Giải Toán 9: Ôn tập chương IV

ÔN TẬP CHƯƠNG IV
CÂU HỎI
Hãy vẽ đồ thị cúa các hàm sô y '= 2x2, y = -2x2. Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 đồng biến khi nào? Nghịch biên khi nào?
Với giá trị nào của X thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhát? Có giá trị
nào của X đế hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của X thì hàm sô đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của X để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
Đồ thị của hàm số y = ax2 có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0, trường hợp a < 0)?
Đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0), hãy viết công thức tính À, Ạ’.'
Khi nào thì phương trình vô nghiệm?
Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.
Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.
Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a V 0)
Nêu điều kiện để phương trình ax2 +	bx	+ c = 0 (a	*	0)	có	một
nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức	nghiệm thứ hai.	Ap dụng:
nhâm nghiệm của phương trình 1954x2 + 21x	- 1975 = 0
Nêu điều kiện để phương trình ax2 +	bx	+ c = 0 (a	#	0)	có	một
nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai. Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình 2005x2 + l04x - 1901 = 0
Nêu cách tìm hai số, biết tổng s và tích p của chúng.
Tìm hai số u và V trong mỗi trường hợp sau:
fu + V = 3	iu + V = -5
a) ịuv = -8	b) juv = 10
Trả lời
1. a) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi X > 0, nghịch biến khi X < 0.
Với X - 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Không có giá trị nào của X đế hàm số đạt giá trị lớn nhát.
Nếu a 0.
Hàm số đạt giá trị lớn nhát y - 0 khi X = 0. Không có giá trị nào của X để hàm số đạt giá trị nhỏ nhát.
Nêu cách giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a 0).
b) Đồ thị hàm số y = ax2 là đường cong (đặt tên là parabol) đi qua gốc tọa độ nhận trục tung y’y làm trục đối xứng. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm bên trên trục hoành, điếm o là điểm thấp nhât đồ thị (gọi là đình của parabol).
Nếu a < 0 thì đồ thị nàm bên dưới trục hoành, đièm o là diêm cao nhất của đồ thị.
2. A = b2 - 4ac, A’ = b’2 - ac trong đó b = 2b’.
Nếu A < 0 (hoặc A’ < 0) phương trình vô nghiệm.
b+TÃ7 -b-TÃ7
	-	 V 	 	-	
-b + TÃ -b - tã •,x2
Nếu A > 0 (A’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt
■ I X2
thì có một nghiêm Xj = 1, nghiệm kia x2 = —.
1975
Phương trình 1954x2 + 21x - 1975 = 0 thỏa mãn
1954 + 21 + (-1975) = 0 nên có các nghiệm X, = 1, x2
c
a
1901
2005.
+ Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỏa mân điều kiện a - b + c = 0 thì có một nghiệm X. = -1, còn nghiệm kia x2 = - Phương trình 2005x2 + 104x - 1901 - 0 thỏa mãn:
2005 -104 + (-1901) = 0 nên nó có nghiệm Xj = -1, nghiệm kia x2 4. Nếu hai số có tổng bằng s và tích bằng p thì các sô này là hai nghiệm của phương trình X2 - Sx + p = 0.
a) Giải phương trình: X2 - 3x - 8 = 0 ta được các nghiệm 3 + 771	3-7ĨĨ
Xl = _	 > X9 = 	„ 
' , '	2 . , 2
Vậy nếu hai sô u, V sao cho u + V = 3, uv = -8 thì:
3 + 777	3 - 777,	3-777	3
	2 ’ 2 '7;' ; 2 ’ ; 2
b) Giải phương trình x2 + 5x + 10 = 0ta thây phương trình này vô nghiệm. Vậy không có cặp số u, V nào thỏa mãn các điều kiện u + V = -5, uv = 10.
5. Đế giải phương trình ax4 + bx2 + c = 0(a*0)ta đặt ân phụ t = X2. Đặt điều kiện t > 0 và giải phương trình: at2 + bt + c = 0 (2)
u = ——ỳ , V = -	 hoặc u = 	— , V =
Với mỗi nghiệm tj không àm của phương trình (2) ta tìm nghiêm cúa phương trình (1).
BÀI TẬP
Vẽ đồ thị cúa hai hàm sô y =-yX" và y = - Ạx2 trên cùng một hệ
4	4
trục tọa độ.
Qua điểm B(0; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox . Nó cắt
đồ thị của hàm số y = — X2 tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ 4	'
của M và M’.
