Giải bài tập Toán 8 §2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

§2. ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYET
?1
Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm.
Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC điểm C' sao cho AB' = 2cm; AC' = 3cm (hình bên).
So sánh các tỉ sô —— và ——
AB AC
Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C".
Tính độ dài đoạn thẳng AC".
Có nhận xét gì về C' và C" và về hai đường thẳng BC và B'C' ?
Hướng dẫn
1.
2.
AB’ AC'
AB ■ AC ■
a) Theo định lí Ta-lét, ta có :
AC" AB’
?2
AC.AB'_ 9.2 _ 3
AC AB	AB 6	■
b) Nhận xét : C' và C" trùng nhau, hai đường thẳng BC và B'C' song song.
Quan sát hình bên.
Trong hình đã cho có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau ?
Tứ giác BDEF là hình gì ?
AD AE DE
So sánh các tỉ số —; ——; —— và cho nhận xét về mối liên hệ giữa
AB AC BC
các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác ADE và ABC.
Hướng dẫn
Các cặp đường thẳng song song với nhau là : AB // EF; BC // DE.
Tứ giác BDEF là hình bình hành.
Nhận xét : Các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác ADE và ABC tỉ lệ với nhau.
?3
Tính độ dài X của các đoạn thẳng trong hình sau.
a)
b)
c)
Hướng dẫn
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
AD	DE	AD.BC	2.5	20
AB	BC	AB	6,5	13
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
OP	PQ	_	ON.PQ	2.5,2	52
ON	NM	NM	3	15
Theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có : -
OF	CF	_	_ OE.CF	3.3,5	n c
““ =	=> OF =	= —-Ị— = 3,5.
OE BE	BE 3
Vậy
Vậy
20
13
52
15
Vậy X = 3,5.
GIẢI BÀI TẬP
6~| Tìm các cặp đường thẳng song song trong các hình sau và giải thích vì
Giải
a)
Ta có :
CM _ 15 _3 CN 21 3
MA “ 5	’ NB “ 7 “
nên
CM
AM
CN
NB
b)
Do đó :
Ta có :
MN // AB.
OA’ 2 .
A’A ” 3 ’
OB' 3	2
B'B - 4,5 ” 3
nên
OA'
A'A
OB'
B'B
Do đó :
A'B' // AB và A"B" // A'B' (do
A' = A" và ở vị trí so le trong)
Tính các độ dài X, y trong hình dưới.
a)
b)
Giải
Ta có : DE = DM + ME = 9,5 + 28 = 37,5
Do MN // EF, theo hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
DM MN _	9,5	8	_	8.37,5
DE EF	37,5 X ”	9,5
A'B’ 1 AA' (ÓÃB' = 90°); AB 1 AA' (ỐÃB = 90°)
« 31,58.
Ta có :
A’B' // AB
nên
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
OA _ A'B'	3 _ 4,2
OA - AB	6 X
Vì OB2 = OA2 + AB2 = 62 + 8,42 = 106,56 => y = OB « 10,32.
a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình bên.
Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau ?
b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau ?
Giải
a)
Cách làm :
Kẻ đường thẳng a // AB
Từ điểm p bất kì trên a, đặt liên tiếp các đoạn thẳng bằng nhau :
PE = EF = FQ = 1 (đơn vị)
Vẽ đường thẳng PB, QA cắt nhau tại 0
Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại D, c.
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
PE EF FQ
BD - CD - CA
đều bằng hoặc
OB OA
b)
Do PE = EF = FQ nên BD = CD = CA.
Chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau cách làm tương tự như câu a (hình bên).
Cách khác :
p 1 1 1 1 1Q
Vẽ tia Ax, đặt liên tiếp trên Ax 5 đoạn thẳng bằng nhau :
AC = CD = DE = EF = FG
Kẻ đường thẳng GB.
Từ c, D, E, F kẻ các đường thẳng song song với GB, các đường thẳng này lần lượt cắt AB tại M, N, p, Q.
Ta được AM = MN = NP = PQ = QB (sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác và trong hình thang).
Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
Giải
Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến cạnh AC (DH 1 AC, BK 1 AC).
Ta có DH // BK
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
DH _ AD _ AD	_ 13,5	= 13,5 = 3
BK - AB “ AD + DB ~ 13,5 + 4,5 " 18 - 4
LUYỆN TẬP
10
Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt
các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' và H'
a) Chứng minh rằng :
AH'
AH
B'C'
BC ■
(hình bên).
Áp dụng : Cho biết AH' = 4 AH và diện tích
3
tam giác ABC là 67,5cm2. Tính diện tích tam giác AB'C.
Giải
Do B'C' // BC nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
AH' _ B'H’ _ H'C' _ B’H'+ H'C' _ B'C' AH - BH - HC ■ BH + HC ■ BC
, .	_	,, ,a,	AH' 1	 B'C’	1
Từ	giả	thiết	—— = —	suy ra —— = —
AH 3	BC 3
Gọi s và S' lần lượt là diện tích AABC và AAB'C, ta có :
g, _ —AH'.B'C' _ AH. B.c. _ / aha2 _ Ịn2 _ 1 s~ IaHBC - AH-BC <AhJ "UJ ~9 2
Suy ra : S' = ịs = ị.67,5 = 7,5 (cm2).
