Giải Toán 9: Bài 8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

§8. GIÃI BÃI TOÁN BĂNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biếu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Gải phương trình nói trên.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 1280m2. Nếu tăng chiều dài 10m và giảm chiều rộng 4m thì diện tích tăng thêm 120m2. Tính kích thước các cạnh của hình chữ nhật lúc đầu.
Giải
Chiều dài cúa khu vườn lúc đầu sẽ là:	(mét)
X
Chiều rộng cua khu vườn lúc sau là: X - 4 (mét)
Í1280
Chiều dài của khu vườn lúc sau là: (x - 4)	“
. _	.	...	Ị_ X
101=1400
Gọi chiều rộng của khu vườn lúc đầu là X (m) (x > 4; X tính bằng mét)
« 1280(x - 4) + 10x(x - 4) = 1400x 1280x - 5120 + 10x2 - 40x = 1400x o lơx2 - 160x - 5120 = 0 « X2 - 16x - 512 = 0 A’ = 82 - l.(-512)_ = 64 + 512 = 576 VÃ = 24
.8 + 24	„	8-24	1í2
X, = = 32 X., = -—- = -16
1 1 - -2 1
Giá trị X = -16 không thỏa mãn điều kiện X > 4 nên loại/
Vậy chiều rộng của khu vườn là 32 mét.
Chiều dài của khu vườn là	= 40 mét
Bài tập cơ bản
Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mồi người chọn một sô sao cho hai sô này hơn kém nhau là 5 và tích cua chung phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?
Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng đế làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phai trá cả vốn lần lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, sô lãi của năm đầu được gộp vào với vổh đê tính lãi năm sau và
lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trà tất cá là 2 420000 đồng. Hói lài suất cho vay là bao nhièu phần trăm trong một năm?
Một xuồng du lịch đi từ thành phô Cà Mau đến Đất Mùi theo một đường sông dài 120km. Trên dường đi, xuồng có nghi lại 1 giờ 0' thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
Đố. Đô em tìm được một số mà một nứa cua nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nứa của nó bằng một nứa đơn vị.
Giải
Gọi X là số mà một bạn (Minh hoặc Lan) đã chọn và số bạn kia chọn là X + 5.
Khi đó tích của hai sô là x(x + 5).
Theo đề bài ta có phương trình x(x + 5) = 150 hay X2 + 5x - 150 = 0 Giải phương trình ta được Xj = 10, x2 = -15.
Vậy:
Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại. Nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn sô -10 hoặc ngược lại.
Gọi lãi suất cho vay là X (%), X > 0.
Tiền lãi sau một năm là: 2000000.—^— hay 20000x (đồng)
Sau 1 năm cả vốn lần lãi sẽ là: 2 000000 + 20OOOx (đồng)
Tiền lãi riêng năm thư hai phải chịu là:
(2000000+ 20000x)-^- hay 20000x + 200x2
Sô tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:
2000000 + 40OOOx + 200x2 •
Theo đầu bài ta có phương trình:
2 000000 + 4000ƠX + 200x2 = 2420000 hay X2 + 200x - 2100 - 0
Giãi phương trình:
A' = 1002 - 14-2100) = 10000 + 2100 = 12100 => ỵfỹ = 110 Nên X, =
-100
— = -210. X. = ~100 4-110 = 10
1 ' ‘ 1 Vì X > 0 nên Xj không thỏa mãn điều kiện cùa ẩn. Trả lời: Lãi suất là 10%.
43. Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là X (km/h), X > 0, thì vận tôc lúc về
là X - 5 (km/h).
120
Thời gian đi 120km là: -—- (giờ)
Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: ——-
Đường về dài: 120 + 5 - 125 (km)
125
Thời gian về là:	(giờ)
X - 5	120	125
Theo đầu bài có phương trình: —— + 1 = ——L X	X - 5
+1(giờ)
Giải phương trình:
X2 - 5x + 120x - 600 = 125x X2 - lOx - 600 - 0
A' = (-5)2-l.(-600) = 625,7^ = 25 X1 = 5 - 25 = -20, x2 = 5 + 25 = 30
Vì X > 0 nên Xj = -20 không thỏa mãn điều kiện của ân.
Trả lời: Vận tôc của xuồng khi đi là 30 km/h.
Gọi số phải tìm là X.	X 1
Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: Q — Q
í X n X 1
Theo đầu bài ta có phương trình: I "2 _ 2 ) 2 = 2
hay x2-x-2 = 0, cóa-b + c = l- (-1) -2 = 0 nên: X1 = -1, x9 = 2
Trả lời: Số phải tìm bằng -1 hoặc 2.
Bài tập tương tự
Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình phương của chúng bằng 289.
Một người đi xe đạp dự định đi từ đỉnh A đến đỉnh B dài 60km tròng một thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường AB, anh nhận thấy vận tốc thực tế chỉ bằng 3 vận tốc dự định nên trên đoạn đường còn lại anh đã tăng vận tốc thêm 3km một giờ. Tuy vậy anh vẫn đến B chậm mất 40 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp.
LUYỆN TẬP
Tích của hai sô’ tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240m2. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm đê làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500dm3 (h.15). Hãy tính kích thước của miếng
tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
5 dni	5 <hn
49. Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc . Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc
nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày đế xong việc?
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10cm3 nhưng khôi lượng riêng của miêng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm3. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.
Người ta đố thêm 200g nướ.c vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng dộ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trưdc khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kế từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.
Tỉ số vàng. Đô em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h. 16). Hãy tìm tỉ sô ấy.
Đó chính là bài toán mà ơ-clit đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ sô' nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
A	M	B
• ■ ■ — • 	 •
Hình 16
Hướng dẫn: Giả sử M là điếrn chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là X.
Giải
Gọi sô' bé là X, X e N, X > 0, sô' tự nhiên kề sau là X + 1.
Tích của hai sô' này là x(x + 1) hay X2 + X.
Tổng của chúng là: X + X + 1 hay 2x + 1
Theo đầu bài ta có phương trình:
X2 + X - 2x - 1 = 109 hay X2 - X - 110 = 0
Giải phương trình: A = 1 + 440 = 441, ỰẶ = 21 X1 = 11, x9 = -10
Vì X > 0 nên x9 = -10 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời: Hai số phải tìm là: 11 và 12
Gọi chiều rộng của mảnh đâ't là X (m), X > 0.	240
Vì diện tích của mảnh đất bằng 240m2 nên chiều dài là: —— (m)
Nếu tảng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì mảnh đâ't mới có /240 .V
chiều rộng là X + 3 (m), chiều dài là —	4 (m) và diện tích là:
Từ phương trình này suy ra: -4x2 - 12x + 240x + 720 = 240x hay:
X2 + 3x - 180 = 0
Giải phương trình: A = 32 + 720 = 729, VÃ = 27
Xj = 12, XQ = -15
Vì X > 0 nên x2 = -15 không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là 12m,'chiều dài là 240 : 12 = 20 (m)
Trả lời: Mảnh đất có chiều rộng là 12m, chiều dài là'20m.
Gọi vận tốc của bác Hiệp là X (km/h), x > 0, khi đó vận tốc cúa cỏ Liên là X - 3 (km/h)
_ .	, z	' 	 _	30, ...
Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tinh là —(giơ).
30
Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là - ----(giờ).
X - 3
Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp
" - . , ..... 30 30 1 ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình: ——- - — - —
Giải phương trình:
x(x - 3) = 60x - 60x + 180 hay X2 - 3x - 180 = 0 A = 9 + 720 = 729, VÃ = 27 Xj = 15, X., = -12
Vì X > 0 nên x9 = -12 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời: Vận tốc của bác Hiệp là 15km/h Vận tốc của cô Liên là 12km/h
Gọi chiều rộng của miếng tôn là X (dm), X > 0.
Chiều dài của nó là 2x (dm)
Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là 2x - 10 (dm), chiều rộng là X - 10 (dm), chiều cao là 5 (dm).
Dung tích của thùng là 5(2x - 10)(x - 10) (dm3)
Theo đầu bài ta có phương trình:
5(2x - 10)(x - 10) = 1500 hay X2- 15x - 100 = 0 Giải phương trình: A = 225 + 400 = 625, VÃ = 25
X1 = 20, x2 = -5
Trả lời: Miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiếu dài bằng 40 (dm).
Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là X (ngày), X > 0.
Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là X + 6 (ngày).
Mỗi ngày đội I làm đưực — (công việc).
TT 1,	x 1
Môi ngày đội II làm được 	 (công việc).
X + 6}
Mỗi ngày cả hai đội làm được Ỷ (công việc).
Ta có phương trình: — + —í—- = -ị ,	,	, . 1 X X + 6	4
Giải phương trình:
x(x + 6) = 4x + 4x + 24 hay X2 - 2x - 24 = 0 , A’ = 1 + 24 = 25 = 52
X] = 1 + 5 = 6, Xọ = 1 - 5 = -4
Vì X > 0 nên x9 = -4 không thỏa mãn điều kiện của ấn.
Trá lời: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc.
Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.
Gọi khôi lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: X (g/cm3) Khôi lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: X - 1 (g/cm3)
880
X 858
x-1
880
Thể tích cúa miếng kim loại thư nhất là: —— (em’)
(em
= 10
Thê tích cua miếng kim loại thư hai là:
Theo đầu bài ta có phương trình: Giải phương trình:
x-1
858
440 = 0
10x(x - 1) =?, 858x - 880x + 880 hay 5x2 + 6x A’ = 9 + 2200 = 2209, Tv = 47 Xj = 8,8, x9 = -10
Vì X > 0 nên x2 = -10 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Trả lời: Khối lữợng riêng của miếng kim loại thư nhất là: 8,8 g/cm3 Khối lượng riêng cua miếng kim loại thứ hai là: 7,8 g/cm3
Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đố thêm nước là: X (g), x > 0
40
Nồng độ muôi cua dung dịch khi đó là: 	—
Nếu đô thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: X + 40 + 200 (g)
. .. 40
Nống độ cua dung dịch bây giờ là: 	24f)
Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình:
40	40	10
x + 40 X+ 240 “ 100 Giải phương trình:
(X + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - X - 40) hay x: + 280x - 70400 = 0 X	V’ = 19600 + 70400 = 90000, a/Ã7 = 300
X, = 160, x9 = -440
Vì X > 0 nén x9 = -440 không thoa mãn điều kiện cua ẩn.
Trá lời: Trước khi đô thêm nước, trong dung dịch có 160g nước.
Gọi vận tốc thực cua canô là X (km/h), X > 3.
Gọi vận tốc xuôi dòng là: X + 3 (km/h)
Gọi vận tốc khi ngược dòng là: X - 3 (km/h)
(giờ)
30
+ 3
30
X - 3
Thời gian ngược dòng là:
(giờ)
Thời gian xuôi dòng là:
Nghỉ lại 40 phút hay 3 giờ ở B.
, ,	, ' ,	30	30	2	„
Theo đâu bài ta có phương trình: 	 +	 + — = 6
X + 3 X - '3	3
Giải phương trình:
16(x + 3)(x - 3) = 90(x + 3 + X - 3) hay: 4x2 - 45x - 36 = 0 A = 2025 + 576 = 2601, VÃ = 51 Xj = 12, x2 = -- (loại)
Trả lời: Vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12km/h.
Giả sử M là điểm chia đoạn AB và AB có độ dài bằng a.
A	 M	B
Gọi độ dài của AM = X, 0 < X < a. Khi đó MB = a - X.
rn,,	am mb . X a-x
Theo đầu bài:	hay — =	—
AB AM a X
Giải phương trình: X2 = a(a - x) hay X2 + ax - a2 - 0 A = a2 + 4a2 = oa2, VÃ = aVõ
X, =
-a + aVõ _ a(V5 - 1) -a(Võ + 1)
2 2 ' í 2 Vì X > 0 nên x9 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy AM = — ~1)a
Trả lời: Tỉ số cần tìm là:
AM _ VẼ) - 1
,	AB -	2
Cách 2: Gọi tỉ số cần tìm là x, X > 0.
Theo giả thiết ta có:
AM MB AB ” AM “ x
Suy ra AM = AB.X	(1)
MB = AM.X
nhưng AB = AM + MB = AM + AM.X = AM(1 + x) (2) Thay biểu thức biểu diễn AM của (1) vào (2) ta được:
AB - AB.x( 1 + x)
Vì AB * 0 nên từ đó suy ra: 1 = (1 + x)x hay X2 + X - r = 0 Giải.phương trình: A = l2 - 4(-l) = 5, VÃ = Võ
-1-Vơ	_-l + VÕ
2
.ĩ - ;	1A. AM V5-1
Vậy tỉ sô cân tìm là: —— = ———
AB 2
(loại);x, =