Tìm trên đồ thị của hàm số y =	điểm N có cùng hoành độ
với M, điếm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:
Ước lượng trên hình vẽ.
Tính toán theo công thức.
Cho phương trình X2 - X - 2 = 0.
Giải phương trình.
Vẽ hai đồ thị y = X2 và y = X + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Giải các phương trình: a) 3x4 - 12x2 + 9 = 0 c) X4 + 5x2 + 1 = 0
Giải các phương trình:
b) 2x4 + 3x2 - 2 = 0
a) 5x2 X
3x + 1 = 2x + 11 10-2x
X -2 X2 - 2x e) 2>/3x2 + X + 1 = ạ/3(x + 1)
Giải các phương trình: a) l,2x3 - X2 - 0,2x = 0
Giải phương trình bằng cách đặt ấn phụ: a) 2(x2 - 2x)2 + 3(x2 - 2x) + 1 = o'
»73
x + 0,5 d)
2x x + 5
6
7x + 2
3x + 1	9x2 -1
f) x2 +2a/2x + 4 = 3(x + 72)
b) 5x3
- 5x + 1 = 0
b) X + — I -4x + — +3 = 0
V X J V X)
60. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:
a) 12x2 c) X
2x2 - 8x + 1 = 0, X, = I 2 + x-2 + a/2.=Ax, = -72
b) 2x2 - 7x - 39 = 0, Xj = -3 d) X2 - 2mx + m- l = o, X, = 2
Tìm hai số u và V trong mỗi trường hợp sau:
a) u + V - 12, uv = 28 và u > V	b) u + V = 3, uv - 6 -
Cho phương trình 7x2 + 2(m - l)x - m2 = 0.
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-et, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000000 người lên 2 020050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích cua một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
Một xe lửa đi từ Hà NộỊ vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900km.
Cho tam giác ABC có BC = 16cm, đường cao AH = 12cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh p và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2.
Giải
54. Vẽ đồ thi:
X
-4
-2
0
2
4
1 2
J 4
4
1
0
1
4
1 2 y = —X
4
-4
-1
0
-1
-4
Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox cắt đồ thị tại hai điểm M, M’ (xem hình). Từ đồ thị ta có hoành độ của M là X = 4, của M’ là X = -4.
	, 1 , , ,
Trên đồ thị hàm sôI y = X ta xác định
4
được điểm N và N’ có cùng hoành độ với M, M’ (xem hình). Ta được đường thẳng
MM’ song song với Ox vì N, N’ đối xứng với M, M’. Tìm tung độ của N, N.
ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y - -4, của N’ là y = -4.
Tính toán theo công thức:
Điếm N trên y = -y X2 có X = 4 nên y = -Ậ.42 = -4.
4	4
Điểm N’ trên y = --7X2 có X = -4 nên y = -Ạ.(-4)2 = -4.
4.	4
a) Giải phương trình X2 - X - 2 = 0.
A = (-1)2 - 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9 > 0
VÃ = V9 = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm: Xj = -1; x2 = 2 b) Vẽ các đồ thị:
* Hàm số y = X2.
Tập xác định D = R.
X
-2
-1
0
1
2
'y = X2
4
1
0
1
4
Bảng giá trị:
- Đồ thị hàm số y = X2 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ o và nhận Oy làm trục đối xứng.
* Hàm số ỵ = X + 2.
Đồ thi hàm số y = X + 2 là một đường thẳng đi qua hai điểm: A(0; 2), B( 2; 0)
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2=x + 2x2-x-2 = 0	1	~
■ Lx2 =2,
Điều này chứng tỏ rằng (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là X = -1; X = 2. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình x2-x-2 = 0ở câu a).
a) 3x4 - 12x2 + 9 = 0. Đặt t - X2 > 0, ta có: 3t2 - 12t + 9 = 0 hay t2 - 4t + 3 = 0
Phương trình thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 nên có hai nghiệm t1 = 1, t2 = 3.
Với t1 = 1 => X2 = 1 X = +1
Với t2 = 3 => X2 = 3 » X = ±V3 Vậy phương trình có bốn nghiệm:
X| = 1, x2 = -1, x3 = Vs,x4 = -Vã b) 2x4 + 3x2 -2 = 0. Đặt t = X2 > 0, ta có: 2t2 + 3t - 2 = 0
A = 9 + 16 = 25, VÃ = 5, tj = 34+ 5 = I,t2 =-2 (loại)
lĩ±ệ.
