SGK Toán 6 - Bài 17. Ước chung lớn nhất

§17. Ưốc chung lốn nhất
1. Ước chung lớn nhất
Có cách nào tìm ước chung của hai hay nhiều số
mà không cần liệt kê các ước của mỗi số hay không ?
Ví dụ 1: Tìm tập hợp các ước chung của 12 và 30.
Ta lần lượt tìm được : Ư(12)={1;2;3;4;6;12}
ư(30) = {1; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10; 15; 30}
Vậy:	ƯC(12, 30) = {1 ;2;3;6}.
Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 12 và 30 là 6. Ta nói 6 là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 12 và 30, kí hiệu ƯCLN(12, 30) = 6.
ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là sô lớn nhất trong tập họp các ước chung của các sô đó.
ĩ
Nhận xét: Tất cả các ước chung của 12 và 30 {là 1, 2, 3, 6) đều là ước của ƯCLN(12, 30).
Chú ý:
Số 1 chỉ có một ước là \.Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có :
ƯCLN(a, 1) = 1 ; ƯCLN(a, b, 1) = 1.
Ví-dụ: ƯCLN(5, 1) = 1;
ƯCLN(12, 30, 1) = 1.
Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tô
Ví dụ 2 : Tìm ƯCLN(36, 84, 168).
Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố :
36 = 22 . 32
84 = 22 . 3.7
168= 23 .3.7.
Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1. Khi đó :
ƯCLN(36, 84, 168) = 22. 3 = 12.
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :
Bước 1 : Phăn tích mỗi số ra thừa sô nguyên tố.
Bước 2 : Chọn ra các thừa sô nguyên tố chung.
Bước 3 : Lập tích các thừa sô đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Tìm ƯCLN(12, 30).
Tìm ƯCLN(8, 9); ƯCLN(8, 12, 15); ƯCLN(24, 16, 8).
Chú ý:
Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tô' chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều sô'có ƯCLN bằng 1 gọi là các sô'nguyên tô'cùng nhau.
Ví dụ : 8 và 9 là hai sổ nguyên tố cùng nhau ; 8, 12. 15 là ba số nguyên tố cùng nhau.
Trong các sô'đã cho, nếu sô'nhỏ nhất là ước của các sô'còn lại thì ƯCLN của các sô'đã cho chính là sô'nhỏ nhất ấy.
Ví dụ :ƯCLN(24, 16, 8) = 8.
Cách tìm ước chung thông qua tìm ƯCLN
Theo nhận xét ở mục 1, tất cả các ước chung của 12 và 30 đều là ước của ƯCLN(12, 30).
Do đó đế’ tìm các ước chung của 12 và 30, ngoài cách liệt kê các ước của 12 và 30 rồi chọn ra các ước chung, ta còn có thể làm như sau :
Tìm ƯCLN( 12, 30) được 6 (xem 1 ?11). Tìm các ước của 6, đó là : 1,2, 3, 6.
VậyƯC(12, 30)= {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Để tỉm ước chung của các sô đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các sổ đó.
Bài tập
Tìm ƯCLN của :
a) 56 và 140;	b) 24. 84, 180;
60 và 180;	d) 15 và 19.
Tìm ƯCLN của :
a) 16, 80, 176;	b) 18, 30, 77.	•
Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số không ? ■
Luyện tập 1
Tim ƯCLN rồi tìm các ước chung của :
16 và 24;	b) 180 và 234;	c) 60, 90,135.
Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 420 : a và 700 : a.
Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.
Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xentimét).
Luyện tộp 2
Tìm số tự nhiên X, biết rằng 112 : X, 140 : X và 10 < X < 20.
Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua 28 bút, Lan mua 36 bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2.
Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tim quan hệ giữa số a với mỗi số 28, 36, 2.
Tìm số a nói trên.
Hỏi Mai mua bao nhiêu hộp bút chì màu ? Lan mua bao nhiêu hộp bút chì màu ?
Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy.
Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ ?
Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