Giải toán 8 Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA Ẩn ở mau
Kiên thức cần nhó
Tim diều kiện xác định (ĐKXĐ) cùa phương trình chứa ẩn ở mẩu là tìm các giá trị của an dè tất cá các mầu trong phương trình đềư khác 0.
Các bước giúi phương trình chứa tin ờ mầu:
+ Tun diều kiện xác dinh.
-r Quy dồng mầu và khử mẩu.
+ Giai phương trình vừa nhận dược.
+ Xem xét các giá trị cứa tin tìm được có ihoá mãn ĐKXĐ không và kết luận về nghiêm cùa phương trình.
Ví dụ giải toán
Ví du 1. Phương trình ——- = ———- có tâp nghiêm là:
2x-4	2.X-4
Chọn câu trá lời dứng. Giói: D.
Ví dụ 2. • Ghcp mỗi phương trình với nghiệm tương ứng
Phương trình
Nghiệm
1)
x-7
3x 3x-4
X2 + 2 X x +1
a) --
■16	x-4
b)
Ví dụ 3.
3x-2 x + 1 3) ±7	1-—7
d)
Giải
1) ghép với c);- 2) ghép với a);	3) ghép với b).
Chái các phương trình sau:
a) —	1	—• — -;
2-x	x-2 „x + 3
Gi ái
, x X3 -(x + 1) 7x -1 X b) ——,	77 = ' ỉ'	
(4x + 3)(x-5)	4,x + 3	x-5
a)
2 - X X - 2 X + 3 Điêu kiện xác đinh X 2; X -3 . Quy dồng mầu số và khu' mầu số:
2+x	3	1-x	-x-2
2-x X-2 x + 3	x-2 x-2 x + 3
 (-X +1 )(x+3) = (1 - x)(x - 2)
 (-X + l)(x +3)-(-x + l)(x -2) = 0
 (-X +1) (X + 3 - X + 2) = 0 (-X +1) (5) = 0
 X = 1.
Nghiệm cua phương trình là X = 1. x’-(x + l)’ 7x-l X
b)
(4x + 3)(x-5) 4x + 3	x-5
+ ĐKXĐ: X7^5 và X# --
6x + 1 = 0 (x -3)2 = 8»
(thoá mãn)
+ Quy đồng, khứ mẫu, thu gọn ta có phương trình x = 3-x/8
X-3 + VẼ
Vậy phương trình có tập nghiệm S=j3 + V8 ;3-x/Ẽ|;
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
2x2 +5x-12 2x2 +3x-9	2x2 +3x-9’
2x-
X-J
Lưu ý : Việc tìm điều kiện để mẫu số khác 0 phức tạp nên ta quy đồng, khử mẫu, thu gọn phương trình tìm giá trị của X, rồi lấy giá trị X làm mẫu số khác 0.
3x-4
2x2 + 5x-12 2x2+3x-9 2x2 +3x-9
=^(2x-3)(2x2+3x-9) + (x-1)(2x2+5x-12) = (3x-4)(2x2+5x-12) »4x3-27x + 27 = (2x-3)(2x2+5X-12)
 4x3 - 27x + 27 - 4x3 + 4x2 -39x + 36 4x2-12x+ 9 = 0 (2x-3)2 = 0 X = .
Thay X = — vào các mẫu số thấy mẫu số 2x +5x-12 bằng 0 nên
phương trình vô nghiệm.
* x 1	, Ị	9
x-2x + 2	x2-2x + 3	2,(x2-2x + 4)
X ,	,,11	9
t-1 t 2(t + l)
Đặt t = X - 2x + 3 ta có phương trình: ——- + - =
»2t(t + l) + 2(t-l)(t + l) = 9t(t-l)
t-1 t 2(t + l)
ĐKXĐ: t 0; t 1; t — 1 119
1 (thoả mãn).
«5r-llt + 2 = 0o(t-2)(5t-l) = 0«
Với t = 2 thì X" — 2x + 3 = 2 X” — 2x +1 = 0 X = 1.
,' ,	1	, „	14
5
5
Với t = 4 thì X2-2x + 3 = — X2-2x+—= 0
Vậy phương trình có nghiệm X = 1.
c. Hưóng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 27. Giíii
2x —5	.
	— = 3 .	Điếu kiện X - 5.
X + 5
 2x - 5 = 3(x + 5) «> 2x - 5-3x -15 = 0 -x = 20 o X = -20 (thoả mãn).
