Giải toán 8 Bài tập ôn cuối năm

BAI TẠP ON CUỐI NÁM
PHẦN ĐẠI SỐ
A. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 1. Giải:
a2-b2-4a + 4 = (a2-4a + 4)-b2 =(a-2)2-b2 = (a-2 + b)(a-2-b).
X2 + 2x-3 = x2 -x + 3x-3 = (x2 -xj + (3x-3)
= x(x-l) + 3(x -l) = (x-l)(x + 3) .
a	,.22/2.21“	4 2 2	4	4^22^22	4	4
4xy-lx+yl =4xy -X -y -2x y =2x y -X -y = -(-2x2y2 +x4 + y4) = -(x2-y2)2 = -(x-y)2 (x + y)2.
	)
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
'-'V
X + 3	6	X - 3
1 •
r 24x2	12 ì
(x-3)2	x2-9 (x + 3)2
-
<X4-81	x2+9J
(x + 3)3+ó(x2-9)-(x-3)3
24x2-12(x2-9
(x2-9)2
1:	' x4-81
2a3-54b3 =2(a3-27b3) = 2(a-3b)(a2+3ab + 9b2).
Giải: a) Kết quá ^2x4-4x3+5x2+2x-3^2x2-1 j được thương là
x2-2x + 3.
Ta có
X2 -2x + 3 = (x - l)2 + 2 > 0 với mọi X.
Giiỉi: Gọi hai số lẻ là 2m +1 và 2n +1, (m, n e 7L) khi đó ta có A = (2m + l)2 -(2n + l)2 = (2m + l-2n-l)(2m + l + 2n + l)
= (2m- 2n)(2m + 2n + 2)
= 4(m-n)(m + n + l).
Nếu m và n cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì (m-n):2 do đó A:8 .
Nếu trong hai số m, n có 1 số chẵn và 1 số lẻ thì (m + n + l):2 do đó A:8.
Vậy A:8 với mọi m, n.
Giiỉi: Điều kiện X + ±3.
X3 +9x2 +27x+ 27 + 6x2 -54-X3 + 9x2 - 27x + 27 x4 -81 (x2-9)2	12(x2+9)
24x2	_ 2x2
12(x2-9)~x2-9'
12A-ĐỔ học..Toán 8/2
Bài 5.
Giúi: Xét hiệu
b2
b2
a + b b + c c + a a + b b + c c + a
i' _2 a
Bài 6.
Bài 7.
a+b a+b
2 1 2
v b + c b+cy
,2 „2 „2 „2
b —c c —a
a + b	b + c c + a
= a-b + b-c + c-a = o.
„2 ,2 „2 .2 „	a b c b
Suy ra	H —	(- —— = — H ■
Giiii: Ta có M = 5x
2x-3
đế M có giá trị là số nguyên với
những giá trị nguyên của X thì 2x-3 phái là ước cùa 7, do dó
2x-3 = -l
X = 1
2x-3=l
x = 2
2x-3 = -7
X - -
2x-3 = 7
X = 5
Giải:
x 4x + 3	6x-2 5x + 4 -
5	7	3
21(4x + 3)-15(6x-2) = 35(5x+4) + 3.105 84x + 63 - 90x + 30 = 175x +140 + 315 181x =-362.
 X = -2 . Tập nghiệm của phương trình là s = {-2}. 3(2x-l) 3x + l	2(3x + 2)
b) -L_Ị	ỉ	+ Ị = -T	’
4	. 10	5
15(2x-l)-2(3x + l) + 20 = 8(3x + 2)
 30x — 15 — 6x — 2 + 20 = 24x + 16
 13 = 0, vô lí. Tập nghiệm cứa phương trình là s = 0 .
c)
X + 2	3(2x-l) 5x -3	5
—_— +	;	_ = X + -2Ị.
3	4	6	12
12B-ĐỔ học..Toán 8/2
Bài 8.
»4(x + 2) + 9(2x-l)-2(5x-3) = 12x + 5
 4x + 8 + l8x-9-10x + 6 = 12x + 5 o0 = 0. luôn đúng. Tập nghiệm của phương trình là s = K .
7
'2x-3 = 4
Giííi: a) 2x - 3 = 4 
2x-3 = -4
,	o f l 7]
Tập nghiệm của phương trình là s = ( - —>.
b) |3x -l| - X = 2 |3x -l| = X + 2 
Tập nghiệm của phương trình là s = •
Bài 9.
