Giải toán 8 Bài 3. Bất phương trình một ẩn

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn A. Kiến thức cần nhỏ
Một bất phương trình với ẩn X có dạng A(x) B(x), A(x) B(x)), trong đó vế trái A(x) và vế phái B(x) là hai biếu thức cúa cùng một biến X.
Số X = a là nghiệm của bất phương trình A(x) < B(x) nếu khi thay X = a vào ta được một bất đẩng thức đúng.
Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
Giái bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Biếu diễn tập nghiệm cứa bất phương trình trên trục số bằng cách - gạch bỏ các điểm không thuộc tập nghiệm.
Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chứng có cùng một tập nghiệm. Ta dừng kí hiệu “ ” đê’ chí sự tương đương đó.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Kiểm tra xem giá trị X = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:
-ịx-3>3;	b)2x + 30;	d)-2 + x<5.
2	4
Giải, a) Giá trị X = 3 không là nghiệm của bất phương trình
-ịx - 3 > 3 vì khi X = 3 ta có: 4X -3 = 4-3 = - 4 < 3;
2 2 2 2
Giá trị X = 3 không là nghiệm của bất phương trình 2x + 3 -5 ;
3
Giá trị x=3 là nghiệm của bất phương trình -Ị-x-l>0 vì khi
x=3 ta có: 4 X -l = 4 .3-1 = — > 0;
4	4	4
Giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình -2 + x<5 vì khi X = 3 ta có: -2 + X = -2 + 3 = 1 < 5 .
Ví dụ 2. Viết và biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên trục số:
x2;	c)x-3.
Giải
Tập nghiệm của bất phương trình X <-2 là s = Jx e R]X <-2j'. Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như sau:
	3////////////////A
-2 °
Tập nghiệm của bất phương trình X > 2 là s = {x e R|x > 2}. Tập hợp này dược biểu diễn trên trục số như sau:
	t	£	►
° 2
Tập nghiệm của bất phương trình X < 4 là s = |x e s| X < 4}. Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như sau:
—t	)/////////////////>
Ví dụ 3. Chơ bất phương trình án x: 2(x-3) + 5<x-7
Chứng tỏ các giá trị 3; 12; 25 đều không là nghiệm của bất phương trình;
Dùng các quy tắc chuyến vế và nhân đê giải bất phương trình.
Giải
Giá trị X = 3 không là nghiệm của bất phương trình vì khi x = 3 ta có: 2(3-3) + 5 = 5 > 3-7 = -4;
Giá trị X = 12 không là nghiệm của bất phương trình vì khi x = 12 ta có: 2(12-3) + 5 = 23 > 12-7 = 5;
Giá trị X = 25 không là nghiệm của bất phương trình vì khi X = 25 ta có: 2(25-3)+ 5 = 49 > 25-7 = 18 ;
Ta có
2(x-3) + 52x-6 + 52x-x X < -6.
Tập nghiệm của bất phương trình là S = (xelR|x< -ó|.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng:
,a) Bất phương trình x2+6x + 15<0 vô nghiệm;
Bất phương trình 3x + 6x + 5 > 0 nghiệm đúng với mọi X.
Giải, a) Thật vậy, tá có X2 + 6x +15 = X2 + ÓX-+9 + 6 = (x + 3)2 + 6.
Vì (x + 3)2 >O,Vx nên
X2 + 6x + 15 = x2 + 6x + 9 + 6 = (x + 3)2 + 6 > 6.
Do đó bất phương trình X2 + 6x +15 < 0 vộ nghiệm; b) Ta có
3x2 + 6x + 5 = 3x2+;6x + 3 +2 = ^3x2+6x+ 3j +2 = 3(x +1)2 + 2 > 2 . Do đó 3x2 + 6x + 5 > 0 với mọi X.
c. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Trcí lời : X = 3 là nghiệm của bất phương trình ở câu c).
Giải
Tập nghiệm: s=í{x|x<4}
Tập nghiệm: s = IX |x < -2}
Tập nghiệm: s = |x|x>-3|
Tập nghiệm: s = {x|x>lị.
Bài 15.
]////////////////>
Bài 16.
/////////////////////(--
-3
Giúi: a) x 2; c) X > 5; d) X <-1.
Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô phải đi là X (km/h), X > 0 thì ta có
Bài 17.
’Bài 18.
í2 + 7<9.
X
D. Bài tạp luyện thêm
Kiếm tra xem giá trị X = -5 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:
2x + l>-5;	b)-3x + 20.;	d)-5-x<6.
Với giá trị nào của m phương trình sau có nghiệm âm ?
(2x-3)2-2m + l - 4x2-X + 2
Hai bất phương trình sau có tương đương không?
2x -1 > 0 và 1 + 2x > 0 ;
X > 0 và X2 > 0 ;
X2 +1 > 0 và X2 + X +1 > 0 ;
X2 + 2x + 4 < 0 và 2x2+6x+ 5 < 0 .
Hướng đẫn - Đáp sô
a) Giá trị x = -5 không là nghiệm cứa bất phương trình 2x +1 > -5 vì khi X =-5 ta có: 2x+ 1 = 2.(-5) + l =-9 <-5 ;
Giá trị X = -5 không là nghiệm của bất phương trình -3x + 2 -7 ;
* 	 , 1
Giá trị = -5 không là nghiệm của bất phương trình -- X - 6 > 0 vì
• '	4
, 1	29
khi x = -5 ta có: — x-6 = —-<0;
4	4
Giá trị X =-5 là nghiệm của bất phương trình -5-x<6 vì khi X = -5 ta có: -5 - X = 0 < 6.
Tacó (2x-3)2-2m +1 = 4x2-X + 2
 4x2 -12x + 9 - 2m +1 = 4x2 - X + 2
 12x - X = 9 - 2m +1 - 2 1 lx = 8 - 2m X = 8 _ 2m
11
Để phương trình có nghiệm âm thì
2m 8 - 2m 4.
11
a) Không;
Không;
Có, vì hai bất phương trình đều có tập nghiệm là ỈR .
Có, vì hai bất phương trình đều vô nghiệm.