Giải toán 8 Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

  • Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét trang 1
  • Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét trang 2
  • Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét trang 3
  • Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét trang 4
  • Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét trang 5
  • Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét trang 6
2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ
CỦA ĐỊNH LÍTA-LÉT
A. Tóm tắt kiến thức
Định lí đáo
Nếu một dường thăng cát hai cạnh cưa một tam giác và định ra trẽn hai cạnh này những đoạn thang tương ứng ti lệ thì dường thắng dó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Hệ quà cua định lí Ta-lét	*
AABC ; DE // BC
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1.
Nếu một dường thang cắt hai cạnh cứa một tam giác và song song với cạnh còn lại'thì nó tạo thành một tam giác mói có ba cạnh tương ứng ti lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Một đường thăng song song vói BC cắt AB, AM, AC lần lượt tại E, N, E. Chứng minh rằng N là trưng điếm của EF.
ơiai: Xét AAB.M có EN // BM EN AN
suy ra —— = —- (he qua) (1)
BM AM
Xét AACM có NF // MC
NF AN
suy ra —— = — (hệ qua) (2)
MC AM
Từ (1) và (2) suy ra = Mặt khác BM = MC nên EN = NF. BM MC
Vậy N là trung điếm của EF.
Nhận xét: Đế chứng minh EN = NF ta đã dùng tính chất : Nếu hai tỉ
sô’ bằng nhau mà mẫu số bàng nhau thì tử số của chúng bằng nhau.
Ví dụ 2. Xem hình bên, rồi :
Chứng minh MN // BC ;
Tính độ dài MN.
Giải:
a) Xét AABC, MX cắt hai cạnh
AB và AC.
AM AN <2
Ta có
MB NC
Suy ra MN // BC (định lí Ta-lét dáo).
b) Theo hệ qua của định lí Ta-lét ta có
MN 2	2.X
MX AM
BC AB
Thay sô : — =	=> MX - — = 3,2:
X	2 + 3	5
,	.... MX AM
Cánh báo! Sẽ là sai lầm nếu ban viết	vì MB không phái
BC MB
là cạnh của AABC.
c. Hưống dân giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 6.
Giúi:
CM CN
a)
MA NB
21
5 ” 7
MN//AB.
AP AM (35,
—— * ——	— * — => PM và BC không song song.
PB MC IX 15 1
OA'. OB' 2	3 3
b)
222 = 22 !2=22 =>A'B7/AB
A'A B'B U 4,5.1
mà A"B” // A’B' (vì có cạp góc so le trong bằng nhau) suy ra AB//A'B'//A"B".
Bài 7.
MX DM
Hướng dẩn. a) — -- = —— => X * 31,58.
EF DE
b)
A'B'
QB'
OB
OA' 3
^2-= - = 0,5. Suy ra AB = 8,4 ; OB OA 6
10,32.
Bài 8.
AB
Giải:
- Vẽ đường thẳng a // AB. Trên đường thắng a đật liên tiếp các đoạn
tháng PE = EF = FQ = 1 (đơn vị dài).
Vẽ các đường thắng PB và QA cắt nhau tại o.
Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB ở D và c. Theo hệ quá của dịnh
PE_EF_FQ OQ
lí 1 a-lét ta có : —— = —— = -	= —-—
BD DC CA V OA
Vì PE = EF = FQ nên AC = CD = DB.
Cách chia AB thành 5 phần bàng nhau :
Cách 1 : Tương tự như câu a).
Cứch 2 ; - Vẽ tia Ax và trên đó đặt
liên tiếp 5 đoạn thảng bằng nhau
AC = CD = DE = EF = FG.
Vẽ đoạn thảng GB.
Bài 9.
Bài 10.
Từ c, D, E, F vẽ các đường thắng song song với GB, chúng cắt AB lần lượt tại M, N, p, Q. Ta được AM = MN = NP = PQ = QB (tính chất các dường thang song song cách đều).
Nhận xét : Với một đoạn thẳng cho trước bao giờ ta cũng có thê chia ra làm n phần bằng nhau (n 6 ìí ).
