Giải toán 8 Bài 7. Trường hợp đồng dạng thứ ba
§7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA A. Tóm tắt kiến thức Định lí Nếu hai góc của tam giác này lần A lượt bằng hai góc của tam giác /\ kia thì hai tam giác đó đồng dang A A X / " với nhau. B' C’ / Giá thiết Â' = Â ; B' = B B C Kết luận AA'B'C eo AABC B. Ví dụ giải toán Ví dụ Cho tam giác ABC, AB = 4cm ; AC = 8cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ABD = C. Tính độ dài AD ; Tam giác ABC nói trên phái có thêm điếu kiện gì đế AABD eo ABCD ? Tính dộ dài BD trong trường hợp đó. Giải: a) AABD và AACB có Â chung và ABD = c (giá thiết). Vậy AABD eo AACB (g.g). , , r t AB _ AD ~ ' 4 AD Suy ra ——- = ——. Do đó — = —— => AD = 2 (cm). AC AB 84 b) AABD co ABCD » Â = DBC (vì đã có ABD = C). « ABC = Â + C ABC = 90°. Khi đó ta có = 44 => BD2 = CD.AD = 6.2. Vậy BD = ỰĨ2 (cm). CD BD c. Hưống dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa Bài 35. Giải: Giả sử AA'B'C' co AABC theo tí số đồng dạng k và A'D', AD là AD AB Bài 36. Hướng chỉn: Bạn chứng minh AABD oo ABDC (g.g) suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Đớp số\ 18,9cm. Bài 37. G/7/7; a) Xét ABCD vuông tại c, có BDC + CBD = 90°. Mặt khác ABE = BDC nên ABE + CBD = 90°. Suy ra EBD = 90°. Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông là : ABE, CBD và EBD. AE AB 15 12 b) AAEB oo ACBD (g.g) => GÊ = => CD = = 18 (cm). CB CD 10 BE = VaE2 +AB2 = VlO2 + 152 « 18,0 (cm) BD = VbC2 +CD2 = ựl22 + 182 «21,6 (cm). ED = VbE2 + BD2 « 28,2 (cm). c) SBĐE = “BE.BD = ^7325.7468 = 195 (cm2) SAi;li + SBOJ = -^.15.10 + ^.12.18 = 183 (cm2). Vỹy S|iIJI: > s \HB+ S|«’D- Bài 38. Bài 39. Hướng dim: Bạn chứng minh AB // DE rồi dùng hệ quá cua định lí Ta- lét suy ra các cập đoạn thăng ti lệ. Bạn cũng có thê chứng minh AABC eo AEDC (g.g). £)(//? sô': X = 1,75 ; y = 4. • Hướng dẫn: a) Bạn chứng minh A II B AOAB eo AOCD (g.g) từ dó suy ra OA.OD = OB.OC. " e ' / <777 \ b) Ban chứnc minh AOAH eo AOCK (ii.il Bài 40. OH _ AB r _ OA ) ^OK~CD 7 oe/ Giới: AABC và AAED có Â chung AB _ AC _ 5 . Vi AE ” AD - 2' Vậy AABC eo AAED (c.g.c). D K c Bài 41. Nhận xét: Đó bài hoi hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng không. Câu tra lời là có. Nhưng khi dùng kí hiệu eo để chi sự đồng dạng cua hai tam giác dó thì ta phai viết là AABC eo AAED. Nếu viết AABC eo AADE la sai. 77 (/ lừi: Hai tam giác cân có cặp góc ở dinh bằng nhau thì dồng dạng (g.g). Nếu góc ớ đáy cùa tam giác càn này bàng góc ờ đáy của tam giác cân kia thì chúng dồng dạng (g.g). Nêu cạnh hên và cạnh dáy cùa tam giác căn này tí lệ với cạnh ben và cạnh đáy cua tam giác cán kia thì hai tam giác cân đó dồng dạng (c.c.c). Bài 42. Till lời: Khi ti số đổng dạng k = 1 thì ba trường hợp đồng dạng của tam giác trở thành ba trường hợp bằng nhau của tam giác. Bài 43. Bài 44. So sállll — Giốlllỉ nhau Khác nhau Hai tam giác Các góc tương ứng Các cạnh tương dong dạng bằng nhau ứng ti lệ Hai tam giác „T . Các góc tương ứng Các cạnh tương bằn li nhau " bàng nhau ứng bằng nhau Gitíi: a) Có ba cặp tam giác dồng dạng là : \EAD eo AEBF (vì BF//AD) AEBE ADCE (vì BE // CD) AEAD eo ADCE' ((g.g) hoặc suy từ (1) và (2)) b) AEAD CO . \EBF (1) (2) (3) ED AE , 10 s c — - —— hay —- = ^7 -■> EF - > (cm). EE BE EE 4 AD AE J_ _ BF - BE BE _ 4 BE = 3,5 (cm). BM DB Giãi: a) Ta có BM // CA nên 41— - 2VV (]) (hệ quá của dinh lí Ta-lét). CA DC Vì AD là dường phân giác nôn DB _ AB 24 _ 6 DC - AC 28 - 7 .... , BM 6 1 ừ (1) và (2) suy ra 44-4 = —. CA 7 b) AAMBeo AAAC(g.g). o AM B\1 Suy ra —— = —— A A CA ADMB cn.