Gứ/7 :
X +4 x + 6 x + 8
Bài 10.
3x-l = x + 2 3x -1 = -X - 2 x + 2>0
4*2
98	96	94	92
x + 100 x + 100 x + 100 x + 100
98	96
(x 4-100)1 -
94
92
= 0
\98 + 96 94 92.
 X + 100 - 0 X = -100
Tập nghiệm của phương trình là s = {—100} .
Giải: a) Điều kiện X *-l;x	2
—	7« x-2-5(x + l) =
X + 1 X - 2 (x +1)(2-x)
«x-2-5x-5 = -154x = 8 X = 2 (không thoá mãn).
Tập nghiệm cua phương trình là s = 0. b) Điều kiện X * 2; X * -2
-15
——	• = ——y (x-l)(2-x) + x(2 + x) = 5x-2
x + 2	x-2	4-x2 v A	v '
 2x-x2 - 2 + x + 2x + x2 =5x-20 = 0, luôn đúng với mọi X. Tập nghiệm của phương trình là s = K \ {-2; 2}.
Bài 11.
Gidi: a) 3x2 + 2x -1 = 0 (x + l)(3x-l) - 0 
X
-1
1
o
3
Bài 12.
Bài 13.
Tập nghiệm của phương trình là s = ị-1;^- ’ ■ b) Điều kiện X + 2; X + 4
|-j + |-| = 3|»5(x-3)(x-4) + 5(x-2)2 =16(x-2)(x-4)
 5x2 - 20x -15x + 60 + 5x2-20x + 20 = 16x2-96x +128 6x2 -41x + 48 = 0 (3x-16)(2x-3) = 0
Tập nghiệm của phương trình là s =
Giiii: Gọi dộ dài quãng đường AB là x (x > 0).
Thời gian lúc đi là —, thời gian lúc về là —.
25	30
Ta có phương trình
“6x -5x = 50 X = 50 .
25 30	3
Vậy độ dài quãng đường AB là 50 (km).
Giải: Gọi x là số ngày thực tế xí nghiệp sán xuất sản phẩm (x > 0). Ta có bảng sau:
Bài 14.
Sô S(ỈII phẩm
Thời gian
Năng suất
Kế hoạch
1500
30
1500
30
Thực tế
1500 + 255
X
1755
X
Theo bài ra ta có phương trình:
1755 1500	1755
——--T—= 15—— = 65x = 27.
X 30	X
Số ngày thực tế sản xuất là 27 ngày, như vậy xí nghiệp rút ngắn thời gian sản xuất được 3 ngày so với kế hoạch.
Giíỉi: a) Điều kiện X + 2;x + -2
X . 2 , 1 V
	H —	1	— :
t2—4	2-x x + 2j
(x-2)
10-x X + 2
x-2(x + 2) + x-2 x2-4 + 10-x:
X + 2
x2-4
—6	6	—6 X + 2	1
r-4 x + 2 x2 -4	6	2-x
b) Ta có A =
2-x
Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x| X > 3}
B. Bài tạp luyện thêm
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
d) X3 -4x2 -8x + 8.
a X +b y -a y -b X ;	b) X -7x+12;
c) X*2 -16-X2 (x2 - ló);
Cho biểu thức M = 1 +
Rút gọn M;
Tính giá trị cúa M biết
	 x3-2x2
X3 +1 x-x2-l x + l ) x3-x2+x
x + 1
c) Tìm các giá trị nguyên của X để M có giá trị nguyên.
Giải các phương trình:
(x-3)(2x + l)(4-5x) = 0;	b) (x-3)2 =(2x + l)2;
c)
1,2 3x
X —1 x2+x + l x?-l
Tháng thứ nhất hai tổ công nhân làm được 760 sán phẩm. Sang tháng thứ hai, tổ 1 tăng năng suất 10%, tổ 2 tãng năng suất 15% nên cả hai tổ đã làm được 854 sản phẩm. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?
Giải các bất phương trình sau :
X (x-5) +2(x + l)2 >3(x-l)(x + 2);
b)
8(x + 10)	1 7x 2(llx-5)
-—- - 24 — < —	k—	-
15	2 10	5
Giải các phương trình sau :
2|x + 3|-5 = 0;
|x -1| + |x -3| = X .
