Giải Toán 9: Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng

  • Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng trang 1
  • Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng trang 2
  • Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng trang 3
  • Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng trang 4
  • Bài 6. Hệ thức vi - ét và ứng dụng trang 5
§6. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC Cơ BẦN
Hệ thức Vi-et
Nếu X,, x9 là hai nghiệm cùa phương trình ax2 + bx + c = o, a^o thì:
L .. b
X, + x2 = - — a
c
2. Áp dụng
X1X2 = 7 a
Tính nhẩm nghiệm;
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình
c
có một nghiệm là X1 = 1, còn nghiệm kia là x2 - —.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm là Xj = -1, còn nghiệm kia là x2 =	.
Nếu hai số có tổng bằng s và tích bằng p và s2 - 4P > 0 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 - Sx + p - 0
Tìm hai sô'khi biết tổng và tích của chúng
B. HƯỚNG DẪN GIÃI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho phương trình 72 .X2 + x- 72-l = 0
Xác định các hệ số a, b, c và a + b + c.
Không giải phương trình, tính tống và tích -các nghiệm của phương trình.
Chứng tỏ Xj = 1 là một nghiệm của phương trình. Dùng định lí Vi-et để tìm nghiệm còn lại.
Giải
Phương trình 72x2 + X - 72 - 1 = 0 có a = 72 , b = 1, c = -72 - 1.
Do đó a + b + c = 72 + 1 - 72 - 1 = 0 •
Theo định lí Vi-et ta có:
b 1	72
a 2
c -72-1 X, ,x2 = - = —^-=—
a z 72 .,
Thay Xj = 1 vào vế trái của phương trình ta được:
VT = 72.1 +1-72-1 = 72 + 1-72-1 = 0 = VP
Vậy Xj = 1 là một nghiệm của phương trình. Theo câu b) ta có:
-72-1	5	-72-1
X, - x2 =
mà X, = 1. Vậy X., = -
2. Bài tập cơ bản
Đôi với mỗi phương trình sau, kí hiệu Xj và x9 là hai nghiệm (nếu
có). Không giái phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):
2x2 - 17x + 1 = 0
5x2 - X - 35 = 0
8x2 - X + 1 = 0
25x2 + lOx + 1 = 0
Dùng điều kiện a + 1
A = ...
X1
+ x9 = ..
. xrx2 = ...
A = ...
X1
+ x9 = ..
xrx2 = ...
A = ...
X1
+ X2 = -
xrx‘“ = ...
A = ...
X1
+ x9 = ..
x; x“ =
+ c =
0 hoặc a
- b + c
= 0 đế tính
nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 - 37x + 2 = 0	b) 7x2 + 500x - 507 = 0
c) X2 - 49x - 50 = 0	d) 4321x2 + 21x - 4300 = 0
Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình
a) X2 - 7x + 12 = 0	b) X2 + 7x + 12 = 0
Tìm hai sô' u và V trong mỗi trường hợp sau:
a) u + V = 32, uv = 231	b) u + V = -8, uv = -105
c) u + V = 2, uv = 9
Giải
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 có a = 2, b = -17, c = 1
A = (-17)2 - 4.2.1 = 289 - 8 = 281
-17 ■17	1
28
25
X, + x2 = --
= —-;x, .x„ = — 2 2
b) 5x2 -x-35 = 0cóa = 5, b = -1, c = -35 A = (-1)2 - 4.54-35) = 1 + 700 = 701 -1	1	-35
+ x2 = -— = -;x,.x2 =
= -7
8x2 -x + l = 0có a = 8, b = -1, c = 1
A = (-1)2 - 4.8.1 = 1 - 32 = -31 < 0 Phương trình vô nghiệm nên không thế điền vào ô trống được.
25x2 + lOx + 1 = 0 có a = 25, b = 10, c = 1
A = 102 - 4.25.1 = 100 - 100 = 0
10 2 1
+ x2
25	5	25
26. a) 35x2 - 37x + 2 = 0 có a = 35, b = -37, c = 2 Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0 2
nên X! = 1; x2 = —
b) 7x2 + 500x - 507 = 0 có a = 7, b = 500, c =
Do đó: a + b + c = 7 + 500 - 507 507 7
nên Xj = 1; , x2 = --
X2 - 49x - 50 = 0 có a = 1, b = -49, c = -50 Dođóa-b + c = l- (-49) - 50 = 0
-5° _ rn
nen Xj = -1; x2 =	— = 50
4321x2 + 21x - 4300 = 0 CÓ a = 4321, b = 21, c = -4300 Do đó a - b + c = 4321 - 21 + (-4300) = 0
-4300 -4300 nenx, = -l;	-lijir = its
a) X2 - 7x + 12 = 0 co a = 1, b = -7, c = 12
X, .X., = —p = 12 = 3.4
1
Vậy Xj - 3; x2 = 4.
