Giải Toán 9: Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 1
  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 2
  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 3
  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 4
  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 5
  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 6
  • Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số trang 7
§4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI số
A. KIẾN THỨC cơ BẢN
Quy tắc cộng đại sô'
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đối một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vê hai phương trình của hệ phương trình đã cho đế’ được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp, cộng đại sô'
Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với sô thích hợp (nếu
cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình cúa hệ bằng nhau hoặc đô'i nhau.
Bước 2: Sử dụng quy tẩc cộng đại số đế được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số cùa một trong hai ấn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bước 3: Giải phương trình một ấn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
3x + 2y = 22 2x - 3y = -7
(1)
(2)
Bài tập mẫu
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Giải
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 và nhân hai vế của phương trình (2) với -3 ta được hệ tương đương:
3x + 2y = 22	(6x + 4y = 44	’(3)
' 2x-3y =-7	Ị-6x + 9y = 21	(4)
Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được một phương trình mới và kết
hợp với phương trình (2) ta được hệ mới tương đương:
13y = 65 <fy = 5	^fy.= 5 Jx = 4
‘ 2x - 3y = -7	[2x - 3.5 = -7	[2x = 8^ [y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 4; y = 5).
2. Bài tập cơ bản
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
20. a) ‘
d) <
21. a)
20. a)
b) <
3x + y = 3 2x - y = 7 2x - 3y = -2 3x - 2y = -3 X\Ỉ2 - 3y = 1 2x + y V2 = -2
b)
e) ■
2x + 5y = 8 2x - 3y = 0 0,3x + 0,5y = 3 l,5x - 2y - 1,5
5x73 + y = 2Ự2 xTẽ - y V2 = 2
c) <
4x + 3y = 6 2x + y = 4
= 3
5x = 10
X = 2
 •
0 ■
 5
= 7
l2x-y = 7
[y = 2x-7
X = 2 y = -3
 <
c)
d)
e)
2x + 5y = 8
2x - 3y = 0
4x + 3y = 6
 <!
2x + y = 4
2x - 3y = -2
3x - 2y - -3
0,3 + 0,5y = 3
l,5x - 2y = 1,5
2x + 5y = 8 [8y = 8
2x + 5y = 8
 <
[y = i
4x + 3y = 6
 ■
4x + 2y = 8
4x + 3y = 6
 <
,y = -2
b)
Giải'
[6x - 9y = -6 [6x - 4y = -6
l,5x + 2,5y = 15 l,5x - 2y = 1,5 l,5x = 15-2,5.3
6x - 9y = -6 -5y = 0
21. a) Nhân phương trình thứ nhất với -72, ta được:
x72 - 3y = 1 2x + y72 = -2
-2x + 3\/2.y = -72 2x + y72 = -2
-1-^v 1 2y
-1-72
3
X = —
2
y = i X = 3 y = -2
X = -1 y = 0
l,5x + 2,5y =15 4,5y = 13,5 l,5x = 7,5 y = 3
72
+ 8
4ự2.y = -72 - 2 2x + y77 = -2
b) Nhân phương trình thứ nhất với 72 rồi cộng từng vê hai phương 1
trình ta được: 5x76 + x7ẽ = 6 X =
76
Từ đó hệ đã cho tương đương với
a/6	 <j
xTẽ - y72 = 2
76
3. Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
a)
c) •
4x + 2y = 22 5x + 3y = 29 3\/x + 2 Vỹ = 6 Vx - Vỹ = 4,5
b)
d)
3Vx - Vỹ = 5
2\/x + 3yfỹ = 18 3|x| -ịyị = 3 2 |x| + 3|y| = 13
LUYỆN TẬP
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
í-5x + 2y = 4	Í2x-3y.-11	[3x-2y = 10
6x - 3y =-7	|-4x + 6j
Giải hệ phương trình sau:
(1 + V2)x + (1 - V2)y = 5
(1 + V2)x + (1 + V2)y = 3
Giải các hệ phương trình:
Í2(x + y) + 3(x-y) = 4
(x + y) + 2(x - y) = 5
Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:
P(x) = (3m - 5n + l)x	+ (4m - n - 10)
Xác định a và b để đồ thị của	hàm	số y = ax + b đi qua hai điếm A
và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(2;-2) và B(-l; 3)	'	b) A(-4; -2) và	B(2; 1)
c) A(3; -1) và B(-3; 2)	d) A(V3;2) và	B(0;2)
Bằng cách đặt ấn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhâT hai ẩn rồi giải:
a) •
a) ■
--- = 1 X y
3 , 4 _ _ — + — = 5
X V
b)
x-2
2
c)
2_ U
X -—y = 3— 3'	3
b)
2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 3(x - 2) - 2(1 + y) =-3
Hướng dần: Đặt u = —, V = — X	y
y-1
3
2	y-1
Hướng dẫn: Đặt u = — 1 x
y-1
22. a)
b)
-5x + 2y - 4 6x - 3y - -7
Giải
-15x + 6y = 12 12x - 6y = -14 2
X = —
3
6y = 12 + 15,-
2x-3y = 11 -4x + 6y = 5
4x - 6y = 22 -4x + 6y = 5
-+x + oy = □	^-+X + r>3
Hệ phương trình vô nghiệm.
c)
3x - 2y = 10
, _ 9 1 í X - — y - 3 —
3
3x - 2y = 10 3x - 2y = 3.
-3x = -2 -15x + 6y = 12
2
X = —
3	 <!
6y = 22
4x - 6y = 22 4x - 6y = -5
k2y = 3x-10 Hệ phương trình có vô số nghiệm.