Hướng dẫn - Đáp sô .
1	„2..2 , . 2..2 _2..2 1-2..2 Z.2..2 -2_.2\ Zi 2 2 1.2 - 2^
1. a) a X + by -ay -b X = I a X -ay 1-1 b X — b y 1
VW--y2F-b9
= (a-h)(a + b)(x-y)(x+y).
X2-7x+ 12 = X2-4x-3x+ 12
= (x2 -4x)-(3x -12) = X (x -4)-3(x - 4) = (x -4)(x- 3)
X2 -16-x2 (x2 —16 j = (x2 -ló)-x2 (x2 -16)
= (x2 —16^1 - X2 j = (x -4)(x + 4)(1 -x)(l + x)
x3-4x2-8x + 8 = (x3+8)-(4x2+8x)
= (x + 2)íx2-2x+4Ì-4x(x + 2) = (x + 2)(x2-2x + 4-4xj = (x + 2)(x2-6x + 4) = (x + 2)[(x-3)2 -5]
= (x + 2)(x -3 - x/5)(x - 3 + x/5). a) Điều kiệnX + -l;x + 0. Ta có
M = 1 + f-jTl-	-7^7ị J3 - r,2--
\ X3 +1 x-x-l x + ly x3-x2+x
=i+f-ựL+, T	Fx-2>
V X3 + 1 x'-x + l X+lJ x(x2-x + l)
(x + l) + (x + l)-2(x2-x + l) x(x-2)
= 1 +	7—	7	 .
x3+l	x2-x + l
, 2x + 2-2x2 +2x-2 X2—x + 1
= 1 +	7 ■ 	• z TV
x’+l	x(x-2)
_l + 4x-2x2 x2-x + l_] +	-2x(x-2) X2 -x + 1
x3 + l x(x-2)_ +(x + l)(x2-x + l) x(x-2)
_ ] 2x _ X + 1 - 2x _ 1 - X X + 1	X + 1	X + 1
‘	. .	1 - X
Vậy M = - -- .
x + 1
X	=	r
l
3
2 2
X	
2
2
l 3
b) Với
X =
2 2
Do X -1 và X * 0 nên với X = 2 thì M =
1 —X 1-2	1
x+1	1+2
X	z	I— X	2	1	< X . X
c) Ta có M=-—-ỳ = -l4———. Đe M có giá trị nguyên với giá trị
X + l	X +1	•	.
nguyên của X thì X +1 phải là ước của 2.
Suy ra
x + l =-l x + l =l X +1 = -2 x + l =2
X = -2 X - 0 (loại) x = -3 x = l
Vậy với X e {-3;-2;l} thì M nhận giá trị nguyên.
3. a) (x-3)(2x + l)(4-5x) = 0 »
x-3 = 0 2x +ì = 0 4-5x = 0
Tập nghiệm của phương trình là s =
b) (x-3)2 =(.2x + l)2 (x-3)2-(2x + l)2 =0 (x-3-2x-l)(x-3 + 2x + l) = 0
X = -4
»(-x-4)(3x-2) = 0 
Tập nghiệm của phương trình là s = j -4; 2 ị .
2
X = — ọ
3
c) Đièu kiện X *
3 X ”
= —X2 + X +1 + 2(x — l) = 3x x3-l	v 7
24^7* 2(lIx-5) 2	10	5
b)
15
X —1 X“+X + l
 2x2 -3x + 1 = 0 2x2 -2x- X + 1 = 0 2x(x-l) + (x-l) = 0 X = 1 (loại)
(x-l)(2x + l) = 0«
X =
Tập nghiệm của phương trình là s =
Gọi X là sô' sản phẩm của tổ 1 làm được trong tháng thứ nhất. Ta có:
Tháng thứ nhất
Tháng thử hai
Tổ 1
X
X+ 10%x
Tổ 2
760-X
(760-x)+ 15%(760 —x)
Cá hai tổ
760
854
Từ đó có phương trình:
^?x + ịị|(760-x) = 854, X = 400.
100 100 1
Vậy tháng thứ nhất tổ 1 làm được 400 sản phẩm, tổ 2 làm dược 360 san phẩm.
a) x(x-5) + 2(x + l)n >3(x-l)(x + 2)
 X2 -5x + 2x2 + 4x + 2>3^x2+x-2^ 4x X < 2.
Tập nghiệm của bất phương trình là s = {x| X < 2}. 8(x + 10)
8x + 80	49 7x 22.X-10
 ——-	—<—ỹ	-	
15	2	10	5
 16x + 160-735 127x X < 5. Tập.nghiệm của bất phương trình là s = |x|X < 5}.
2 X + 3 - 5 = 0 i X + 3 = 4 11 1 1 2
Tập nghiệm của phương trình là s = <{	f- •
|x-l| + |x-3| = X
Nếu x < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu 0 < X < 1 thì ta có phương trình
4
l-x + 3- x = x3x = 4x = — (loại).
Nếu 1 < X < 3 thì ta có phương trình
X -1 + 3 - X = X X —2 (thỏa mãn).
Nếu X > 3 thì ta có phương trình
x-l + x- 3 = xx = 4 (thỏa mãn). Tập nghiệm của phương trình là s = {2;4}.
PHÀN HINH HỌC
A. Ví dụ giải toán
Ví dụ Cho hình thang cân ABCD, chư vi là 24cm trong đó đáy nhỏ là AB = 4cm và đáy lớn CD = 10cm.
Tính diện tích cùa hình thang cán đó ;
Gọi o là giao điếm của hai đường chéo. Tính ti số diện tích của AAOB và ACOD ;
Một hình hộp đứng có đáy là hình thang cân nói trên, thể tích là 420cm'\ Tính diện tích toàn phần của nó.
Giấi:
Ta vẽ AH 1 CD; BK 1 CD.
AAHD = ABKC (cạnh huyền - góc nhọn) 10-4
Suy ra I ID = KC = ——— = 3 (cm).
Ta có
AD = BC = (24 - 14) : 2 = 5 (cm). Suy ra BK = V52 -32 = 4 (cm).
(4+ 10).4
= 28 (cm2).
b) Vì AB // CD nên AAOB 00 ACOD.
.2 X . \2
Do đó
’AOB
JCOD
AB y
cdJ
_£
25
Diện tích hình thang là :
V 420
c) Chiều cao của hình hộp đứng là :
h = 4 = 4? = 15 (cm), s 28
xq
Diện tích xung quanh cùa hình hộp đứng : Sv„ =24.15 = 360 (cm2).
Diện tích toàn phần là :
s,p = 360+ 28.2 = 416 (cm2).
Nhận xét: Ở câu a) bạn nên nhớ mỗi đoạn thẳng HD và KC đều bằng nửa hiệu hai đáy.
B. Hướng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 1. Hướng dần :
Dựng AACD sao cho ,
CD = 4 ; AD = 2 ; AC = 5.
Dựng tia Ax // CD.
Dựng cung tròn (C ; 3cm) cắt tia Ax tại B.
Nối BC ta được hình thang phải dựng.
Biện luận : Bài toán có hai nghiệm hình.
Bài 2.
Hướng (lẫn :
- Bạn chứng minh BE ± OA : CF ± OD. Xét các tam giác vuông BEC, BFC có EG và FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên :
EG = FG = 4 BC 2
Bạn chứng minh tiếp
(1)
Bài 3.
Bài 4.
EF = 4ad = 4bc.
2 2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AEFG đều.
Hướng (lần :
Tứ giác BHCK là hình bình hành, hai
đường chéo cắt nhau tại M.
Ta có MB = MC và AU 1 BC.
Hình bình hành BHCK là hình thoi .
OHM 1 BC
A, H, M thảng hàng
 AM 1 BC
 AABC cân tại A.
Hình bình hành BHCK là hình chữ nhật
 BKC = 90° BAC = 90° AABC vuông tại A
Hướng (lẫn
Trước hết chứng minh các tứ giác MEXK, AMXD, MBCN là hình
bình hành, suy ra EK // DC và EK = 4 DC.
2
Bài 5.
Bài 6.
Bài 7.
 MN = EK o AD = ịcD.
2
c) Hình bình hành MENK là hình vuông
 ABCD là hình chữ nhật và AD = 4 DC.
2
Hướng dần :
Vì BB'= ỊbG nên
2
3	3
^ABB' = ạS‘\BG = — s.
$ABC - 2.Aabb, - 2.2 .s - 3S. Hướng dẫn :
Vẽ MN // AK thì KN = NC.
BD 1	_ Bk 1
Vì — = — nên —— = —.
DM 2 KN 2
Do đó ~. Suy ra S-ABK _ 1 BC 5	- SABC 5
Gidi:
AK là đường phân giác nên KB _ AB	KB_ KC
KC - AC	AB ~ AC
AK // MD nên BK BA _ BK BM
BM BD
Từ(l) và (2) =
ME // AK nên
Từ (3) và (4) =
CM CE BM _ CM
> BD - CE
BA BD r KC _ BM AC ” BD
CK CA
Bài 8. Bài 9.
A
Mật khác B.M = CM nên BD = CE. Đá/) số: 72,25m.
Gini: Nếu ABD = 0 thì :
AB = AC.AD.
AB AD
AABD co AACB(g.g)
=> —-- = —-- => AF
AC AB
Nếu AB2 = AC.AD thì
AC AB
AABD oo AACB (c.g.c) ABD = C.
Nhận xét: Ta có thể trình bày gộp cả hai phần như sau
«— = —- AB2 = AC.AD. AC AB
Bài 10.
Giải:
B
25
B'
ABD = C » AABDoo AACB AB AD
AA' // cc, AA' = cc vì cùng song song với BB' và cùng bằng BB'.
Do đó tứ giác ACCA' là hình bình hành.
Vì AA' ± mp(A'B'C'D') nên AA' T A'C' do đó hình bình hành ACCA' là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự ta được tứ giác BDD'B' là hình chữ nhật.
Ta có AC2 = ẦA'2 + A'C'2
= AA'2 + A’B'2 + B'
sxq = (12 + 16).2.25 = 1400 (cm2)
Bài 11.
SIp = 1400+ 16.12.2 = 1784 (cm2) v= 12.16.25 = 4800 (cm3).
Hướng linn : a) Ta có AC = 20V2 => oc = I0V2 (cm). SO = ự242 -(loTĨ)2 = 7376	19,4(cm).
3.
1.
c. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 2cm ; BC = 4cm. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AC.
Chúng minh rằng tứ giác AMCD là hình thoi ;
Chứng minh rằng tú' giác ABCD ềà hình thang cân ;
Một hình hộp dứng có đáy là tứ giác ABCD và chiều cao là 5cm. Tính thè tích của hình hộp đó.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và \ là hình chiếu cúa H trên AB và AC.
Chứng minh răng AA\M co AABC ;
Cho biết BC = lOcm ; AH = 4cm, tính diện tích tứ giác BMNC.
Cho tam giác ABC, đường cao AU. Cho biết BC = 7,5cm, AH = 5cm. Trên AH lấy điểm K sao cho AK = 2cm. Qua K vẽ một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lẩn lượt tại D và E. Gọi G và F lần lượt là hình chiếu cua D và E trên BC.
Tính độ dài DE ;
Chứng minh tứ giác DEFG là hình vuông.
Hướng dán - Đáp số
a) AM = MB = MC = 2cm. M và D dối xứng qua AC nên AD - AM - 2cm, CD - CM = 2cm. Tứ giác AMCD có 4 cạnh bàng nhau nên là hình thoi.
AD // CM => ABCD là hình thang.
AABM đều => B = 60° => Cl = 30° => c2 = 30°, BCD = 60°.
Hình thang ABCD có hai góc ờ đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Diện tích hình thang ABCD là :
273	/—	9,
s = 7(2 + 4).11- = 3V3 (cm2).
2
Thể tích hình hộp đứng là :
v = 373.5 = 1573 (cm3).
2.
3.
Tứ giác ANHM là hình chữ nhật, suy ra AMN = MAH = c. Vậy AANM cọ AABC (g.g).
Diện tích AABC là
s= 1.10.4 = 20 (cm5). Gọi diện tích AAMN là S],
Sl - \ MN Ta CÓ —L = ——- s l BC
4
10
Do đó S, = Ặ.s =	.20 = 3,2 (cm2).
25	25
Diện tích tứ giác BMNC là :
20-3,2= 16,8 (cm2).
a) Vì DE // BC nên AADE co AABC.
Suy ra tỉ số hai đường cao bằng ti số đồng dạng.
AK _ DE 2 _ DE ay AH - BC 5 - 7,5'
=> DE = 3 (cm).
b) Dễ thấy tứ giác DEFG là hình chữ nhật.
DG=KH=5-2=3 (cm). Vậy DE = DG, do đó hình chữ nhật DEFG là hình vuông.