Giải bài tập Toán 8 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
GIẢI BÀI TẬP
56 Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau :
AB = 5cm, CD = 15cm
AB = 45dm, CD = 150cm	c) AB = 5CD.
Giải
CD 150
Chọn CD làm đơn vị đo, ta có : AB = 5 (đơn vị đo). Ta có : ^1 = 1 = 5.
CD 1
57 Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.
Giải
B H D M	c
Với AB < AC, khi vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM của AABC (H, D, M thuộc BC) ta luôn có điểm D nằm giữa điểm H và M.
Chứng minh : Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :
DB _ AB .	_ . _
—— =	và AB < AC
DC AC
Suy ra : DB < DC DB + DC < DC + DC = 2DC
=> BC 2CM CM < DC
(1)
 B-C
—-	1	
2	2
Vậy điếm D nằm bên trái điểm M
Mặt khác :
CAH = 90° - C = + ị + ậì - C = 4 + 4 - I
B-C
2
2	2 2	2	2 2
Vì AC > AB => B > c => B - C > 0 =>
„	_ Â , B-C Â
Do đó : CAH = -2- + ——— >
2	2	2
Vậy tia AD phải nằm giữa hai tia AH và AC nghĩa là điểm H phải nằm bên trái điểm D	(2)
Từ (1) và (2) ta có điểm D nằm giữa hai điểm H và M.
58
a)
tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK.
Chứng minh BK = CH.
Chứng minh KH // BC.
Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Hướng dẫn câu c) :
- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tính CH.
- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK. Giải
Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có :
Cạnh huyền BC chung
KBC = HCB (AABC cân tại A)
Do đó : ABKC = ACHB => BK = CH.
b) Ta CÓ : AB = AC (AABC cân tại A)
BK = CH
Suy ra : AB - BK = AC - CH => AK = AH
AK AH
Do đó : —A = —i => KH // BC (định lí Ta-lét đảo). AB AC
c)
Vẽ đường cao AI của AABC.
AIAC AHBC (hai tam giác vuông có C chung) nên : a
2 _
HC
a2
IC AC
HC " BC
AH = AC - HC = b - ■=-
2b
a
2b2 - a2
a2
HC = TT
2b
2b
Do KH // BC nên :
KH AH TZt_ AH.BC 2b2 - a2 a _ a3 BC AC	AC 2b b 2b2
59 Hình thang ABCD (AB // CD) CÓ AC và BD cắt nhau tại 0, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.
Giải
OK cắt AB và CD lần lượt tại M và N. Qua o kẻ đường thẳng song song với AB, CD. Đường thẳng này cắt AD và BC lần lượt tại E và F.
Ta có : OE = OF (xem bài tập 20)
Do AB // EF nên :
AM _ KM BM EO - KO ’ OF
o„„ . am
Suy ra : ——
EO
BM
OF
KM
KO
AM = BM
60
Chứng minh tương tự, ta có :
EO OF
DN CN
DN = CN.
Cho tam giác vuông ABC, A
= 90°, C = 30° và đường phân giác BD (D
thuộc cạnh AC).
AD
a) Tính tỉ sô' —— .
CD
b) Cho biết độ dài AB = 12,5cm, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Giải
a)
b)
	 TDp
AABC vuông tại A có ACB = 30° nên AB = —-
BD là đường phân giác của
BC
AD _ AB 2
DC ~ BC " BC “
Ta có : BC = 2AB = 2.12,5 = 25cm
AC2 = BC2 - AB2 = 252 - 12,52 = 468,75 => AC a 21,65cm
Gọi 2p và s lần lượt là chu vi và diện tích AABC, ta có :
2p = AB + AC + BC = 12,5 + 21,65 + 25 = 59,15cm. s = IaB.AC = ị .12,5.21,65 = 135,31cm2.
2	2
Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm, đường chéo BD =' lOcm.
Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên.
Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
Chứng minh rằng AB // CD.
Giải
Ta có thể vẽ tam giác BDC rồi vẽ tam giác ABD hoặc ngược lại. Cách làm như sau :
b)
Dựng đoạn CD = 25cm. Vẽ đường tròn (C, 20cm) và đường tròn (D, 10cm) các đường tròn cắt nhau tại B. Vẽ đường tròn (B, 4cm) và đường tròn (D, 8cm) các đường tròn này cắt nhau tại A. Tứ giác ABCD thỏa mãn đề bài.
Ghi chú : Mỗi lần vẽ hai đường tròn như nêu trên, chúng cắt nhau tại hai điểm. Trong hai giao điểm ta lây một giao điểm nào đó cũng được.
Xét các tam giác ABD và BDC, ta có :
AB 10 BD
BD	10 25 - CD
Suy ra :
AB
BD
AB
BD
4
10 '
AD BC
8 AD
20 “ BC ’
BD
' CD
A 4 B
Vậy AABD co ABDC (trường hợp đồng dạng thứ nhất),
Do AABD co ABDC nên ABD = BDC , suy ra AB // CD.