'(1 + 72)x + (1 - 72)y = 5
(1 + 72)x + (l + 72)y = 3
3x - 2y = 10 3x - 2y = 10 X e R
y = - X - 5
2.
23. Ta có:
(1)
(2)
11
y ?
4x - 6y = 22 Ox - Oy = 27
Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) ta được:
(l-72)y-(l + 72)y = 2 o (1 - 72 - 1 - 72 )y = 2 -2y72^= 2 o y =
Thay (3) vào (1) ta được:	_
' 72'
—— y = —7= y = -
272	72	2
72
=	(3)
(1 + 72)x + (1 - 72)
r~ *	x	ỵ
o (1 + 72)x - ^ + 1 = 5
/1	_• 8 + 72	8 + 72
(! + V2)x = ——-— X =
 X =
 X = 	—7=^-
2 _ 2(1 + 72)
(8 + 72X1 - 72)	.	8 - 872 +72 -2
	_	 X =	—-	
-2(1-2)	„	-2
6-772	-6 + 772
	 X = ——-	
Hệ có nghiệm là
2
-6 + 772
2
72
24. a) Cách 1: Đặt X + y - u, X - y = V, ta có hệ phương trình (ân u, v): 2u + 3v = 4 u + 2v = 5 Í2u + 3v = 4
nên
u + 2v = 5 2u + 3v = 4
2u + 3v = 4 2u + 4v = 10 2u =4-3.6
[v - 6	[v = 6
Suy ra hệ đã cho tương đương với:
2u + 3v = 4 -V = -6 u = -7 V = 6
X + y = -7 x-y = 6
2x = -1 X -y = 6
X = - — 2 13
y 2
Cách 2: Thu gọn vế trái của hai phương trình ta được hệ tương đương: 2x + 2y + 3x - 3y - 4
 <
1
2x = -1
1
X = —-
X = — 2
X =
 •
2 « •
 •
3x - y = 5
y = 3x - 5
y = 3[-
tì
-5
y =
x + y + 2x-2y = 5
5x - y = 4 5
3x-y
1
2
13
2
nên
2u + 3v = -2 3u - 2v = -3 2u + 3v = -2 3u - 2v = -3 6u = -6 + 9v V = 0
6u + 9v = -6
 5
6u - 4v = -6
6u = -6
 ì	 '
[v = 0	[v = 0
Suy ra hẹ đã cho tương đương với:
fx-2 = -l ix —1
-1
6u + 9v = -6 13v = 0
u = -1 V = 0
Cách 2: Thu gọn vê trái cúa hai phương trình:
6x + 9y = -3 13y = -13
2(x - 2) + 3(1 + y ) = -2 3(x-2)-2(l + y) = -3 [2x.+ 3y = -1 !3x.-2y = 5 6x = -3 - 9y y = -1
2x - 4 + 3 + 3y = -2 3x - 6 - 2 - 2y = -3 6x + 9y = -3 6x - 4y = 10
[6x = 6
Íyt-1
x = 1 y = -l
25. Ta có: P(x) = (3m - 5n + l)x + (4m 3m - 5n + 1 = 0
10)
Nếu P(x) = 0 o ' 3m - 5n = -1
4m - n - 10 = 0 3m - 5n = -1
4m - n = 10
 <
20m - 5n = 50
-17m ■= -51 4m - n - 10
 •(
m = 3
-n = 10-4.3
m = 3 i m = 3
k-n = -2	] n = 2
26. a) Vi A(2; -2) thuộc đồ thị nên 2a + b = -2.
Vì B(-1; 3) thuộc đồ thị nèn -a + b =.3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.
5
2a + b = -2 -a + b = 3
. Từ đó <
b) Vì A(-4; -2) thuộc đồ thị nên -4a + b = -2. Vì B(2; 1) thuộc đồ thị nên 2a + b = 1.
Ta có hệ phương trình ẩn là a, b:
|-4a + b = -2 I 2a + b = 1
-6a = -3 2a 4- b = 1
c) Vì A(3; -1) thuộc đồ thị nên 3a + b = -1. Vì B(-3; 2) thuộc đồ thị nên -3a + b = 2. Ta có hệ phương trình ấn a, b:
3a + b = -1 -3a + b = 2
o> -í
3a + b = -1 2b = 1
d) Vì A(73;2) thuộc đồ thị nên Vãa + b = .2. Vì B(0; 2) thuộc đồ thị nên o.a + b = 2.
Ta có hệ phương trình ấn là a, b.
' /3.a + b = 2
V3.a + b = 2 b = 2
1
a = — 2
b = 0
b=ỉ
2
o.a + b = 2 27. a) Điều kiện X 0, y 0.
11
ta được hệ phương trình ân u, v:
ju - V = 1	(1)
[3u + 4v = 5	(2)
(1) u = 1 + V (3)
Thế (3) vào (2): 3(1 + v) + 4v = 5
 3 + 3v + 4v = 5 o 7v = 2 v -
Từ đó u = l + v = l +
9
r-Ị
X * 2, y * 1.
đã cho tương đương với:
1 7
n 5
5 „
—;	 = —
X - 2 = —
X = — + 2
X - 2	5
7
7
„ 1
1	3
,	5
5	,
	 = —
y-1 = -
y = - +1
ly -1 5
3
/ 3
Suy ra hệ đã cho tương đương với: -
b) Điều kiện X - 2 * 0k y - 1 * 0 hay
Đặt u -	, V -	ta được hệ
Suy ra hệ đã cho tương đương với: