Giải Toán 9: Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế

§3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHỮƠNG PHÁP THẾ
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ấn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới đế thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (và giữ nguyên phương trình thứ nhất).
Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Bước 1: Dùng quy tắc thê biến đối hệ phương trình đã cho đế được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiêm của hẹ đã cho.
Chú ý: Nếu thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của hai ẩn đều bằng
0 thì hệ phương trình đã cho có thế có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
3x + y = ll (1)
2x + 3y = 12	(2)
Giải
Từ phương trình (1) ta có: y = 11 - 3x (3)
Thế (3) vào (2) ta được: 2x + 3(11 - 3x) = 12
 2x + 33 - 9x = 12 -7x = -21 o X = 3 Thay X = 3 vào (3) ta được y = 11 - 3.3 = 11-9 = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x = 3; y = 2).
Bài tập cơ bản
13.
x-y = 3
b) •
7x-3y
3x - 4y = 2
4x + y
3x - 2y = 11
b) <
4x - 5y = 3
X + y VI = 0
b).(
xVI + 3y = 1 - VI
-
Giải
12. a) <
a)
14. a)
y
3
VI )x - 3y = 2 + õVI H y = 4 — 2 VI
c)
12. a) Từ x-y = 3=>x = 3+y.
Thay X = 3 + y vào phương trình 3x - 4y = 2.
Ta được 3(3 + y) - 4y = 2 9 + 3y - 4y = 2.
o -y = -7 Ó y = 7
Thay y = 7 vào X = 3 + y ta được X = 3 + 7 = 10. Vậy hệ phương trình có nghiệm (10; 7). b) Từ 4x + y = 2 => y = 2 - 4x.
Thay y = 2 - 4x vào phương trình 7x - 3y = 5.
Ta được 7x - 3(2 - 4x) = 5 7x - 6 + 12x = 5.
11
 19x = 11 X = ^
Thay X =
11
19
X + 3y = -2 5x - 4y = 11
19
vào y = 2 - 4x ta được y - 2 - 4,—— = 2
11 6
44
19
G_
19
Hệ phương trình có nghiêm I ig
c) Từ X + 3y = -2 => X = -2 - 3y.
Thay vào 5x - 4y = 11 ta được 5(-2 - 3y)
o -10 - láy
4y = 11 4y = 11
 -19y = 21 y = --7-? J	J 19
-5 + 75 -1 + 75
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y)
KTA„ „ o of 21A o 63	25
Nenx = -2-3—=7 =-2 + 77 = 77
I 19 J	19	19
\	( 25 . 21Ì
Vậy hệ phương trình có nghiệm 10 ’ ig Ị'
3x -11
a) Từ phương trình thư nhất ta có y = ——- Thế vào y trong
3x - 11
phương trình thứ hai: 4x - 5	—	= 3 -7x - -49 X = 7.
Từ đó y = 5. Nghiệm của hệ phương trình đã cho là (7; 5).
, 2y + 6
b) Từ phương trình thứ nhất ta có: X = —-—
Thế vào X trong phương trình thứ hai
5 2? +6 - 8y = 3 -14y - -21 y = -|
Vậy hệ phương trình có nghiệm I 2 ] •
a) Từ phương trình thứ nhất ta có X = -yTõ.
Thế vào X trong phương trình thứ hai ta được
-y 75.75 + 3y = 1 - 75 -2y = 1-75
75-1 y = —ý;—
Từ đó X
75-1
.75 =
-5 + 75
v 2 2 b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 - 273 - 4x.
Thế vào y trong phương trình thứ hai được
(2 - 73)x - 3(4 - 273 - 4x) = 2 + õTã o (14 - ^3 )x = 14 -73 « X = 1
Từ đó y = 4-273-4.1 = -273.
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x;y) = (l;-273)
Bài tập tương tự
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
J4x + y = 2	i3x-2y = ll
a) < „	~	b) 1
8x + 3y = 5	[4x-5y = 3
c)
4x-3
5
15 - 9y
d)
14
LUYỆN TẬP
X + 3y = 1 (a2 + l)x + 6y = 2a a) a = -1	b) a =, 0	c) a = 1
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thê (các bài 16 và 17):
X 2
15. Giải hệ phương trình
a) <
a) <j
c)
3x - y = 5 5x + 2y = 23 xV2 - yTs - 1 X + y 73 = 72 (72 - l)x - y = 72 X + (72 + l)y = 1
b)
3x + 5y = 1 2x - y = -8
b)
trong mồi trường hợp sau:
c)
y 3
X + y - 10 = 0
X - 2V2y = 75 xV2 + y = 1 - 7ĨÕ
a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình 2x + by = -4
bx - ay = -5 có nghiệm là (1; -2).
b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là (72 - 1; 72).
