Giải toán 8 Bài 8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

§8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỔNG DẠNG
CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. Tóm tốt kiến thức
Các trường hựp đồng dạng của tam giác vuông
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng (g.g).
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tí lệ với hai cạnh góc vuông cúa tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng (c.g.c).
ị - Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này ti lệ ' với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó dồng dạng.
Giá thiết
A' = Â = 90° ;	ủ'
B'C’ A'B'	/
BC ” AB	B’
A
C' /
Kết luận
AA'B’C co AABC
B
c
2. Tỉ sỏ hai đường cao của hai tam giác đổng dạng
Ti số hai đường cao tương ứng cúa hai tam giác đồng dạng bằng ti số đồng dạng.
3. Ti sô diện tích của hai tam giác đồng dạng
Tí số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương ti số đồng dạng.
s
Ncu AA'B'C GO AABC theo ti số đồng dạng k thì gVB( = k2.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD với các độ dài ghi trên hình vẽ.
Chứng minh rằng ABM = DMC ;
Tính dợ dài BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
8A-Để học..Toán 8/2
Giải:
a) AABM và AD.MC có : Â = D (= 90°); MB _ AM '2)
MC ~ DC C 3/
Vậy AABM GO ADMC (cạnh huyền, cạnh góc vuông). Suy ra ABM = DMC.
b) Xét AABM vuông tại A có : ABM + AMB = 90°.
Do dó DMC + ẤMB = 90° dẩn tới BMC = 90°.
Vậy AMBC vuông tại M.
Áp dụng định lí Py-ta-go ta dược :
BC = VmB2 + MC2 = 7? + 7,52 = 9,0.
Ví dụ 2.
Nhận xét : Nhờ có câu a) mà ta chứng minh được AMBC vuông. Đè chứng minh hai góc bàng nhau, ngoài phương pháp tam giác bằng nhau ta còn dùng phương pháp đổng dạng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu cúa H trên AB và AC. a) Chứng minh rằng AAEF co AACB ;
diện tích của tam giác AEF.
b) Cho biết BC = 15; AH = 6, tí Giải: a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật ncn Ei = A|.
Mật khác C = A| (cùng phụ với B) do đó El = C.
Suy ra AAEF co AACB (g.g).
b)
SAEF = f EFV _í AH f-í 6 f - 4 SACB \ CB y L CB J I15J 25'
Ta có SABC = ~ BC.AH = 2-. 15.6 = 45 (đvdt).
Vậy SAEF = Ề-45 = 7,2 (đvdt).
8B-Để học..Toán 8/2
cảnh báo! Nếu hai tam giác đồng dạng thì ti số hai đường trung tuyến, ti số hai đường phân giác, ti số hai đường cao tương ứng đều bằng ti sô' đồng dạng nhưng tỉ số hai diện tích không bằng ti số đồng dạng mà bằng bình phương tỉ số đổng dạng.
c. Hưóng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 46. Hướng dần: Trong hình có 4 tam giác vuông đồng dạng với nhau nên có thể viết được 6 cặp tam giác đồng dạng.
ADEF eo ABCF ; ADEF co ABEA ; ADEF eo ADCA ;
ABCF eo ABEA ; ABCF eo ADCA ; ABEA eo ADCA.
Bài 47. Giải; Tam gi.ác ABC là tam giác vuông (vì 52 = 32 + 42), có diện tích là
-7.3.4 = 6 (cm2).
2
AA'B’C’ eo AABC theo tí số đồng dạng k.
Ta có 4 BC = 4" = 9. Vậyk2 = 9=>k = 3.
Sabc 6
B
Độ dài các cạnh của AA'B'C' là : 9cm ; 12cm ; 15cm.
Bài 48. Giải: Gọi cột điện là AB, bóng của nó là AC. Gọi thanh sắt là A'B' và bóng của nó
là A'C'. Ta có B = B' (hai góc có cạnh tương ứng song song).
A'B' A'C'
B'
AA'B'C' eo AABC (g.g) suy ra —— =
AB AC
Do đó	=> X = 15,75 (m).
AB 4,5
Bài 49. Hướng dẫn: a) AABC eo AHBA eo AHAC (g.g)
Từ đó bạn viết thành ba cặp tam giác đồng dạng.
b) BC = s/aB2 + AC2 = 23,98 (cm).
U....AB AC	BC_ ,,
Ta có dãy ti so bans nhau —— = —- = —— = K.
HB HA BA Từ đó suy ra HB « 6,46cm ; HA« 10,64cm ; HC=^ 17,52cm.
Nhận xét : Bài toán cho tam giác vuông và dường cao AH. Nếu biết dộ dài cua hai đoạn thắng ta có thế tìm được độ dài các đoạn thẳng còn lại nhờ định lí Py-ta-go và tam giác đổng dạng.
Bài 50. Đớp số: 47,8m.
Bài 51. Giới: AHAB oo AHCA (g.g)
=>	~77 => AH2 = BH.CH => AH = 725.36 = 30 (cm).
CH AH
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có :
AB= 7252 +302 -39,1 (cm)
AC = 7362 +302 «46,9 (cm).
Chu vi của AABC là : 39,1 + 46,9 + 61 = 147 (cm).
Bài 52.
Diện tích cúa AABC là s = -^BC.AH = —61.30 = 915 (cm2). 2 2
Giiii: Xét AABC vuông tại A, dường cao AH, AB = 12cm, BC = 20cm. Ta phái tính HC. Dề dàng tính dược AC = 16cm.
4ABC CO AHAC(g.g)
20
16
AC BC	16
=> -7— = ——, từ đó -
HC = 12,8 (cm).
HC AC	HC
D. Bài tạp luyện thêm
Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 8cm, BC = 10cm. Trên nửa mặt phắng bờ BC không chứa A vẽ ABCM vuông tại c với BM = 12,5cm.
Chứng minh rằng BM // AC ;
Goi o là giao điểm của AM và BC. Tính tí sô' diên tích cúa tam giác
AOC và tam giác MOB.
Trong hình bên, tam giác ABC
vuông tại A và tứ giác EFGH là hình vuông. Biết BH = 2m ; CG = 8cm, tính dộ dài cạnh hình vuông.
3.
Cho tam giác ABC. AB - 3C2cm. Trên cạnh ,-\B lấy diêm M. Vẽ M\ // BC (X e AC). Xác dinh vị trí của diêm M đê diện tích AA.MN hãng diện tích cua hình thang MXCB.
//ướng dán - tìáp sô
a) AABC và AC.MB có :
AC B(
_ 4
CB - MB 5 Vậy AABCcx, ACMB(c.g.c), suy ra ABC = CMB, dần tứi BM //AC.
A = c = 90° và
b) AAOCcz> AMOB (g.g)
AOC
MOB
ÁHHB c/5 AGCF (g.g) => — = 7“.
GC FG
AC
MB
’,5
256
625'
, X '2	2
Goi canh hình vuông là X. ta có — = — => X = 16 => X = 4 (cm). ■	■	8 X
=> AM’ = 9 => AM = 3 tem).