Giải toán 8 Bài 3. Thể tích của hình hộp chữ nhật

§3. THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT A. Tóm tắt kiến thức
Đường tháng vuông góc vói mặt phăng. Hai mặt phảng vuông gớc
Khi dường tháng AA' vuông góc với hai đường tháng cắt nhau A'D' và A’B' của mp(A'B'C'D'), ta nói AA' ± mp(A'B'C’D').
Nhận xét :
Aốu một dường thang vuông góc vói một mặt phăng tại diêm A thì nó vuông góc vói moi dường thảng di qua A và nằm trong mặt phảng đó.
Khi một trong hai mật phảng chứa một dường thăng vuông góc vó'i mặt phang còn lại thì hai mặt phang đó vuông góc vói nhau.
Ví dụ : rnp(ABCD) ± mp(ADD'A').
IB-ĐỔ học..Toán 8/2
Thế tích cùa hình hộp chù nhặt
Thè tích cua hình hộp chữ nhật hàng tích cúa ba kích thước: V a.b.c
Đặc hiệt : The tích cua hình lặp phương cạnh a là :
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ Chơ hình họp chữ nhật ABCD.A'B'C'D’.
Chứng minh răng DD' T B'D' ;
Chứng minh răng mp(ADD'A') T mp(A'B'C’D');
Chơ bict AD = Sem ; DD' = 10cm và diện tích cua tứ giác DBB'D' là 170cm. Tính the tích cua hình hợp chữ nhật.
Giải: a) Ta cớ DD' 1 D'A' và DD' 1 D'C' nên DD' 1 mp( A'B’C'D'). Suy ra DD’ T D'B' (vì D'B' nằm trong mp(A'B'C'D')).
DD' năm trong mp (ADD'A') và DD' 1 mp(A'B'C’D') nên mp(ADD'A') 1 mp(A'B'C'D’).
Ta cớ DD7/ BB' và DD' = BB' nen tứ giác DBBD là hình bình hành. Mặt khác DD' 1 D'B' nên DBB D' là hình chữ nhạt.
170
Suy ra DB = —— = 17 (em).
10
V 172 - S’ = 15 (em).
Áp dụng dinh lí Py-ta-gơ ta có
DC = V DB' - BỠ
Thế tích cua hình hợp chữ nhật là :
V = AD.DC.DD' = 8.15.10 - 1200 (em').
Cánh báo! Trong không gian, hai dường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một dường thang thú ha thì chưa chắc dã song song. Ví dụ hai dường thảng D’A' và D'C' cùng vuông góc với DD' nhưng chúng cát nhau tại D’.
c. Hưỏng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 10. Giúi:
Gấp được thành một hình hộp chữ nhật.
a) BF i BA ; BF 1 BC nên BF 1 mp(ABCD);
BF 1 FE ; BF 1 FG nên BF 1 mp(EFGH).
b) AD 1 DC và AD 1 DH nên AD 1 mp(CGHD).
Mặt khác AD nằm trong mp(AEHD) nên mp(AEHD) ± mp(CGHD).
Bài 11. Giiíi:
Gọi các kích thước của hình chữ nhật là a, b, c. Ta có :
a _ b _ c _ k 3~4_5_ '
Suy ra a = 3k ; b - 4k ; c = 5k.
Vì thê tích cua hình hộp là 480cm3 nên ta có :
3k.4k.5k = 480 => k3 = 8 => k = 2.
Vậy kích thước cua hình chữ nhật là 6cm ; 8cm ; lOcrn.
Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là :
486 : 6 = 81 (m2).
Độ dài mỗi cạnh cua hình lập phương là \81 = 9 (m). Thể tích của hình lập phương là : V = 93 = 729 0n3).
Bài 12. Hướng dần: Dùng định lí Py-ta-go.
Đáp số:
AB
6
13
14
25
BC
15
16
23
34
CD
42
20
70
62
DA
45
45
75
75
Nhận xét : DA gọi là một đường chéo của hình hộp chữ nhật. Ta có định lí : Trong hình hộp chữ nhật, bình phương của mỗi đường chéo bằng tổng các bình phương của ba kích thước.
Cũng từ định lí này ta suy ra trong hình hộp chữ nhật bốn đường chéo bàng nhau.
Bài 13. Hướng dẫn : a) V = AB.AD.AM. b) £)(//? .vớ:
Chiều dài
22
18
15
20
Chiều rộng
14
•5
11
13
Chiều cao
5
6
8
8
Diện tích một đáy
308
90
165
260
Thể tích
1540
540
1320
2080
Bài 14. Gidi: a) Thế tích nước đổ vào bế lúc đầu là :
V, = 20.120 = 2400 (/) = 2400 (dm3) = 2,4 (m3).