,.3
Đáp sô. — .
Hướng ílần AH' B'C'
a)
AH BC
AB'
AB
Q. —AH'.B'C'	AU, R,r, ,	,
b) 4 = V	=440= = Suy ra S' = Is = 7,5 cn,2.
s	ÌAH.BC	AH BC	9	9
Bài 11.
Giải: a)
MN AM AK
BC AB AH 3
MN
15
MN = 5 (cm).
Bài 12.
Bài 13.
Bài 14.
đất sao cho K, F, c thang hàng,
DK DC	a.h
= —-=> AB = —.
AB BC	b
X
m m
với BN cắt Oy tại M.
EF _ AE _ AI	2	EF _ 2	, .
BC AB AH	3	15	3
b) AH =	= 36 (cm); KI = 12 cm.
BC
e	(MN + EF).KI (5 + 10).12 _<vw„„2,
Hướng clíhi
Bước 1 : Xác dinh ba điểm A, B. B' tháng hàng.
Bước 2 : Dựng BC ± AB ; B'C' ± AB' sao cho A. c, C' thắng hàng Bước 3 : Đo các khoáng cách BB' = h ; BC = a ; B'C' = a'.
Bước 4 : Lập công thức tìm X :	—— = ——- => X = —- - .
AB' B'C'	a'-a
Hướng thĩn
Bước 1 : Cắm cọc © cố định, vuông góc với mặt đất. Xác định chiềư cao h cứa cọc.
Bước 2 : Điều chinh coc © sao cho ba điếm K. F. A thẳns hàne.
Bước 3 : Xác định điếm c trên mặt B, E, D, c thắng hàng.
Bước 4 : Lập công thức tìm AB :
Giiii: a) Trên tia Ot ta dựng hai đoạn thảng liên tiếp OA = m ; AB = m.
Khi đó X - OB = 2m hay — = 2.
m
b) Vẽ góc tOy.
Trcn tia Ot ta dựng hai đoạn thắng OA = 2;OB = 3.
Trên tia Oy ta dựng ON = n.
Vẽ đoạn thắng BX.
Qua A dựng đường thẳng song son
Khi đó —— = —— hay — = —.
ON OB n 3
t
c) Vẽ góc tOy.
Trên tia Ot ta đặt 0\ = n ; OP = p.
Trên tia Oy ta đặt OM = m.
Vẽ đoạn đường thắng M\.
Qua p dựng đường, thắng song song với M\, cắt Oy tại Q.
V1 . AA 0X4 - 0N , m _ 11 OQ OP X p
Nhận xét : Bài toán dựng đoạn thẳng X ở câu c) còn gọi là bài toán dựng đoạn thảng ti lệ thứ tư.
D. Bài tạp luyện thêm
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 5, CD = 15 và AD = 10. Hai cạnh bẽn kéo dài cắt nhau tại o. Chứng minh rằng AOAB cân.
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại o. Gọi M và N lần lượt là trung diêm của AB và CD. Chứng minh rằng ba điểm M, o, N thắng hàng.
Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điếm cúa CD. Gọi E là
Vậy AO = AB do đó AOAB cân (tại A).
Vẽ đường thẳng MO cắt CD tại N'.
Ta phải chứng minh N' trùng với \.
, AM MB	f OM A
Ta có---7 =-7—	= —7-7
N'C N'D	V ON J
mà MA = MB nên N'C = N'D.
D	N' N	c
Do đó \ là trung điếm của CD nên N' trùng với \, suy ra ba điếm M, o, N thảng hàng.
Nhận xét : Kết luận của bài toán này chi là một phần của tính chất sau : Trong một hình thang hai đáy không bằng nhau, giao điểm cùa hai dường thắng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai dáy cùng nằm trên một đường thang.
3.
Vì AB // CD nên
EM DM . EA AB EM MC FB " AB "
Vì MD = MC nên từ (1) và (2)
suy ra
EM
EA
FM
FB
Do đó EF // AB (định lí Ta-lét đảo).