9	9
B	H c
11 Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (hình bên).
Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2.
Giải
a) Do MN // BC, ta có :
5 (cm)
= 10 (cm).
MN	AK	1	BC	15
BC	AH	3	3	3
EF	AI	2	_	2BC	2.15
BC	AH	3	3	3
b)
Gọi s, S1, s2 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, AMN, AEF. Áp dụng bài tập 10, câu b, ta có :
|2=-
'	9
Sị
s
AK
AH
S1 = ịs
9
12
13
AI ?
AHj
2f 4
3) 9
s2=ís
Diện tích tứ giác MNFE là :
Smnfe = S2 - S1 = ịs - ịs = |s = ịs = ị.270 = 90 (cm2).
9	9	9	3	3
Có thể đo được chiều rộng của một con sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không ?
Người ta tiến hành đo đạc các yếu tô' hình học cần thiết để tính chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia 	 'ị
(hình bên). Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả —_	x'
những công việc cần làm và tính khoảng — cách AB = X theo BC = a, B'C' = a', BB' = h.
Giải
" B
h
B'
“1 \
a’
Các công việc phải làm :
Xác định ba điểm A, B, B' thẳng hàng.
Từ B, B' vẽ BC vuông góc AB, B’C' vuông góc AB' sao cho A, c, C’ thẳng hàng.
Đo các khoảng cách BB’ = h, BC = a, B'C' = a', ta có :
X a
X + h a'
AB BC a_
a'
B’C’
xa' = xa + ah
x(a' - a) = ah
Tính được AB = X = —EÌL
a'- a
Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không ?
Hình dưới thê hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm :
Hai cọc thẳng đứng (cọc (1) cố định; cọc (2) có thể di động được) và sợi dây FC. Cọc (1) có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.
Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào ?
Tính chiều cao AB theo h, a, b.
Xác định điểm c trên mặt đất :
+ Cắm cọc (1) cô' định vuông góc mặt đất. Cọc (1) có chiều cao h.
+ Điều chỉnh cọc (2) sao cho hai đầu cọc F, K và điểm A thẳng hàng.
+ Xác định điểm c trên mặt đất bằng cách dùng dây hay thước căng thẳng theo đường thẳng FK cho đến khi chạm đất, lúc đó F, K, c thẳng hàng.
Đo các đoạn thẳng BC = a, DC = b (trong đó D, E là chân các cọc thẳng hàng với BC).
b) Theo định lí Ta-lét, ta có :
A Tì ah => AB = -7- .
b
DK _ CD	h b
AB ” CB	AB ~ a
14
Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo).
Dựng đoạn thẳng có độ dài X sao cho :
x X „	, X 2	m n
a) — = 2	b) — = -7	c) — = - .
m	n 3	X p
Hướng dẫn : Câu b)
Vẽ hai tia Ox, Oy.
Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.
Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB' = n và xác định điểm A’ sao cho
OA _ OA'
OB ■ OB' ■
- Từ đó ta có OA' = X.
Giải
à) Cócli 1 : Trên đường thẳng a dựng hai đoạn thẳng liên tiếp AB = BC = m, ta được đoạn thẳng X = AC = 2m => — = 2.
m
m Ệ
e	n	e	'	t	t	a
, p 1	A	B	c
Cách 2 :
Vẽ góc xOy.
Trên tia Ox, đặt các đoạn thẳng OA = AB = 1 (đơn vị).
Trên tia Oy, đặt đoạn thẳng OM = m.
Nối AM.
Kẻ đường thẳng qua B song song AM cắt Oy tại N.
Ta có : ON = X = 2m => — = 2
m
Thật vậy í Do AM // BN nên áp dụng định lí Ta-lét, ta có :
ON _ OB _ OA + AB _ 1 + 1 _ OM " OA - OA 1
=> ON = 2OM => X = 2m =>	— = 2.
m
- Vẽ hai tia Ox, Oy.
Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 (đơn vị),
OB = 3 (đơn vị).	O'x
Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OM = n.
Từ A kẻ đường thẳng song song BM cắt Oy tại N,
ta có ON = X.	'y-
Thật vậy : Do AN // BM nên áp dụng định lí Ta-lét, ta có :
OM	OB 3	n	3	.	X
—— =	TTT- = —	=>	—	-	—	hay	—
ON	OA 2	X	2	11
- Vẽ hai tia Ox, Oy.
Trên tia Ox đặt liên tiếp các đoạn Q
OA = n, AB = p.
Trên tia Oy đặt đoạn thẳng oc = m.
Nối AC.
- Kè qua B đường thẳng song song AC cắt Oy tại D, ta có CD = X. Thật 'ây : Do AC // BD nên áp dụng định lí Ta-lét, ta có :
OA oc n m
AB = CD