Tập nghiệm: s = {-20} .
x2-6	3
	= x + 4-.	Điều kiện x^o.
= 0 . Điều kiện X 3.
c)
 2^x2 -ó) = 2x2 +3x 2x2 -12 = 2x2 + 3x X = -4 (thoả mãn). Tập nghiệm: s = {-4} . íx2+2xj-(3x + 6)
X - 3
«(x2 + 2x)-(3x + 6) = 0 x(x + 2)-3(x + 2) = 0 (x + 2)(x-3) = 0x + 2 = 0
 X = -2 (vì X 3). Tập nghiệm: s = {-2} .
d)-
= 2x-l
9
Điều kiện X . ■	o
3x + 2
« 5 = (3x + 2)(2x -1) « 5 = 6x2 -3x,+ 4x - 2 « 6x2 + X - 7 = 0 OÓX2-6x + 7x-7 = ó 6x(x-l) +7(x-l) = 0 x-l = o
«(x-l)(6x + 7) = 0
6x + 7 = 0
7 (thoámãn).
âp nghiêm: s = - — :
1 6
Bài 28. G/í/7
2x-l	1
--—- + 1=—. Điếu kiên X 1.
X —1	X —1
 2x -1 + (X -1) = 1 3x = 3 X = 1 (loại). Tập nghiệm s = 0 .
—- +1 =	— . Điều kiên X + -1.
2x + 2	x + 1
o5x + 2(x + l) = -12
7x=-14
 X = -2 (thoá mãn).
Tập nghiệm s = J-2Ị .
1 2 1
X+ — = X +—y.	Điều kiện: X * 0.
X	X
Đặt t = X + — ta có phương trình:
X
t = -l t = 2
t = t2-2 t2 — t-2 = 0 t2 + t -2t-2 = 0.t(t +1)-2(t-F l) = 0 „z.	, Ft + 1=0
«.(t+i)(t-2)=0«r_‘
• Với t = -1 ta có :
x + —= -lx2 + l=-xx2+x + l = 0i X + —ì +4 = 0.
X	l 2)	4
Phương trình vô nghiệm.
• Với t = 2 ta có :
X + — = 2x2+l = 2.\x2-2x + l = 0(x-l)2=0 X
 X = 1 (thoả mãn).
Tạp nghiệm: s = {1}.
, X + 3 X - 2	„	, ..	,
■' ■-■■ + -	= 2. Điều kiện X *-l.x 0.
X +1 X
« x(x + 3) + (x + l)(x-2) = 2x(x + l)
 X2 + 3x+X2-x-2 = 2x2+ 2x -2 = 0.
Phương trình vô nghiệm.
Bài 29. Hướng dun :
Cà hai lời giai đều sai vì không tính đến điều kiện xác định.
Bài 30. Đáp sô
a) Vố nghiêm; b) x = 4 ; c) Vô nghiệm;	d)x = -—.
56
Bài 31. Giúi
..X	1	3x2 _ 2x	,
a)	—	• Điếu kiện X?t-1.
X — 1 X -1 X2 + X +1 Khứ mẫu, rứt gọn được (x - l)(4x + 1) = 0.
Từ đó có tập nghiệm: s =
2	_	1
) (x-l)(x-2) + (x-3)(x-l) _(x-2)(x-3)
Điều kiện x + 1, X + 2, X + 3 .
 3(x-3)+ 2(x-2) = X-1 3x-9 +2x-4 = X -1
 4x = 12 x = 3 (loại).
Phương trình vô nghiệm.
1 12
 1 H	—— = —-—7 .	Điểu kiện x^-2.
x + 2	8-x3
Khứ mẩu, rút gọn được x(x - 1 )(x + 2) = 0. Do X = -2 (loại) nên tập nghiệm : s = {0:1}.
13	+	1	=	6
(x-3)(2x + 7) + 2x + 7	(x-3)(x + 3)
„	7
Điéu kiện: X -3:x :x 3 .
2
13(x + 3) + (x-3)(x + 3) = 6(2x + 7)
 13x+ 39 + X2-9 = 12x+ 42 X2+X-12 = 0
(x + 4)(.\-3) = 0 Tập nghiệm: s = {-4} .
x +4 = 0 x-3 = 0
x = -4 x = 3 (loại).
Bài 32. ĐỚ/? .sơ; a) x =; b)x = -l.
