.BN = R2.
Tính tí số	khi AM = A
-	, ỠAPB	z
Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.
Giải
Thể tích cần tính gồm một hình trụ và một hình cầu.
Bán kính đáy của hình trụ là 0,9m, chiều cao là 3,62m.
Bán kính của hình cầu là 0,9m.
Thể tích hình trụ là:
„ 22 „
vtrụ = rcr2h = y ,(0,9)2.3,62 = 9,215 (m3)
Thể tích hình cầu là:
Vcầu = ị711-3 =ị •^•(0,9)3 = 3,055 (m3) cầu 3	3	7
Thể tích của bồn chứa xăng:
= V + V , = 9,215 + 3,055 = 12,27 (m3)
a) Ta có: h\ 2x = 2a
b) - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là X, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là X.
Diện tích xung quanh của hình trụ: s = 2rcxh
Diện tích mặt cầu: Sciiu = 4ĩtx2 Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy:
s = s + s , = 2nxh + 4nx2
trụ	cáu
= 2nx(h + 2x) = 4nax
Thể tích cần tính gồm thể tích hình trụ và thế tích hình cầu. Ta có:
= 7ix2h
trụ
nên thế tích của chi tiết máy là:
V = Vtru + V, =7ix2h + ^7TX3
trụ	câu	2
4	2	1
= 2nx2(a - x) + -£• 7TX3 = 2nx2a - — Ttx3 = 2ĩix2(a - 4 x)
3	3	3
a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.
Vậy avion vuông tại o.
Lại có AAPB vuông vì có APB - lv (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn)
Tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn vì có MAO + MPO = 2v. Nèn PMO = PAO (cùng chắn OP ).
Vậy hai tam giác vuông MON và APB đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau.
b) Ta có AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tam giác vuông MON có OP là đường cao nên:
MP.PN = OP2	(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AM.BN = MP.PN = OP2 = R2
	 .	.	SM0N MN2
• c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có Q - A R2
°APB
Khi AM = — thì do AM.BN = R2 suy ra BN = 2R.
ĩ?	5R
Do đó MN = MP + PN = AM + BN = ^ + 2R =
2	2
Suy .ra MN2=^ỈR2 • SM0N 4	25
Vậy SAPn (2R)2	16
d) Nửa hình tròn APB quay quanh bán kính AB = 2R sinh ra một hình cầu bán kính R.
Vậy:
V, = AjiR3
cáu 3