'2 2
r->l ,	_ 1 '	1	- 1	, . .	V2	"^2
Phương trình có hai nghiệm: X, = -^-,x2 -
c) X4 + 5x2 + 1 = 0. Đặt t = X2 > 0, ta có: t2 + 5t + 1 = 0 A = 25 - 4 = 21
t, = —< 0 (loại); t., = ——— < 0 (loại)
1 2 2
Phương trình vô nghiệm.
57. a) 5x2 -3x + l = 2x+ll 5x2 -5x - 10 = 0x2-x-2 = 0 Phương trình thỏa mãn (liều kiện a b + c = 1 + 1 - 2 = 0 nèn có
hai nghiệm:	Xj = -1, Xo = 2
Với t - — => X" = 4 X - + ,
2 2
b)
2x X + 5
 6x“ - 20x = 5x + 25 o 6x2 - 25x - 25 = 0
5	3	6
A = 252 + 4.6.25 = 25(25 + 24) = 25.49, VÃ = 35. Đo đó: 5
xx = 5, Xọ
c)
10-2x
x-2 X2 X
Ta có:
2x 10-2x
6
Điều kiện: X * 0, X + 2
 x“ = 10 - 2x X2 + 2x -10 = 0
~ — —õ	7	 A - 1 V - Zi A ? A TZ/A — XU — u
2 X2 - 2x
A’ = 1 + 10 = 11 nên X, = -1 + Vn,Xọ = -1 - Vĩĩ Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của ần. Vậy phương
trình có hai nghiệm là: Xj = -1 + Vĩĩ,x2 = -1 - Vfĩ
14x + 4
1	X 4" 0 5
Điều kiện X * ±x. Ta có : -- ■ ’	= ——-
3	3x + 1 9x -1
 (2x + l)(3x - 1) = 14x + 4 6x2 + X - 1 = 14x + 4
 6x2 - 13x -5 = 0	5	1
A = 169 + 120 = 289, VÃ = 17 => X, = -|,x2 = (loại)
5	1	2	2	3	•
Vậy phương trình có một nghiệm: X1 - Q
2a/3x2 +X + 1 = Vã(x + 1) c? 2V3X2 - (Võ - l)x + 1 - Võ = 0
A = (V3-1)2 =8V3(l-V3) = 4-2V3-8v'3 + 24 = 25-2.5V3 + 3 = (5 -Vã)2 V3-I + 5- V3 Vã V3-1-5+V3	1- V3
x’ =	4V3	3;x’2= 4VỘ =
X2 + 2V2X + 4 = 3(x + V2) X2 + (2V2 - 3) + 4 - 3V2 = 0
A = 8 - I2V2 + 9 - 16 + I2V2 = 1. Do đó
7x + 2 2x + 1
3x + 1	9x' - 1
2 • 2
a) l,2x3 - x2 - 0,2x = 0o x(l,2x2 - X - 0,2) = 0
x = 0	(1)
[_l>2x2 -x-0,2 = 0	(2)
(1) Xj = 0
(2) thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1,2 - 1 - 0,2 = 0 nên có hai nghiệm x9 = 1, X.J = ~Y~ - _ g
Phương trình có ba nghiệm: X, = 0, x2 = l,X;j = - —
5x-l = 0
5x =1
X2 - 1 = 0
(x-l)(x + l) = 0
x = — 5
X = ±1
5x3 -x2-5x + l = 0 x2(5x - 1) - (5x -l) = 0o (5x - l)(x2 - 1) = 0 1
Phương trình có ba nghiệm: Xj = -g,x2 = l,x3 - -1 5
a) 2(x2 - 2x)2 + 3(x2 - 2x) + 1 = 0.
Đặt X2 - 2x - t, ta có: 2t2 + 3t + 1 = 0
Với tj = -1, ta cố: X2 - 2x = -1 hay X2 - 2x + 1 = 0. Phương trình có nghiệm kép: Xj = x9 - 1
Với tj' = ta có : X2 - 2x = hay 2x2 - 4x + 1 = 0.
2-72
Zu	I—
2 + y/2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x3 =—-—, x4 =
2-72
Vậy phương trình có ba nghiệm:
•>x4 =
, ~ _ 2 + 72 X, = x2 = l,x3 = —
b) l^x + — Ị -4^x + —J + 3 = 0. Điều kiện: X/0. Đặt X + — - t, ta có: t2 - 4t + 3 = 0, tj = 1, t2 = 3
Với = 1, ta có: X + — = 1 hay X2 - X + 1 = 0.