ẤD\C (g.g). Suy ra (2) (3) DM _ BM 13 A - CA (4) Từ (3) và (4) suy ra Bài 45. Gzi/7 AABC eo ADEE (g.g). Suy ra BC _ AC _ AB 8 _ 4 EF ~ DF - DE " 6 ~ 3 Từ đó ta có : —— = -4 => EF - 7,5 (cm). EF 3 AC 4 AC DF AC-DF DF 3 4 3 4-3 3' 4-3 Do dó AC = 3.4 = 12 (cm) DF = 3.3 = 9 (cm). •G» ơq Nhận xét : Khi viết các đinh tương ứng cùa hai tam giác đồng dạn theo cùng một thứ tự ta có thê viết dược các cạnh tương ứng với ti 1 mà không cần nhìn vào hình vẽ. Từ đó dùng tính chất cúa ti lệ thức hoặc tính chất cứa dãy ti. số hằng nhau ta có thế tính được độ dài cúc cạnh. D. Bài tập luyện thêm Cho tam giác ABC, AB < AC, góc A nhọn. Vẽ dường phân giác AD. Trôn cạnh AC lấy điếm E sao cho CDE = BAC. Chứng minh rằng : ADEC CO AABC ; DE = DB. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ dường thang xy đi qua A và song song với BC. Trên tia Ax lấy diêm M, trẽn tia Ay lấy điếm N sao cho AM. AN = AB2. Chứng minh rằng AABM M AANC. Cho tam giác ABC, đường cao AH (H nằm giữa B và C), cho biết AH = 3cm, HB = 2cm, HC = 4,5cm. Chứng minh rằng AABC vuông tại A. Cho tam giác ABC, đường phàn giác AD. Vẽ ra ngoài tam giác này tia Cx sao cho BC.X = -ị A. Tia Cx cắt tia AD tai E. Chứng minh rằng : AABD CO ACED;AABD CO AAEC ; B D c E AB.AC - DB.DC = AD2. Trong hình bèn, tam giác AJ3C và tam giác DEF là những tam giác đều. Chứng minh rằng : AAEM oo ADCM ; AAMD oo AEMC ; CE // BF. Hướng dần - Đáp so ADEC và AABC có c chung và D = A (giả thiết) nên ADEC oo AABC (g.g) . DE _ DC Suy ra —“ = ——. AB AC Do dó DE AB (1) DC AC Mặt khác vì AD là dường phàn giác nên pB _ AB DC ” AC (2) Từ (1 ) và (2) suy ra = -Ẹ|. do dó DE = DB. DC DC Vì M\ // BC nôn Â| = Bi : À2 = Cl Mật khác B| =C| nôn A| = A2 AM AB Vì AM.AA = AB2 nên = ÍVỈ AB AN AM _ AB ,3, lừ dó —77 = - --- (2) AC AN Từ (1) và (2) suy ra AABM 00 AANC (c.g.c). AAÍ1B vàACHAcó: I1C HA 3 Vậy AAHB 00 ACHA (c.g.c). Suy ra B = HAC. (1) N Mặt khác B + HAB = 90° nên HAC+HAB = 90°. Do dó BAC = 90°. Vậy AABC vuông tại A. a) AABD và ACEDcó Â| = Cl ^=ÍÂJ ; Di =Ô2 (đối dính). Vậy AABDcxd ACED (g.g) (1) A Suy ra B = E. Từ đó có AABD co AAEC (g.g) (2) AC AE => AB.AC = AD.AE (?) AD db I ừ ( 1) suy ra CD DE => DB.DC = AD.DE. (4) Trừ từng vố các đãng thức (3) và (4) ta dược : AB.AC - DB.DC = AD.AE - AD.DE = AD.(AE - DE) = AD2. Nhận xét : Cáu ai là câu chuẩn hị cho cáu b). \ếu dồ bài không cho vẽ lia Cx cho cho BCx = — A thì ta vần phái tự vẽ dường phụ như vậy. 5. aj AAEM và ADCM có AEM = DCM (= 60°) ; AME=DMC (dối dinh.). Vạy AAEM oo ADCM (g.g). b) Ta có MA VII) \ib m 1A do dó MC MA ME MD MC ' Mặt khác AMD - EMC (dôi dinh). Suyra AAMDoo \E.MC (c.g.c). (I) c) Chứng minh tương tư ta dược \A\D eo AE\B. (2) Từ ( I ) su\ ra CE.M = DAM ; Từ (2) suy ra BEN - DAN. Do dó CEM + BẼN DAA1 + DÂN' = 60°. Ta có CEF + BFE = b()° -r 60° + 60° = I S()°. Suy ra CE // BE' (vì có cập góc trong cùng phía bù nhau).