Chiều rộng của bế là : 2,4 : (2.0,8) = 1,5 (m). b) Diện tích đáy bể là :
B = 2.1,5 = 3 (m2).
Thế tích nước trong bể sau hai lần đổ là :
V = 2O.( 120 + 60) = 3600 (/) = 3.6 (m3).
Chiều cao của bè là :
V 3,6	,
h = 77 = -7- = 1,2 (m).
B 3
Bài 15. Gidi; Thê’ tích nước trong thùng lúc đầu là :
V, =7.7.4= 196 (dm3).
Thể tích của 25 viên gạch là :
(2.1.0,5).25 = 25 (dm3).
h2 =
25 _ 25 7.7 - 49
(dm).
h2 H h,=4
Khi thả gạch vào nước, mực nước dâng cao thèm là :
Khi đó mực nước cách Iĩìiệng thùng là :
Bài 16.
Bài 17.
Bài 18.
7 - (h| + hi) = 7 - ^4 + 11J * 2,49 (dm).
Till lời: a) A'B', CD', CD, GH.
A'D’. B'C, CH. DG.
A'D', B'C, CH, DG, BK. AI.
mp(A'D'C’B') 1 mp(DCC'D').
Trú lòi: a) AB, CD, AD, BC
b) AB // mp(EFGH) ; AB // mp(CDHG).
AD // BC // FG // EH.
Hướng (lần: Khai tricn hình
hộp rồi trái phang ra (hình
bôn không vẽ nắp).
Ta tính dược
P|Ọ = \M2 + 52 ' 6.4 (cm) ; P-.Q = v/ó2 + 32 '6,7 (cm).
Vậy kiên phai bò theo đoạn thảng P]Q thì đường di là ngắn nhất. Độ dài đó là 6,4cm. Hành trình cụ thể như sau : Kiến bò theo đáy hộp từ Q đến M rồi "bò theo mặt bên từ M đến p (có thê’ dùng định lí Ta-lét tính dược MA = 2,4cm ; MB - l,6cm).
D. Bài tạp luyện thêm
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình vuông.
Chứng minh rằng các mật chéo ACC'A' và BDD'B' là những hình chữ nhật;
Gọi o là giao điếm của AC và BD. gọi O’ là giao diêm của A’C' và B’D'. Chứng minh rằng OD ± mp(ACC’A') ;
OO' vuông góc với những mật phẳng nào ?
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Biết diện tích mặt chéo ACCA' là 251/2 cm2. Hãy tính :
-a) Diện tích toàn phấn của hình lập phương ;
b) The tích của hình lập phương.
3.
1.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết z\B = 4cm, BC = 3cm và AC = 13cm. Hãy tính :
Thê tích của hình hộp chữ nhật ;
Diện tích bìa đè làm chiếc hộp đó (không kể các mép dán).
Hướng đản - Đáp sô
mp(A'B'C'D').
cc 1 C'B' ; cc 1 CD' nên CC' 1 Do dó cc 1 CA'.
Tứ giác ACCA' có AA'// cc và AA' = cc nên là hình bình hành. Hình bình hành này có cc ± CA' nén là hình chữ' nhật.
Chứng minh tương tự ta được BDD'B' là hình chữ nhật.
Ta có BD // B'D' và BD = B D'.
Suy ra OD //O'D' và OD = ƠD'.
Vậy tứ giác DOƠD' là hình bình hành. Mặt khác DD'O = 90° nên tứ giác DOƠD' là hình chữ' nhật. Sưy ra DO ± 00'.
Ta có DO 1 AC ; DO T 00' nên DO 1 mp(ACC'A'). c) Ta có 00' 1 BD.
Chứng minh tương tự ta được OO' T AC, sưy ra 00’ 1 mp(ABCD).
Tương tự, 00' ± mp(A'B'C'D').
Ta đặt AB = a, suy ra AC = a 72. Vì diện tích mặt chéo ACCA' là 2572 em2 nên ta có
a.ax/2 =2572 => a2 = 25 => a = 5 (em).
Diện tích toàn phần cứa hình lập phương là :
s = 6a2 = 6.52 = 150 (em2).
Thế tích cưa hình lập phương là :
V - a3 = 53 = 125 (em3).
3.
Ta có AC'2 = AB2 + BC2 + BB'2.
Do đó 132 = 42 + 32 + BB'2.
Suv ra BB' = v'144 =12 (cm).
Thè tích của hình hệtp chữ nhặt là :
V =4.3.12 = 144 (em3).
Diện tích xung quanh cúa hình hộp chù' nhật là :
Sxq = (4 + 3).2.12 = 168 (em2). Diện tích bìa cần dùng đế làm hộp là :
s = 168 + 4.3.2 = 192 (em2).