Phương trình vô nghiệm.
3 + 75	3-75
Với tj = 3, ta có: X + — = 3 hay X2 - 3x + 1 = 0.
-,x2 =
61. a) Biết u + V = 12, uv = 28 và u > V. u và V là hai nghiệm cùa phương trình:
X2 - 12x + 28 = 0, A’ = 36 - 28 = 8
Phương trình có hai nghiệm Xj =
X2 - 12x + 28 = 0, A’ = 36 X, - 6 + 272,x2 - 6-272
Vì 6 + 2V2 > 6 - 2V2 nên
u - 6 + 2V2, V = 6 - 2V2 b) u + V = 3, uv = 6
u và V là hai nghiệm của phương trình: X2 - 3x + 6 = 0
A’ = 6 - 24 = -15 < 0. Phương trình vô nghiệm. Vậy không có hai số
u và V nào thỏa mãn các điều kiện đả cho.
Ta có phương trình: 7x2 + 2(m - l)x - m2 = 0
a) A’ = (m - l)2 + 7m2 > 0 với mọi giá trị của m. Do đó phương trình
có nghiệm với mọi giá trị của m.
-m’
b) Gọi Xp Xọ là hai nghiệm của phương trình ta có:
-2
„2 , „2	„ x2 0.. ..	2(1 -m) '■
x2 + x2 = (Xj + x2) -2x,x2 =
*	■ J V '
4m2 - 8m + 4 + 14m2 _ 18m2 - 8m + 4
49	49
Gọi tỉ số tăng dân số trung bình môi năm là x%, X > 0.
Sau một năm dân số của thành phô là:
2000000 + 2000000.-ị- hay 2000000 + 20OOOx người 100 s
Sau hai năm dân số của thành phô' là:
2000000 + 20000X + (2000000 + 20000x)-^- 100
hay 2000000 + 40 000x + 200x2 Theo đầu bài ta có phương trình:
200x2 + 40 OOOx + 2 000 000 = 2 020 050 hay 4x2 + 800x - 401 = 0
Giải phương trình: A' = 160 000 + 1604 = 161604, Tv = 402
-400+402 n c	-400-402 M
x, = ——-	= 0,5; X., = —— 	< 0
(	4 K	4
Vì X > 0 nên x2 không thỏa mãn điều kiện của ấn.
Trả lời: Tỉ số tăng dân số trung bình một năm cua thành phố này là 0,5%.
Gọi số mà đầu bài đã cho là X, X nguyên dương.
Bạn Quân đã chọn số X - 2 đế nhân với X.
Vì tích này 120 nên ta có phương trình:
x(x - 2) = 120 hay X2 - 2x - 120 = 0 Giải phương trình: A’ = 1 - (-120) = 121 => VÃ7 = 11 Do đó: X, =	1	= -10 (loại) ; X, = —y— = 12
Ta được số mà đầu bài đã cho là 12, nhưng đầu bài yêu cầu tìm tích của X với X + 2.
Vậy kết quả đúng phải là 12.14 = 168 Trả lời: Kết quả đúng phải là 168.
65. Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là: X (km/h), X > 0 Gọi vận tốc của xe lửa thứ hai là: X + 5 (km/h)
450
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: -——(giờ )
• Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình.Sơn đến chô gặp nhau là:	P'glơ)
X -4- 5
Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp
nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Do đó ta có phương trình:
450	450	1
X X + 5
Giải phương trình: X2 + 5x = 2250 hay X2 + 5x - 2250 = 0
A = 25 + 9000 = 9025, VÃ = 95
X! = 45, x2 = -50
Vì X > 0 nên x2 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45 km/h.
Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50 km/h.
66. Đế xác định vị trí của M ta chỉ cần tính độ dài đoạn AK. Gọi độ
dài đoạn AK là X (cm), X > 0.
Vì AABC đồng dạng với AAMN nên:
MN _ AM _ AK _ X
BC - AB - AH - 12
16x 4x
Suy ra: MN =
12	3
Mặt khác: MQ = KH - 12 - X
Do đó diện tích của hình chữ nhật MNPQ = (12-x).
Theo đầu bài ta có phương trình:
4x
(12 -x).^ = 36 hay X2 - 12x + 27 = 0 3	J
Giải phương trình: A' - (-6) 6
Do đó: X, =
3 o „	6 + 3
- = 3,x2 =
27 = 36-27
= 9
vr = 3
1 . 1
Trả lời: Dộ dài của AK bằng 3cm hoặc 9cm.