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi P(a) = 0.
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x - 3:
P(x) = mx3 + (m - 2)x2 - (3n - 5)x - 4n
Giải
X + 3y = 1
15. a) Khi a = -1, ta có hệ phương trình <
Hệ phương trình vô nghiệm.
X + 3y = 1
b) Khi a - 0, ta có hệ (
X + 6y = 0
Từ phương trình thứ nhất ta có X = 1 - 3y. Thê vào X trong phương trình thứ hai, được:
2x + 6y = -2
 5
X + 3y = 1 X + 3y = -1
1 - 3y + 6y = 0 3y = -1 y -
Từ đó X = 1
3Í-|| = 2.
Hệ phương trình có nghiệm (x;y) - 2;
c) Khi a = 1, ta có hệ
X + 3y = 1
2x + 6y = 2 Hệ phương trình có vô số nghiệm.
 í
X + 3y = 1 X + 3y = 1
X = 1-
y e R
3x - y = 5
k5x + 2y = 23	(2)
(ì) y = 3x - 5 (3)
Thế (3) vào (2): 5x + 2(3x - 5) = 23
 5x + 6x - 10 - 23 llx = 33 X = 3 Từ đó y = 3.3 - 5 = 4.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 4).
3x + 5y = 1	(1)
<2x-y = -8	(2)
(2) y = -2x + 8	(3)
Thế (3) vào (1): 3x + 5(2x + 8) = 1 3x + lOx + 40 = 1 13x = X = -3
Từ đó y = 2(-3) + 8 = 2.
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (-3; 2).
.	- = 1	(1)
c)	y 3
X + y - 10	= 0	(2)
, 2,T
(l)»x = |y (3)
16. a) <
(1)
b)
-39
5 3
•<» y = 6
Thế (3) vào (2): |y + y = 10|y = 10
o	O
Từ đó X = 7-6 = 4.
, _ 3 "
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (4; 6).
(1)
x72 - y 73 = 1
X + y Vã = \Ỉ2 (2) X = 72 - y73 Thế (3) vào (1): (72 - y73)72 - yVs. = 1
17. a)
(2)
V3y(V2 + 1) = 1 « y =	1	= 2^2	1
73(72 +1)	73
Từ đó X = 72 -	1 .73 = 1.
73 z _ x
f 72 -p
Vậy có nghiệm (x;y) = 1;	r-—
. V 3
X - 272y = 75
x72 + y = 1 - 7ĨÕ (2)
(2) y = 1 - 7ĨÕ - x72	(3)
Thế (3) vào (1): X - 272(1 - 7ĨÕ - x72) = 7õ « 5x = 272-375 » X
b)
Từ đó y = 1 - <10 -
(1)
272-375
72=1
5
27ĨÕ
Vậy hệ có nghiệm (x;y)
(72 - l)x - y = 72
vx + (72+l)y = 1 (2) X = 1 - (72 + l)y
5	;	ố
' 272 - 375.1 - 27ĨÕ
_	’	r-
c) <
(1)
(2)
(2) X = 1 - (72 + l)y (3)
Thế (3) vào (1): (72 -l)[l-(72 + l)y]-y = 72 » -2y = 1 » y =-| Từ đó x = l-(72 + l)^-|j =
í r,
3 + 72
2
3 + 72
Vậy hệ có nghiệm (x;y) - ———.
18. a) Hệ phương trình có nghiệm là (1; -2) có nghĩa là xảy ra
2 - 2b =-4 Í2b = 6	(2a = -5-3 fa = -4
2b = 6
f2a = -5-3
b + 2a =
 • -5
 (
|b = 3	[
b + 2a =-5 [b + 2a = -5 [b = 3	[b = 3
b) Hệ phương trình có nghiệm là (72 - 1;72), có nghĩa là xảy ra
2(72 - 1) + b72 =*-4 ib72 =-2-272
 5	_	_
(72 - l)b - a72 = -5
b72 =-2-272 (72-l)b-a72 =-5 b = -(2 + 72)
a72 = -(2 + 72)(72 - 1) + 5
a72 = —72 + 5 b = -(2 + 72)
-2 + 572
b = -(2 + 72)
19. P(x) chia hết cho X + 1 P(-l) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0. -7 - n = 0
P(x) chia hết cho X - 3 P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0 • « 36m - 13n = 3 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.
-7 - n = 0 36m - 13n = 3
n = -7 36m = 3 + 13C-7)
n = -7 36m = -88
n = -7
-22