Bài 33. Giải
3a-l a-3
a)
3a + 1 a + 3
Điều kiên: a :a + -3 J
(3a-l)(a + 3) + (3a + l)(a-3) = 2(a + 3)(3a + l)'
 3a2 +8a-3 + 3a2 -8a-3 = 6a2 + 20a + 6
-20a = 12 o a = ~4 (thoả mãn).
5
Vậy a =
5
, , 10 3a —1 7a + 2	„
b) —	— 	—- = 2.	Điêu kiện: a * -3
4a + 12 6a + 18
 10.4(a+ 3)-3(3a-l)-2(7a + 2) = 2.12(a+ 3)
 40a +120-9a + 3- 14a-4 = 24a + 72
47 . , ,
 -7a = -47 o a = —- (thoủ mãn). 7
Vậy a =
47
D. Bài tạp luyện thêm
Giái các phương trình sau:
2 + 2x
x-5
X +3 X —2 5x + 25
777 + 777 = 77, , —7 ’ x-1 X + 5 X +4x -5
Giải các phương trình sau:
1 2
a ) 7 Ã	7 "l—?—	7	7
X -4x + 5 X — 4x + 6 X -4x + 7
4x	2x	X
2x -3x + 6	2X-3X + 7	2x2-3x + 6
Giái phương trình
1	2	3	3
x2-5x + 6	x2-7x + 12	x2-9x + 20	x2-11x + 30
H ướng dẩn - Đáp sô
1. a) Điểu kiện X 1; X '*■ -5
Quy đổng mẫu số và khứ mẫu số:
x + 3 , x-2 5x + 25
+ ——— — —--■■■■■	-
x-1 x + 5 X +4x —5
x = -2 X = 2.
(x + 3)(x + 5) + (x-2)(x-l) = 5x + 25 2x2 = 8«
Vậy phương trình có hai nghiệm X = -2; X = 2.
Điều kiện X -6; X * 5
Quy đồng mầu số và khứ mẫu số:
X - 3 X +1	2 + 2x
	 	7" —	
X - 5	x+6	x-5
(x-3)(x + 6) + (x + l)(x-5) = (2 + 2x)(x + 6)
 X2 +3x -18 + X2 -4x-5 = 2x2 +14x + 12 15x = -35 « X =
Vậy phương trình có nghiệm X = -2- .
3
12	3
a) 	 	 - 	 ;
X	-4x	+ 5	X	-4x + 6	X	-4x +	7
2	,	r	.	1	2	3
Đặt t = X	- 4x + 5	la	có phương trình:	- + —- = ——
t	t+1	t+2
ĐKXĐ: t^O; t*-2; t^-l.Ta có:
12	3
- +—- = —— t tri t + 2
(t + l)(t + 2) + 2t(t + 2) = 3t(t + l)
 t2 +3t+ 2 + 2t2 +4t = 3t2 + 3t t =
Với t = -ị =>x2-4x + 5 = -ị 2 2
 2x2 -8x + 11 = 0 2(x-2)2 +3 = 0, vô nghiệm.
, ' 4x	2x	X
2x-3x + 6	2x2-3x + 7	2x2-3x + 6
 4x^2x2 -3x + 7j + 2x^2x2 -3x + ó) = X^2x2 -3x + 7)
» x(Sx2-12x + 28 + 4x2-6x + 12-2x2+3x-7) = 0 x(10x2-15x+33) = 0
 X
.ofx-iUB
4;	8
Tập nghiệm: s = {0}.
= 0 X = 0.
1	2	3	1	3	_ _1_
x2-5.x + 6 X2 -7x +12 ' X2-9x + 20 ' x2-11x + 30_8
1 1 1 1 _ 2 (x-2)(x-3) + (x-3)(x-4) + (x-4)(x-5) + (x-5)(x-6) “8
Điều kiện: X Ể{2;3;4;5:6}.
(x-2)(x-3)	x-3	x-2;
1	1	Ị_
(x-3)(x-4) - x-4 x-3;
1 1	1
(x-4)(x-5)	x-5	x-4'
1	1	Ị_
(x-5)(x -6) X - 6	x-5
= i»8(x-2)-8(x-6) = (x-2)(x-6)
Do đó ta có phương trình tương đương
X - 6 X - 2	8
« X2-8x - 20 = 0 X2 - lOx + 2x - 20 = 0
x = 10
• (x + 2)(.x -10) = 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm X = -2;x = 10 .