Giải Toán 9: Ôn tập chương III
ÔN TẬP CHƯƠNG III Câu lìỏi Góc ở tâm là gì? Góc nội tiếp là gì? Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì? Tứ giác nội tiếp là gì? Với ba điểm A, B, c thuộc một đường tròn, khi nào thì sđẤÌ = sdAQ+sdCB? Phát biếu các định lí về môi quan hệ giữa cung'nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn. Phát biểu định lí và hệ quả về các góc nội tiếp cùng chắn một cung. Phát biểu định lí về góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung. Phát biêu quỹ tích cung chứa góc. Phát biêu điều kiện đê một tứ giác nội tiếp được đường tròn. Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Phát biểu định lí về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiêp của đa giác đều. Nêu cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn. Nêu cách tính số đo của góc nội tiếp theo số đo của cung bị chắn. Nêu cách tính sô đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung theo số đo của cung bị chắn. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn theo số đo của các cung bị chắn. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn theo .số đo của các cung bị chắn. Nêu cách tính độ dài cung n° của hình quạt tròn bán kính R. Nêu cách tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n°. Trả lời Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh cắt đường tròn đó. Đường thẳng xt tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm A thì tiếp điểm A chia tiếp tuyến xt thành hai tia đối nhau Ax và At. Mỗi tia như vậy gọi là một tia tiếp tuyến. Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến với một dây cung của đường tròn có một đầu mút là gốc của tia tiếp, tuyến gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Ví dụ góc BAt trong hình. Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên mót đường tròn. Khi điềm C nằm trên cung AB thì: sđAB = sđAC + sđCB Với hai cung nhỏ của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì: hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau cung lớn hơn căng dây lớn hơn dây lớn hơn căng cung lớn hơn. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo cùa góc ở tâm cùng chắn một cung. Định lí thuận: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có sô đo bằng nửa số đo của cung bị chấn. Định lí đảo: Một góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung, có số đo bằng nửa số đo cung căng dây đó và cung này nằm bên trong góc thì cạnh kia là một tia tiếp tuyến. Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc a không đổi là hai cung chứa góc a dựng trên đoạn thắng đó (0° < a < 180°). Một tứ giác nội tiếp được đường tròn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: + Tống của hai góc đối diện bằng 180°. + Góc ngoài tạì một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. + Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh nối hai đính còn lại dưới góc bằng nhau. + Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định. - Tổng hai góc đối diện bằng 180°. Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đinh đối diện. Hai đinh kề cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc. Bôn đỉnh cách đều một điểm cố định. Mỗi đa giác đều có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. số đo của cung lớn bằng 360° trừ đi số đo của cung nhỏ cùng căng dây cung. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Sô đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo các cung bị chắn. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của các cung bị chắn. Độ dài l của cung n° của hình quạt tròn bán kính R được tính theo TC.R.n công thức: í = Diện tích s của hình quạt tròn bán kính R, cung n° được tính theo 7tR“n công thức: ÍS = - — 6 360 BÀI TẬP Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây: (Ví dụ: Góc trên hình 66b) là góc nội tiếp). Trong hình 67, cung AmB có sô đo là 60°. Hãy: Vẽ góc ớ tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB. Vẽ góc nội tiếp đỉnh c chắn cung AmB. Tính góc ACB. Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt. Vẽ góc ADB có đinh D ở bên trong đường tròn. So sánh ADB với ACB • Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và c cùng phía đối với AB). So sánh AEBvới ACB- 90 Vẽ hình vuông cạnh 4cm. Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R cúa đường tròn này. Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r cúa đường tròn này. Trong hình 68, đường tròn tâm o có bán kính R = 2cm v£ÃÕẽ = 75" Tính sđ ApB ■ Tính độ dài hai cung AqB và ApB. Tính diện tích hình quạt OAqB. » -1.5- * Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm). Hình 69 Hình 70 Có ba bánh xe răng cưa A, B, c cùng chuyến động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe c có 20 răng. Biết bán kính bánh xé c là lcm. Hỏi: Khi bánh xe c quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng? Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng? Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu? Hãy xem biếu đồ hình quạt biếu diễn sự phân phôi học sinh cúa một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau: Hình 72 , , 2. 1 p , • Có phải — sô học sinh là học sinh ngoại trú không? Có phải — sô học sinh là học sinh bán trú không? Sô học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm? Tính số học sinh mỗi loại, biết tông số học sinh là 1800 em. Các đường cao hạ từ A và B cúa tam giác ABC cắt nhau tại H (góc c khác 90°) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: CD = CE b) ABHD cân c) CD = CH Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng: OM đi qua trung điểm của dây BC. AM là tia phân giác của góc OAH. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại s. Chứng minh rằng: ABCD là một tứ giác nội tiếp. ABD = ACD- * CA là tia phân giác của góc SCB. Cho đường tròn (0) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó. Dựng AABC, biết BC = 6cm, BAC = 80°, đường cao AH có độ dài là 2cm. Giải a) Góc ở tâm. Góc nội tiếp. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn. a) Ta có: ẤũmB = 60° nên sdAOB = sđẤmB = 60° sđACB = ^sdAmB = ị.60° 7 222 2 2 Vậy ACB = 30° Có hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến tại B và dây cung BA. Đó là ABt và ẤBĨ' . Ta có: sđẤBt = i.sdAmB = 1.60° = 30° 2 2 Vậy ACB = 60° => ABt' = 180° - ABt(hai góc kề bù) = 180° - 30°^_150° Ta có: sđADB - 2 “ ’ ACB = ỆsđAB sđAB-sđA'B' AB 5 ——g mà T- > sđ —— nên ADB > ACB 2 -A m2 -X. _ sđAB-sđKL Ta có: sđAEB = —- ' sđAB - sđKL AB mà —— < sđ —- _ 2 — 2 nên AEB < ACB . a) Vẽ bằng êke và thước thẳng hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Hình bên. b) Vẽ hai đường chéo AC và BD. Chúng cắt nhau tại o. Vẽ đường tròn tâm o, bán kính R = OA. Ta được (O; R) ngoại tiếp hình vuông ABCD. Ta có: AC = 7 AB2 + BC2 = \?42 + 42 = 4\/2 (cm) nên R = OA = i AC = 2V2 (cm) T 2 " , . * Từ o kẻ OI vuông góc với AD tại I. Vẽ đường tròn tâm o, bán kính r = OI. Ta được (O; r) nội tiếp hình vuông ABCD. Ta có: OI = — AD (AAOD vuông tại o có OI là đường cao nên cũng là trung tuyến), nên r = OI = |.4 = 2(cm) 1 _ 7tRn° 180° a) SdApB = 360° - sdAqB = 360° - 75° = 285° b) Độ dài cung AqB ■ 3,14.2.75° 180" 3,14.2.285° ± Độ dài cung ApB : z - 7tRn'1 - 180° = 9,9(cm) 2,6.2 = 2,6 (cm2) = 2,6(cm) 180° ọ 7iR2n 3,14.22.75 o s = _ - = rrr = 2,6(cm Diện tích hình quạt OAmB: 360" 36Q_ Có thê dùng công thức: 0 = — 92. • Hình a) Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn lớn và đường tròn nhỏ. Đo đạc ta được: R = l,5cm; r = lcm Diện Lích hình tròn lớn: s = 71R2 = 3,14 . 1,52 - 7,07 (cm2) Diện tích hình tròn nhở: s = Ttr2 = 3,14 . I2 - 3,14 (cm2) Diện tích hình gạch sọc: Ssọc = S - s = 7,07 - 3,14 = 3,93 (cm2) • Hình b) Đo đạc ta được R = l,5cm; r = lcm, n = 80° Diện tích hình quạt lớn: s = Diện tích hình quạt nhỏ: s = 1,57 (cm2) 3,14.1,52.80° 360" = 0,7 (cm2) 3,14.12.80° J_71Ụ1I L1C11 1111111 ụurti 1111U. o — — w, < will 7 z _ 360" _ Diện tích phần gạch sọc: Ssọc = s - s = 1,57 - 0,7 = 0,87 (cm2) • Hình c) Đo đạc ta được cạnh hình vuông: 3cm; bán kính cung tròn: l,5cm Theo hình vẽ, điện tích phần gạch sọc bằng diện tích hình vuông trừ diện tích hình tròn. nên Ssoc = 32 - 71 . 