Giải Toán 9: Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp

§8. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
A. KJEN THỨC Cơ BAN
Định nghĩa
Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là nội tiêp đường tròn.
Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiêp đường tròn.
Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a, R là bán kính đường tròn ngoại tiẽp và r là bán kính đường tròn nội tiẻp đa giác. Ta có: R = —
2 sin
180°
2tg
180°
Công thức tinh bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp đa giác đểu.
B. HƯỚNG DẬN GIẢI BẬI TẬP
Bài tập mẫu
Cho đường tròn tâm o, bán kính R = 2cm.
Vẽ một lục giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nằm trên (O).
Vì sao tâm o cách đều các cạnh của lục giác đều? Gọi khoảng cách này là r. Tính r.
Tính diện tích của hình lục giác đều ABCDEF.
Giải
Vì cạnh của lục giác đều có độ dài bằng bán kính, do đó lấy một điểm bất kì trên đường tròn, vì 6 dây liên tiếp có độ dài bằng nhau và bằng 2cm, ta được hình lục gi'ic đều nội tiếp trong (O; 2cm).
Ta có: AỎAB = AOBC = AOCD = AODE = AOEF = AOFA (c.c.c)
Do đó cac đường cao cùng phát xuất từ o của 6 tam giác trên đều bằng nhau và bằng OM = r. Do đó tâm o cách đều các cạnh của lục giác đều.
Vì r là đường cao của tam giác đều cạnh R = 2cm
_ RTS _ 2.73 _ K nên r = —— = —Ệ— = c/3 cm
Vì lục giác đều ABCDEF có các đỉnh nằm trên (O; R) nén cạnh cùa lục giác đều có độ dài bằng R = 2cm.
Gọi s là diện tích của lục giác đều ABCDEF.
Ta có s = 6.Soed = 6.^R.r = 6.Ì.2V3
Vậy s = 6a/3 (cm2)
Bài tập cơ bản
a) Vẽ đường tròn tâm o, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
cLTinh bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi
vẽ dường tròn (O; r).
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
Vẽ hình lực giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm
A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđAB = 60°, sđBC = 90° và sđCD = 120°.
Tứ giác ABCD là hình gì?
Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Giai
a) Chọn điểm o làm tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm o, bán kính 2cm: (0; 2cm) Vẽ bằng êke và thước thẳng.
Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A vái B, B với c, c với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
Vẽ OH 1 AD.
r = OH = AH
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
r‘ + r" = OA2 = 22 => 2r2 = 4 => r2 = 2 => r = 72 (cm)
Vẽ đường tròn (O;72cm). Đường tròn này nội tiếp hình vuông,
tiếp xúc bôn cạnh hình vuông tại các trung điếm của mỗi cạnh.
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).
b) Tâm o của đường tròn ngoại tiếp tam. giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác của tam giác đều ABC).
„ A TA	2AA, 2 ABv3 2 3.73
Tacó: R = OA = ^AA =	.—^—= 73 (cm)
Vẽ các tiếp tuyến VỚI đường tròn (O; R) tại A, B, c. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có AIJK là tam giác đều ngoại tiếp (0; R).
63. Hình a
Gọi ai là cạnh của đa giác đều i cạnh, a) a6 = R (vì 0A-A2 là tam giác đều).
Cách vệ: Vẽ đường tròn (O; R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung A,A2,Ã2Ẩ.,,...,AgA] mà căng cung có độ-dài bằng R. Nối Aj với Ao, Aọ với Ag,... Ag với A1 ta được hình lục giác đều AjAoAgAjAgAg nội tiếp đường tròn.
’ b) Hình b
Trong tam giác vuông OAjAg: a2 = R2 + R2 = 2R2 => a4 = r72
A,H = R +
R
3R
T
A3H = =-
A A	2
a,a2-a3h2
AjAg — a
Trong tam giác vuông AjHAg tạ có: AịH2
9R2_„2 ạ2 Từ đó: —— = a - --
a2 = 3R2 => a = r73 Cách vẽ như câu a, hình a.
(1)
Nối các điểm chia cách nhau một điếm thì ta được tam giác đều, chẳng hạn tam giác AjAgAg như trên hình c.
64. a) BAD =
ADC =.
	—	= 105" (góc nội tiếp chắn cung BCD)
60° +90°	, A A.	
——-	= 75 (góc nội tiếp chăn cung ABC)
Từ (1) và (2) có:
BAD +_ADC = 105° + 75° = 180°	(3)
BAD và ADC là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.
Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp thì phải là hình thang cân.
Vậy ABCD là hình thang cân (BC - AD vì sđBC - b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. cĩb là góc có đỉnh nam trong đường tròn, nên:
«n°
sđẤD = 90°).
éĩg = sđ(AB + CD) = 60° + 120° = 90„
"' 2 2 VậyAClBD.
c) Xernbài tập 63.
Vì sdAB = 60° nên AIB = 60° => AAIB đều, nên AB = R. Vì sdBC = 90° nên BC = r72
ad ^J3C = r72
nên sđCD = 120° nên CD = RV3
Bài tập tương tự
Một tam giác đều, một hình vuông và một lục giác đều cùng nội tiếp trong một đường tròn (O; R).
Tính độ dài mỗi cạnh của các hình trên theo R.
Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình lục giác đều.