Giải toán 8 Bài 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

§2. LIÊN HỆ GIỮA THỨ Tự VÀ PHÉP NHÂN
Kiến thúc cần nhố
Khi nhân ca hai vế của một bất đặng thức với cùng một số dương ta dược bất đắng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho:
a ac 0.
Khi nhân cả hai vế cúa một bất đẳng thức với cùng mọt số âm ta dược bất đắng thức mới ngược chiều với bất đắng thức đã cho:
a be với c < 0.
Tính chất bắc cầu: a a < c.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Điền dấu ; vào ô trống
Nếu a 0 thì ac I [ be ;
Nếu a < b và c < 0 thì ac I I be ;
Nếu a > b và c < 0 thì ac I [ be ;
Nếu a > b và c > 0-thì ac I I be .
Giải. a) ; c) .
Ví dụ 2. Hãy ghép mỗi bất đắng thức ớ cột 1 với một bất đảng thức ở cột 2 sao cho thích hợp:
Cột 1
Cột 2
1) 2x-5>3
a) X > 3
2) ——X < —
2	5
b) X > 4
3) x-2>—X
5
c)x<|
2	1
4) —-2x>-—
J	J
2
d) X >	
15
Gidi. 1) ghépvói b); 2) ghép với d); 3) ghép với a);	4) ghép với c).
Ví dụ 3. Cho 4a < 4b, hãy so sánh:
-6a-35 và —6b —35;
(-15a)(-V2Õ?ĩ) và (-15b)(-72ÕŨ).
Giải. Ta có 4a < 4b nên a < b . Do đó:
à) —6a > —6b => —6a-35 > —6b — 35;
b) -15a >-15b => (-15a)(-V2ÕTT ) < (-15b)(-72ÕTĨ).
Ví dụ 4. Cho a > 0 và b > 0 . Chứng minh ràng:
a + b
> Vab (bất đảng thức Cô-si).
Gidi. Với a > 0 và b > 0, ta luôn có
/ã - \T) r > 0 a + b - 2 Cab > 0 «> a + b > 2 Văb a b > Vab
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a = b.
c. Hưống dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 5.
Bài 6. Bài 7. Bài 8.
Bài 9.
- 6 0;
6 < - 5 và - 3 < 0;
2003 0 Vx và - 3 < 0;
2a - b
b) a 0.
Giai : a) Đúng, vì
Sai, vì
Sai, vì
Đúng, vì Giíỉì : 2a 0;
Giải: a) Vì a 2a - 3 < 2b - 3 .
b) Vì a < b nên 2a < 2b mà - 3 < 5 nên cộng vê' với vế của hai bất đắng thức cùng chiều ta có 2a - 3 < 2b + 5.
Giíii: a) Sai, vì tổng ba góc trong tam giác bằng 180°.
Đúng.
Đúng (không xảy ra dâu bằng).
Sai.
Bài 10. 'Gicíi: a) (-2-).3 <-4,5;
Từ (- 2).3 (-2)2.10'< -4.5.10« (-2)20 < -45 ..
Từ (- 2)2 < - 4,5 « (-2)2 + 4.5 < -4.5 + 4.5 « (-2)2 + 4,5 < 0.
Bài 13. Gidi: a) Vì a + 5 - 3b nên a 5b - 6 nên 5a > 5b suy ra a > b; d) Vì -2a + 3 b .
Bài 14. Đáp số: a) 2a + 1 < 2b + 1;	b) 2a + 1 < 2b + 3.
D. Bài tạp luyện thêm
Không tính giá trị cúa biếu thức hãy so sánh
a) (-2010)2012-2009 và (-2008).2012-2009 ;
b) 7 + 2ỌÌ 5.2020 và -42224-+ 2015.2020.
20122 2012-
Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca với mọi a, b, c.
Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
• a , b	, 4ab	11	4
ba	1 + ab	aba + b
a) Tim giá trị nho nhất của biểu thức X2 + 2x + 5 ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức —-—	.
4x2 + 12.X + 10
Hướng dấn - Đáp số
1. a) Ta có -2010 (-2010)2012 < (-2008)2012 «(-2010).2012 - 2009 < (-2008)2012 - 2009 .
b) -2011 (-201 í).—^<(-2010).—^- 2012-	2012~
=>(-2011).—Ỉ-— + 2015.2020 <(-2010).—^ + 2015.2020
20122 v 20122
2011	2010 	
hay ----7V + 2015.2020 < —V + 2015.2020 .
20122	20122
Ta luôn có (a - b)2 > 0 => a2 + b2 > 2ab . Dấu bằng xảy ra khi a = b . Titưng tụ (b - c)2 > 0 => b2 + c2 > 2bc . Dấu bằng xảy ra khi b = c .
(c-a)2 > 0 => c2 + a2 > 2ca . Dâu bằng xảy ra khi c = a .
Suy ra 2^a2 + b2 + c2) > 2(ab + bc + ca) => a"1 + b2 + c2 > ab + bc + ca .
Dâu bằng xáy ra khi a = b = c .
a) Cách 1. Ta có
Cách 2. Theo bất đảng thức Cô-si ta có:
t „ a b nên — + — > 2.
b a
Ỉ + È>2.ỈÍ = 2
b a V b a Dấu bằng xảy ra khi a = b . b) Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
a + b > 2Tab . Dấu bằng xảy ra khi a = b .
1 + ab > 2\/ãb . Dấu bằng xảy ra khi ab = 1 .
Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta có:
(a + b)(l + ab) > 2\/ab.2Vab (a + b)(l + ab) > 4ab I 4ab
«> a + b > —.
1 + ab
Dấu bằng xảy ra a = b = 1.
Theo bất dáng thức Cô-si, ta có :
a + b > 2Vab.
1 1 2
1	1 k „	11	4
Do đó (a + b) — + — > 4 — + 2- > -	.
va by	a b a+b
Ta có X2 + 2x + 5 = X2 + 2x +1 + 4 = (x +1)2 + 4 .
Vì (x +1)2 > 0. Vx => (x +1)' + 4 > 4 .
Do đó X2 + 2x + 5 dạt giá trị nho nhất bằng 4 khi X = -1.
Ta có
4x2 + 12x + 10 = 4x2 + 2.2x.3 + 9 + l = (2x+ 3)2 + 1 > 1.
Do dó —-— 	< 1 nên —- -	 đạt giá trị lớn nhất
4x2 + 12x + 10	4x2+12x + 10	■
bàng 1 khi X = — — .
2