1,5 = 32 - 3,14 . 1,52 = 1,94 (cm2). 93. Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe c có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe c, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe c. Chu vi bánh xe c là: 2 . 3,14 . 1 = 6,28 (cm) Chu vi bánh xe B là: 6,28 . 2 = 12,56 (cm) Chu vi bánh xe A là: 6,28 . 3 = 18,84 (cm) Khi bánh xe c quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là: 60.6,28 = 376,8 (cm) Khi đó số vòng quay của bánh xe B là: 376,8 : 12,56 = 30 (vòng) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là: 80 . 18,84 = 1507',2 (cm) Khi đó sô vòng quay của bánh xe B là: 1507,2 : 12,56 = 120 (vòng) c) Bán kính bánh xe B là: 12,56 : (2k) = 12,56 : Bán kính banhrxe A là: 12,56 : (3n) = 12,56 : 94. Đo đạc ta được: O] = 30°; = 60° Ta có: O3 1 nên có — Ta có: O2 1 nên có — O số học sinh là học sinh ngoại trú. số hoc sinh là hoc sinh bán trú. 6,28 = 2 (cm) 9,42 = 3 (cm) : -^-.100 = 16,7% 180 d) Gọi X, y, z lần lượt là số học sinh nội trú, bán trú, ngoại trú. Ta có: X _ y _ Z X + y + z _ 1800 _ 1 2 3 1 + 2 + 3 6 nên X - 300 y = 600 Z = 900 Vậy số học sinh nội trú: 300 em, bán trú: 600 em và ngoại trú: 900 em. 95. a) AD 1 BC tại A’ nên AA' B = 90". Vì AA 'B là góc có đỉnh ở trong đường tròn nên: AB + DC-180" . (1) Tỉ lệ phần trăm số học sinh nội trú chiếm là A Mà DC = EC => EBC = CBD => ABHD cân (vì trong tam giác này, BA’ vừa là đường cao, vừa là phân giác). c) Từ tam giác cân BHD suy ra HA’ = A’D (BA’ là đường trung trực của cạnh HD). Điểm c nằm trên đường trung trực của HD nên CH = CD. 96. a) Vì AM là tia phân giác BÃC nên BAM = MÃÈ => BM = MC Suy ra M là điểm chính giữa của cung BC, từ đó OM ± BC và OM đi qua trung điểm của BC (định lí). Cũng vậy, vì BE 1 AC tại B’ nên AB'B = 90" > ta có: AB + CE = 180" (2) Sọ sánh (1) và (2) suy ra DC = CE hay DC = CE Cách chứng minh khác: DAC = CBE (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc, AD _L BC, AC i BE) => CD = CE => CD = CE b) EBC = CBD = 2 So sánh (1) và (2), có HÃM = ÕÃM- Vậy AM là tia phân giác của ỐÃH • a) MOC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BAC - 90° (theo giả thiết) Điểm A và D đều nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 90°, vậy A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Nói cách khác, ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC. Trong đường tròn đường kính BC, ABD - ACD vì cùng chắn cung AD • SDM = MCS (1) (cùng chắn cung MS của đường tròn (O). Lại có ADB = ACB (2) (cùng chắn cung AB cùa đường tròn đường kính BC). So sánh (1) và (2) suy ra: SCA = ACB Vậy CA là tia phân giác của SCB. Pliần thuận: Giả sử M là trung điếm của dây AB. Ta có OM _L AB (định lí) Khi B di động trên (O), điếm M luôn nhìn OA cố định dưới góc vuông, vậy M thuộc đường tròn đường kính OA. Phần đảo: Lấy điểm M’ bất kì trên đường tròn đường kính OA. Nối M’ với A, đường thẳng M’A cắt đường tròn (O) tại B’. Nối M’ với o ta có ÃÃTÕ = 90" hay OM’ ± AB’ suy ra M’ là trung điểm của AB’. Kết luận: Tập hợp các trung điểm của dây AB là đường tròn đường kính OA. • Trình tự dựng gồm các bước sau: Dựng đoạn thẳng BC = 6cm. Dựng cung chứa góc 80° trên đoạn thẳng BC Vung Íw5). Trên đường vuông góc với BC tại I (I là trung điểm BC), chọn điểm K sao cho IK = 2cm. Từ K dựng đường thẳng vuông góc với IK. Đường thẳng này cắt cung chứa góc BmC tại A và A’. Tam giác ABC (hoặc AA’BC) là tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài (BC = 6cm;  = 80° > AH - 2cm). Chú ý: Trình tự dựng cung chứa góc 80° như sau: Dựng BC = 6cm. Dựng CBx = 80° • Dựng By 1 Bx tại B. Dựng đường trung trực d của BC. Gọi o là giao điểm của d và By. Dựng cung tròn BmC tâm o bán kính OB.