X2 + 7x + 12 = 0 CÓ a = 1, b = 7, c = 12 7
nên Xj + x2 = -ý = -7 = -3 + (-4)
x,.x2 =Y = 12 =
Vậy Xj = -3; x2 = -4.
a) u và V là nghiệm của phương trình: X2 - 32x + 231 = 0 A' = 162 - 231 = 2 5 6 - 231 = 25,7a7 = 5.X, = 21,x2 = 11
Vậy u = 21, V = 11 hoặc u = 11, V = 21.
u, V là nghiệm của phương trình:	
x2 +8X-105 = 0, A' = 16 + 105 = 121, VÃ7 = ll.x = -4 + 11 = 7 x2 = -4 - 11 = -15
Vậy u = 7, V = -15 hoặc u = -15, V = 7.
Vì 22 - 4.9 < 0 nên không có giá trị nào cúa u và V thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài tập tương tự
Không giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiêm sô của các phương trình sau:
X2 - 14x + 33 = 0	, b) 3x~ + 5x + 61 = 0
X2 - Tõx + 2 - Tẽ = 0	d) T2x- -v(T2 + Tã)x + TÕ = 0
Tính nhấm nghiệm các phương trình:
12x2 - 15x + 3’	b)2008x2 - 2Ọ07x - 1 = 0
(Tã + l)x2 + (Tã + 2)x + 1 = 0	d) mx2 + (m + l)x + 1 = 0
LUYỆxN TẬP
Không giải phương trình, hãy tính tông và tích các nghiệm (nêu có) cua mồi phương trình sau:
4x2 + 2x - 5 = 0	b) 9x2 - 12x + 4 = 0
5x2 + X + 2 = 0	d) 159x2 - 2x - 1 = 0
Tìm giá trị của m đê phương trình có nghiệm, rồi tính tông và tích các nghiệm theo m.
a) X2 - 2x + m = 0	b) X- + 2(m - l)x + m2 = 0
Tính nhẩm nghiệm cua các phương trình:
a) l,5x2 - l,6x + 0,1 = 0	b) Tõx’ -(1 - Vã)x - 1	0
(2- a/3)x2+ 2ạ/3x-(2 +73)-0
(m - l)x2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m - 1
Tìm hai sô u và V trong mỗi trường hợp sau:
a) u + V = 42, uv = 441	b) u + V - -42, UV - -400
c) u - v = 5, uv = 24
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x, và x9 thì tam thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhàn từ như sau:
ax2 + bx + c = a(x - x] )(x - x9)
Ap dụng: Phân tích đa thức thành nhân tứ.
a) 2x2 - 5x + 3	b) 3x2 + 8x + 2
Giải
29. a) Phương trình 4x2 + 2x - 5 = 0 có nghiệm vì a - 4, c = -5 trái dâu
v 5 nhau nên X, + x2 = - —,X|X2 = - —
Có a + b + c = m - 1 -- (2m + 3) + m + 4 = 0
,	, m + 4
nên X, = l,x2 =	
m - 1
a) u + V = 42, uv = 441 u. V là hai nglìiệm cua phương trình:
X - 42x + 441 = 0
A' = 21- - 441 = 441-441 = 0, Tv = 0; X, = X. = 21 Vậy u = V = 21
u + V = -42, uv = -400, u, V là hai nghiệm của phương trình:
X2 + 42x - 400 = 0
A' = 441 + 400 = 841,Vv = 29; X, = 8,x2 = -50. Do đó: u = 8, V = -50 hoặc u = -50, V = 8
u - V = 5, uv = 24. Đặt -V = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta tìm được:
u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8. Do đó: u = 8, V = 3 hoặc u = -3, V = -8
Biến đôi vế phải: a(x - Xj)(x - x9) = ax2 - a(Xj + x9)x + aXjX9
_ '2 hl x „ £ _ 2^ , * „
= ax - a - — X + a — = ax + bx + c I ay a
Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là Xp x9 thì: ax2 + bx + c = a(x - Xj)(x - x2)
Áp dụng:
,	3	„
hai nghiệm là Xj = 1, x2 = - nên:
3
2x2 - 5x + 3 = 2(x - l)(x2 - V = (x - l)(2x - 3)
b) Phương trình 3x2	+ 8x +	2 có a	= 3, b	= 8, b’ = 4, c	= 2.
, •)	„	, , .	, ..	,	-4 - VTÕ -4 + ạ/ĨÕ
nên \’ = 42 - 3.2 = 10, có hai nghiệm là: X, = ——	, x2 =
Phương trình 2x2 -5x + 3 = 0cóa + b + c = 2- 5 + 3 = 0 nên có
3
nên: 3x2 + 8x + 2 = 3
f -4-TĨÕy -4 + VĨÕ
k 3 .
4 + VĨÕy _ 4-d/ĨÕ}
ự	3 yi	3