Giải toán 8 Bài 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)
§7. GIẢI BAI TOAN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (TIẾP) A. Kiến thức cán nhó Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn cần: Nêu đúng và đủ các điều kiện. Trình bày lời giải gọn, đủ, chính xác. Đới chiếu với điều kiện để đưa ra kết quả cưa bài toán. Tìm cách chọn ẩn đê’ lập phương trình đơn giản. Thông thường ta chọn ẩn trực tiếp (đề bài hỏi về những đại lượng nào thì đặt luôn các đại lượng đó làm ẩn) thì ta dễ dàng lập phương trình. Tuy nhiên có thê’ linh hoạt hơn trong việc chọn án-để đưa về phươhg trình dễ giải hơn. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1, Giả sử dân số của tính A hiện nay là 1000000 người. Người ta dự đoán, sau 3 năm nữa dân số tỉnh A là 1061208 người. Hãy cho biết : Ti lệ tăng dân số trung bình hàng năm của tinh A là bao nhiêu phần trăm ? Với tí lệ tâng dán sô trung bình hàng năm nhu' trôn thì sau 15 năm nữa dàn số cua tinh A là bao nhiêu người ? (ìiái. Ta có : nếu dán sô ban dầu (dân số hiện nay) cua tinh A là a người và ti lệ tàng dán số trung bình hàng năm là x% thì sau n năm dãn số cứa tính A là: a(l + x%)n . Theo bài ra ta có: => 1 + x% = 3 1000000(1 + x%)3 = 1061208 => (1 + x%)3 = K)6' (240 ), Diện tích cua tam giác mới là ——+ 10 l(x + 30). Theo bài ra ta có phương trình: — +10j(x +30)=550 ^j v v ’ 1000000 1061208 ? 1000000 x Trưng bình mỏi năm dân sô’ tinh A tăng 2%. Áp dụng công thức ở trên, sau 15 năm dân số tính A là: lOOOOOOx (1 + 2%)15 « 1345868 (người). Ví dụ 2. Đáp số: 1345868 người. .Một tam giác có diện tích bằng 120em2. Tăng chiều dài của cạnh đáy của tam giác thêm 3()cm và tăng chiều cao tương ứng thêm 10cm thì được tam giác mới có diện tích lớn hơn diện tích tam giác ban dầu là 430 em2. Tìm chiều cao và cạnh đáy tương ứng của tam giác ban đầu. Giải : Gọi cạnh đáy của tam giác ban đầu là X thì chiều cao cua tam ' 240 giác dó là . X Cạnh đáy của tam giác mới là X + 30 . „ 240 Chicu cao cua tam giác mới là —— +10. X x = 20 x = 36 => (240 + 10x)(x + 30) = 1 lOOx 1 Ox2 - 560x + 7200 = 0 « X2 - 56x + 720 = 0 Vậy có hai trường hợp: Cạnh đáy 20cm, chiều cao 12cm. 20 Cạnh đáy 36cm, chiều cao — cm. 3 Ví dụ 3. Hiện nay tổng sô' tuổi của ông và cháu là 110 tuổi. Xăm năm trước tuổi ông gấp 3 lần tuổi cháu. Tính số tuổi mồi người hiện nay? Giai: Gọi số tuổi cùa cháu cách đây 5 năm là X tuổi (x > 0). Khi dó sổ' tuối của ông là 3x. Hiện nay cháu (X + 5) tuổi và ông (3x + 5) tuổi. Do tổng tuổi của ông và cháu là 110 tuổi nên ta có phương trình: x + 5 + 3x + 5 = 110 4x = 100 X = 25 (thoả mãn). Vậy tuổi cháu hiện nay là: 25+ 5 = 30 (tuổi); tuổi óng hiện nay là: 110 - 30 = 80 (tuổi). c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 37. Giải: Gọi X là vận tốc của xe máy thì vận tốc ô tô là X + 20 (km/h). Thời gian xe máy đi từ A đến B là 3,5 giờ. Thời gian ô tô đi từ A đến B là 2,5 giờ. Quãng đường AB có độ dài là 3,5.x; 2,5(x + 20). Ta có: 3,5 X = 2,5(x + 20) =>3,5x = 2,5x + 50=>x = 50. Vậy vận tốc xe máy là 50 (km/h) và quãng đường AB là 175km. Bài 38. Hướng dẫn : Cần điền lần lượt là 3 và 1. Bài 39. Tui lời : Không kể thuê' VAT, Lan phai tra cho loại hàng thứ nhất là 60 nghìn đồng và loại hàng thứ hai là 50 nghìn đồng. Bài 40. Giíii : Gọi X là tuổi cua Phương năm nay thì tuổi của mẹ Phương là 3x. Sau 13 nãm nữa tuổi của Phương là X + 13. Sau 13 năm nữa tuổi cứa mẹ Phương là 3x + 13. Ta có: 3x + 13 = 2(x + 13) => 3x +13 = 2x + 26 => X = 13. Phương năm nay 13 tuổi. Bài 41. Đớp số: 48. Bài 42. Giãi: Giá sử số đó là ab ta có ab = 10a + b Số mới là 2ab2 = 2.1 o3+a.io2 +10.b +2 = 2.1 o3 + io(l Oa + b) +2 Theo bài ra ta có: 2.103+10(l0a + b) + 2 = 153(10a + b) => 143(10a + b) = 2.103+2 => lOa + b = 14. Sô’ cần tìm là 14. Bài 43. Trá lời : Không có phân số nào. Bài 44. Hướng dần : Các sô' cần điền lần lượt là 8 và 50. Bài 45. G/í/7 .' Gọi X là số sán phẩm theo kế hoạch (x > 0). Ta có bâng sau: Sớ scíii phẩm Thời gi tin Nâng siiãỉ Kế hoạch x 20 X 20 Thực tế x + 24 18 x + 24 18 Theo bài ra ta có phương trình: x + 24 20 X x + 24 3x —— = — - 4— 50(x + 24) = I8.3x X = 300. 18 100 20 18 50 v ’ Số sán phẩm theo kế hoạch là: 300 tấm thảm len. Bài 46. Đáp số: 120km. Bài 47. Hướng dẫn : X,—; X + X.—; 100 100 XI 1 + ---- I~ ; 2 000 000 đồng. I 100J100 . Bài 48. Gidi : Gọi dãn sô' linh A'năm ngoái là X người (0 < X < 4000000), thì dân số tinh B năm ngoái là (4000000 - X) người Số dân năm nay của tỉnh A là: X + x.yrr 100 Sô' dân năm nay của tỉnh B là: (4000000 - X) + (4000000 - X). Theo bài ra ta có phương trình: X + X.- 100 (4000000 - X) + (4000000 - X). 1.2 100 = 807200 0 + ĩoo)x "(1+Kẳ h4000000_x-^ = 807200 101. lx-101.2(4000000-x) = 80720000 » 202,3x = 80720000+ 10Ị2.4000000 « x = 2400000. Vậy sổ dân năm ngoái của tinh A là 2400000 người, sô' dân của tinh B là 1600000 người. Bài 49. £> .vớ'; AC = 4cm. Hướng dẫn : Biểu diễn chiều rộng của hình chữ nhật bằng hai cách để có phương trình: Từ diệmtích hình tam giác suy ra diện tích hình chữ nhật; Sử dụng định lí Ta-lét trong tam giác. D. Bài tạp luyện thêm Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Lúc về ô tô đó đi với vận tốc 45 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian di là 30 phút. Tính quãng đường AB. Một xí nghiệp định sản xuất 3000 sản phẩm trong 30 ngày theo kê' hoạch. Nhung thực tê' đội đã làm vượt 65 sản phẩm mỗi ngày, do đó không những đội hoàn thành kê' hoạch trước thời hạn mà còn làm vượt mức 300 san phẩm. Hỏi thực tê' xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày? Ba chiếc máy bơm cùng hút nước trong một giếng nước. Nếu làm một mình thì: Máy bom I hút hốt nước mất 12 giờ; Máy bơm II hút hết nước mất 18 giờ; Máy bơm III hút hết nước mất 20 giờ. Trong 4 giờ đầư máy bơm I và II cùng hút nước sau đó mới sử dụng thêm máy bơm III.,Hỏi sau thời gian bao lâu thì giếng sẽ hết nước ? Hướng dẩn - Đáp sô Gọi độ dài quãng đường AB là X km (x>0). Thời gián xe đi từ A đến B là : —- (h). 40 Thời gian xe đi từ B đến A là : -^7 (h). 45 Ta có phương trình: — --^7 = 4 => 9x-8x = 180 => X = 180 . 40 45 2 Vậy quãng đường AB là 180 km. Gọi X là số ngày xí nghiệp đã rút ngắn được (x > 0). Sô'sản phẩm Thời gi till Sô sản phẩm lủm được trong ì ngày Thực tế 3300 30-X 3300 30-x Dự định 3000 30 3000:30= 100 Theo bài ra ta có phương trình: 4^ = 100 + 65 30-x => 3300 = 165(30-x) => x = 10. Vậy thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được 10 ngày. Gọi X (h) là thời gian kể từ lúc dùng thêm máy bơm III (x > 0) Ta có bảng sau: Máy bơm Tlìời gian Công sinírlìì I 12 1 12 11 18 1 18 III 20 1 '20 Lượng nước hút được trong 4 giờ cua máy bơm I và II là 4| 7T + —- <12 18 Lượng nước hút được trong X giờ của cả 3 máy bơm là (1 1 n X —— H — 4- —— <12 18 20) Theo bài ta có phương trình: X —- + — + — +4 —- + —- =1 <12 18 20) <12 18/ « X(15+ 10+ 9)+ 60 +40 = 180« X =2-4 v 17- Vậy từ khi dùng thêm máy bơm III thì sau 2pyh « 2h21 phút giếng sẽ hốt nước.