Giải bài tập Toán 8 §3. Thể tích của hình hộp chữ nhật
§3. THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 Quan sát hình hộp chữ nhật (hình bên) : A'A có vuông góc với AD hay không ? Vì sao ? AA có vuông góc với AB hay không ? Vì sao ? Hướng dẫn Ta có A’A vuông góc với AD vì chúng là hai cạnh kề của hình chữ nhật ADD A'.A'A cũng vuông góc với AD vì chúng cũng là hai cạnh kề của hình chữ nhât ABBA.'. ?2 Tìm trên hình ở ?1 các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). ơ hình trên : - Đường thẳng AB có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không ? Vì sao ? - Đường thẳng AB có vuông góc với mặt phẳng (ADDA') hay không ? Vì sao ? Hướng dẫn Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) là : AA', BB', CC' và DD. Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) vì mặt phẳng (ABCD) chứa đường thẳng AB. Đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (ADDA') vì đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ADDA') là AA' và AD. ?3 Tìm trên hình ở ?1 các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (A'B'C'D'). Hướng dẫn Các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (A'B'C'D') là : (ABB'A'), (BCCB'), (CDD'C) và (DAA'D'). 10 GIẢI BÀI TẬP 1. Gấp hình a theo các nét đà chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật hay không ? Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình b. b) 2. a) b) Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phẳng nào ? Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau, vì sao ? Giải 1. Ta được hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. 2. a) Ta có : BF 1 mp(EFGH), BF 1 mp(ABCD) b) Ta có : AD 1DC AD 1DH CD c mp(CGHD) DH c mp(CGHD) DC và DH cắt nhau => AD ± mp(CGHD) 11 a) Mà AD c mp(AEHD) Vậy : mp(AEHD) ± mp(CGHD). Tính các kích thước của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích của hình hộp này là 480cm3. Diện tích toàn phần của một hình lập phương là 486m2. Thể tích của nó là bao nhiêu ? Giải Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Giả sử a : b : c = 3 : 4 : 5 b c — = — => 4 5 4 5 b = —a và c = --a 3 3 Thể tích hình hộp chữ nhật là : V = abc = 480cm3 a.-^a.-ịa = 480 => ^-a3 = 480 => 3 3 9 Ta có : 3 Từ đó : a3~=216 20 a = 6cm Do đó : 4 b = -£•.6 = 8cm, 3 5 c - 7- .6 = 10cm 3 Vậy : a = 6cm, b = 8cm, c = 10cm. b) Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương. Diện tích toàn phần hình lập phương là 486m2 nên : 6.a2 = 486 => a2 = -^ = 81 => 6 12 Thể tích hình lập phương là : V = a3 = 93 = 729m3. A, B, c và D là những đỉnh của hình hộp chữ nhật cho ở hình dưới. Hãy điền số thích hợp vào các ô trông ớ bảng sau : AB 6 13 14 BC 15 16 34 CD 42 70 62 DA 45 75 75 Kết quả bài 12 minh họa công thức quan trọng sau : DA = ạ/aB2 + BC2 + CD2 . Giải Ta có : AB 1 mp(BCD) => AB 1 BD Cột 1 : Tính DA DB2 = BC2 + CD2 = 152 + 422 = 1989 DA2 = AB2 + DB2 = 62 + 1989 = 2025 => DA = 45 Nhận xét : DA2 = BC2 + CD2 + AB2 (*) => DA = VbC2 + CD2 + AB2 Cột 2 : Tính CD Từ (*), ta có : CD2 = DA2 - BC2 - AB2 = 452 - 162 - 132 = 1600 => CD = 40 Cột 3 : Tính BC Từ (*), ta có : BC2 = DA2 - CD2 - AB2 = 752 - 702 - 142 = 529 => BC = 23 Cột 4 : Tính AB Từ (*), ta có : AB2 = DA2 - BC2 - CD2 = 752 - 622 - 342 = 625 => AB = 25 Ta có bảng : AB 6 13 14 25 BC 15 16 23 34 CD 42 40 70 62 DA 45 45 75 75 a) Viết công thức tính thế tích của hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (hình dưới). b) Điền số thích hợp vào các ô trông ở bảng sau : Công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật : V = NP.PQ.CP. Ta có bảng : Chiều dài 22 18 15 20 Chiều rộng 14 5 11 13 Chiều cao 5 6 8 8 Diện tích một đáy 308 90 165 260 Thể tích 1540 540 1320 2080 Chiều dài 22 18 15 20 Chiều rộng 14 Chiều cao 5 6 8 Diện tích một đáy 90 260 Thể tích 1320 2080 Giải LUYỆN TẬP Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m. Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể 120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m. Tính chiều rộng của bể nước. Người ta đố thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét ? Giải a) Gọi a, b, c là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể. Thể tích của nước khi đổ vào bể 120 thùng nước : Vi = 120.20 = 2400 lít = 2,4m3. s = a.b = = 3m2. 0,8 Diện tích đáy bể là : b = l,5m. b) Chiều rộng của bể là : Thế tích của bể khi đổ thêm 60 thùng nước : V = abc = 180.20 = 3600 lít = 3,6m3 Ta có : abc = 3,6 a.b = 3 => 2.b = 3 2.1,5.C = 3,6 c = = 1,2m. 3 Một cái thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu của nước là 4dm. Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng Idm và chiều cao 0,5dm vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đêximét ? (Giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nước và chúng hút nước không đáng kể). Giải Thể tích tổng cộng của 25 viên gạch là : V = 2.1.0,5.25 = 25dm3. Diện tích đáy của thùng là : s = 72 = 49dm2 Chiều cao của mực nước dâng lên là : h = J = II » 0,51dm. s 49 Nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng là : 7 - (4 + 0,51) = 2,49dm. Thùng chứa của một xe chở hàng đông lạnh có dạng như hình dưới. Một số mặt là những hình chữ nhật, chẳng hạn (ABKI), (DCCD’), ... Quan sát hình và trả lời các câu hỏi sau : Những đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABKI) ? Những đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (DCCD') ? Mặt phẳng (A'D'C'B') có vuông góc với mặt phẳng (DCCD') hay không ? Giải Các đường thẳng A’B', B’C, CD', A'D', CD, DG, GH, HC song song với mp(ABKI). A'D', BG', AI, BK, DG và HC là các đường thẳng vuông góc với mp(DCC’D'). mp(A'D'C'B') ± mp(DCC'D') vì mp(A'D'C'B') chứa đường thẳng A'D’ vuông góc với hai đường thẳng giao nhau thuộc mp(DCC'D') là DD' và C'D'. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Kế tên các đường thẳng song song với mp(EFGH). Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào ? Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào ? Giải Các đường thẳng song song với mp(EFGH) là AB, BC, CD, AD. AB // inp(EFGH) vì AB // EF và EF năm trong mp(EFGH). AB // inp(CDHG) vì AB // DC và DC nằm trong mp (CDHG). Đường thẳng AD song song với các đường thẳng BC, EH, FG. Đố. Các kích thước của một hình hộp chữ nhật là 4cm, 3cm và 2cm. Một con kiến bò theo mặt của hình hộp đó từ Q đến p (hình bên). a) Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất ? b) Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu xentimét ? Giải Ta trái phẳng hình hộp chữ nhật như hình vẽ, ta có : PQ = Ve2 + 32 = 6,7cm PjQ = V42 + 52 « 6,4cm Như vậy, đoạn ngắn nhâ't là đoạn P|Q và độ dài đoạn ngắn nhất là 6,4cin. Vậy con kiến phái bò trên bề mặt cùa hộp từ Q đến P).