Giải bài tập Toán 8 Bài tập ôn cuối năm
BÀI TẬP ÔN cuối NĂM A. PHẦN ĐẠI SỐ I 1 I Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a2 - b2 - 4a + 4 b) X2 + 2x - 3 4x2y2 - (x2 + y2)2 d) 2a3 - 54b3. Giải a2 - b2 - 4a + 4 = (a2 - 4a + 4) - b2 = (a - 2)2 - b2 = (a + b - 2)(a - b - 2) X2 + 2x - 3 = (x2 + 2x + 1) - 4 = (x + l)2 - 22 = (x + 1 + 2)(x + 1-2) = (x + 3)(x - 1) 4x2y2 - (x2 + y2)2 = (2xy)2 - (x2 + y2)2 = (2xy + X2 + y2)(2xy - X2 - y2) = (x + y)2[-(x2 + y2 - 2xy)] = -(x + y)2.(x - y)2 2a3 - 54b3 = 2(a3 - 27b3) = 2[a3 - (3b)3] = 2(a - 3b)(a2 + 3ab + 9b2). [ 2 I a) Thực hiện phép chia : (2x4 - 4x3 + 5x2 + 2x - 3) : (2x2 - 1) Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của X. Giải _ 2x4 - 4x3 + 5x2 + 2x - 3 2x2 - 1 2x4 - X2 X2 - 2x + 3 4x3 + 6x2 + 2x - 3 0 Ta có : X2 - 2x + 3 = X2 - 2x + 1 + 2 = (x - l)2 + 2 Vì (x - l)2 > 0 nên (x - l)2 + 2 > 0 với mọi X e R. 3 Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai sô' lẻ bâ't kì thì chia hết cho 8. Giải Gọi 2a + 1 và 2b + 1 (a, b e Z) là hai sô' lẻ bâ't kì Ta có : (2a + l)2 - (2b + l)2 = 4a2 + 4a + 1 - 4b2 - 4b - 1 = 4a(a + 1) - 4b(b + 1) Ta có a(a + 1) là tích hai sô' nguyên liên tiếp, tích này chia hết cho 2. Tương tự, b(b + 1) chia hết cho 2. Vậy : (2a + l)2 - (2b + l)2 là bội sô' của 8. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại X = - : [_(x-3) 6 X - 3 i2 + X2 - 9 (x + 3)2 24x2 12 X4 - 81 X2 + 9 .(X - 3)2 (X - 3)(X + 3) (x + 3)2 J 24x2 - 12(x2 - 9) (x2 - 9)(x2 + 9) (x + 3)3 - (x - 3)3 + 6(x - 3)(x + 3) (x-3)2(x + 3)2 1 24x2 - 12x2 +108 (x2 - 9)(x2 + 9) (x + 3 - X + 3)(x2 + 6x + 9 + X2 - 9 + X2 - 6x + 9) + 6(x2 - 9) (x2 - 9)2 12x2 + 108 : (X2 - 9)(x2 +9) 6(3x2 + 9) + 6(x2 - 9) (X2 - 9)2 (X2 - 9)(x2 + 9) 12(x2 + 9) 2 6(3x2 + 9 + X2 - 9) 1 X2 -9 12 2x2 X2 -9 -9 Với X = -4, ta có : 3 2.1 9 1-9 9 2 9 80 9 80 40 Chứng minh rằng : a2 b2 c2 - 1_ 1 a+b b+c c+a b2 c2 a2 - ị- - 1 a+b b+c c+a Giải Ta có : a2 b2 c2 b2 c2 a2 — 4- 4 - a+b b+c c+a a+b b+c c+a 2 u2 12 „2 J2 „2 a - b b - c c — a 1—' I a+b b+c c+a (a-b)(a + b) (b-c)(b + c) (c-a)(c + a) - 1 - 4 a+b b+c c+a = a-b+b-c+c-a=o _2 l.2 _2 a b c 7" + 1 + —■— a+b b+c c+a b2 c2 a2 ĩ ĩ * * a+b b+c c+a X + 3 6 X - 3 1 . f 24x2 12 ì _(x-3)2 ' X2 -9 (X + 3)2. ^x4-81 X2 + 9 J Giải Tìm các giá trị nguyên của X để phân thức M có giá trị là một số nguyên : 10x2-7x-5 M = ——-—-7 . 2x - 3 Giải Thực hiện phép chia đa thức : 10x2 - 7x - 5 2x - 3 10x2 - 15x 5x 4- 4 8x - 5 8x - 12 7 „ -X . w _ 10x2 - 7x - 5 . . . 7 Ta CÓ : M = ———— = 5x 4- 4 4 — 2x - 3 2x - 3 Với X G Z, để phân thức M có giá trị là số nguyên thì 2x - 3 phải là các ước sô' của 7. Ta có : 2x - 3 = -1 X = 1 ; 2x - 3 = 1 X = 2 2x - 3 = -7 X = -2 ; 2x - 3 = 7 o X = 5. Vậy các giá trị nguyên cần tìm của X là : -2, 1, 2, 5. 7~| Giải các phương trình : . 4x + 3 6x - 2 5x4-4 „ 3(2x -1) 3x +1 , 2(3x + 2) 5.73 4 10 5 , X + 2 3(2x - 1) 5x - 3 5 — + -- = X + —- . 3 4 6 12 Giải , 4x + 3 6x - 2 5x4-4 „ 5 7 3 21(4x + 3) - 15(6x - 2) = 35(5x + 4) + 3.105 o 84x + 63 - 90x + 30 = 175x + 140 + 315 -6x - 175x = 455 - 93 -181x = 362 o X = -2. Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (-21. 3(2x-l) 3x4-1 , 2(3x4-21 b) —-— 4-1 = —— 10 5 15(2x - 1) - 2(3x 4- 1) 4- 20 = 8(3x 4- 2) 30x - 15 - 6x - 2 4- 20 = 24x 4- 16 24x - 24x = 16 - 3 Ox = 13 Phương trình vô nghiệm. , X 4- 2 3(2x -1) 5x - 3 5 c) —-— 4- — = X 4- — 3 4 6 12 4(x 4- 2) 4- 9(2x - 1) - 2(5x - 3) = 12x 4- 5 4x 4- 8 4- 18x - 9 - lOx 4- 6 = 12x 4- 5 a) b) 12x + 5 = 12x + 5 o Ox = 0 Phương trình có vô số nghiệm (x e R). Giải các phương trình : a) I 2x - 3 I = 4 12x - 3 I =4 b) |3x - 11 - X = 2. Giải 2x - 3 = 4 hoặc 2x - 3 = -4 X = — hoặc X = 2 2 Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = I 3x - 11 - X = 2 11 2’ 2 Nếu 3x - 1 > 0 hay X > ỉ thì ta có phương trình : 3 3x - 1 - X = 2 2x = 3 X = — (nhận) 2 X = -Ậ (nhận) 4 /--• -Ị I 4’ 2] ■ Giải phương trình : 98 : + 4 x+6 x+8 96~ = “94 Giải X + 8 92 98 X + 2 98 96 94 X + 4 96 92 ố X + 6 = l 94 x + 8 92 x + 100 x + 100 x + 100 X +100 Nếu 3x - 1 < 0 hay X < ỉ thì ta có phương trình : 3 -3x + 1 - X = 2 Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 98 96 94 92 (x+ 100) I -ỉ- + - -i- - -7- 98 96 94 92 Tập nghiêm của phương trình đã cho là s = (-1001. Giải các phương trình : 15 15 a) x + 1 X - 2 (x + 1)(2 - x) , . X - 1 X 5x - 2 b) -—£ —- = ——- . X + 2 X - 2 4-x2 10 Giải ĐKXĐ : X * -1, X * 2. ,15 15 - —r —z = - 7~~ - x + 1 x-2 (x + l)(2-x) Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được : X - 2 - 5(x + 1) = -15 X - 2 - 5x - 5 = -15 -4x = -8 X = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ) Phương trình đã cho vô nghiệm. ĐKXĐ : X * ±2. x-1 X 5x-2 x-1 X 2-5x —- —- = —-—o —— -— = —— X + 2 X - 2 4 - X2 X + 2 X - 2 (x- 2)(x + 2) Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được : (x - l)(x - 2) - x(x + 2) = 2 - 5x X2 - 2x - X + 2 - X2 - 2x = 2 - 5x -5x + 5x = 2- 2 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm X * ±2. 11 Giải các phương trình : a) 3x2 + 2x - 1 = 0 b) i4+£zỉ=3Ị. X - 2 X - 4 5 Giải a) 3x2 + 2x - 1 = 0 3x2 + 3x-x-l = 0 (x + l)(3x - 1) = 0 X + 1 = 0 hoặc 3x-l = 0 X = -1 hoặc X = — 3 Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = j-1; I 31 b) x-3+x-2_gl X - 2 X -4 " 5 ĐKXĐ : X * 2, X * 4. Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được : 5(x - 3)(x - 4) + 5(x - 2)2 = 16(x - 2)(x - 4) 5(x2 - 4x - 3x + 12) + 5(x2 - 4x + 4) = 16(x2 - 4x - 2x + 8) 5x2 - 35x + 60 + 5x2 - 20x + 20 = 16x2 - 96x + 128 10x2 - 55x + 80 = 16x2 - 96x + 128 6x2 - 41x + 48 = 0 6x2 - 32x - 9x + 48 = 0 2x(3x - 16) - 3(3x - 16) = 0 o (3x - 16)(2x - 3) = 0 o 3x - 16 = 0 hoặc 2x - 3 = 0 16 3 ■o X = — hoặc X = — (thỏa mãn ĐKXĐ) !-• —Ị 12’ 3J 3 2 Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 12 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB. Giải ỌC} 1 20 phút = ^h = ịh 60 3 Gọi X (km) là độ dài quăng đường AB. Điều kiện X > 0. X 25 Thời gian đi từ B về A : x 30 Thời gian đi từ A đến B : 1 30 3 6x - 5x = 50 X Ta có phương trình : —• 25 o X = 50 (thỏa mãn điều kiện) 13 Vậy độ dài quãng đường AB là 50km. Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Nhưng nhờ tố chức lao động hợp lí nên thực tế đã sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó xí nghiệp đã sản xuất không những vượt mức dự định 255 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thời hạn. Hỏi thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày ? Giải Gọi X là sô' ngày sản xuâ't được rút ngắn so với kê' hoạch. Điều kiện : 0 < X < 30. = 50 sản phẩm Sô' sản phẩm dự định sản xuất trong một ngày : 1500 Sô' ngày thực tế sản xuất : (30 - x) ngày 14 1755 Sô' sản phẩm thực tê' sản xuất trong một ngày : — 1755 1755 Ta có phương trình : —— 50 = 15 ——— 30 - X 30 - X o 1755 = 65(30 - x) 1755 = sản phẩm = 65 1950 - 65x 65x = 195 X = 3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy sô' ngày sản xuất được rút ngắn so với kê' hoạch là 3 ngày. c 9. 10-x2^ : (x - 2) + " x + 2 Cho biểu thức : A = X 2 1 —n“" I" T I — X2 - 4 2 - X X + 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A biết IXI = —. 2 c) Tìm giá trị của X để A < 0. Giải a) A = f x + 2 , 1 ì lx2 -4 2 - X X + 2J 10-X2 ì (x - 2) + — T- X + 2 Điều kiện : X * ±2 X (x - 2)(x + 2) X2 - 4 + 10 - X2 X + 2 -6 X - 2(x + 2) + X - 2 (X - 2)(x + 2) -1 X-2X-4 + X- 2 (x - 2)(x + 2) X + 2 _(x - 2)(x + 2)J 6 x-2 2-x IXI = 4 X = i hoặc X = —i 2 2 „„ „ _ 1 5 . 1 1 2 2 2-133 2 2 • Với X = thì A = ——— = . 2 2+ỉ ỉ 5 2 2 A —— 2-x X > 2. 2-x 15 Giải bất phương trình ^4>1. X - 3 Giải x-1 X - 3 Điều kiện : X * 3 x-1 X - 3 X - 1 - X + 3 x-3 X > 3. B. PHẤN HÌNH HỌC Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết ba cạnh : AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5cm. Giải Cách dựng : - Dựng AADC với DC = 4cm, AD = 2cm, AC = 5cm. Dựng Ax // DC. Dựng đường tròn (C; 3cm) cắt Ax tại B. Nốì BC ta có hình thang ABCD phải dựng. I lcm I 1 1 1 1 Chứng minh : Tứ giác ABCD là hình thang (Ax // CD) có AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 5cm, BC = 3cm (B thuộc đường tròn (C; 3cm)). Bài toán có 2 nghiêm hình. I 2 I Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau ở o và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OD và BC. Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều. Giải Ta có : AB // CD (Tứ giác ABCD là hình thang) nên 54 = Si- mà OA = OB (AABO đều) oc OD Suy ra : oc = OD Mặt khác ODC = OBA = 60° (so le trong và AB // CD) Vậy AOCD đều có CF là đường trung tuyến nên : BFC = 90° CF 1 OD hay BEC = 90° OA = OB (AAOB đều) OD = oc (chứng minh trên) AOD = BOC (đối đỉnh) Do đó AAOD = ABOC (c.g.c) suy ra AD = BC EF là đường trung bình của AOAD nên EF = 4~ = 2 2 Tương tự : BE 1 AC hay Xét AAOD và ABOC có : BC FG là đường trung tuyến của tam giác vuông BFC nên FG = —— 2 EG là đường trung tuyến của tam giác vuông BEC nên EG = Từ đó : EF = FG = EG. Vậy tam giác EFG là tam giác đều. Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đuờr.g vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại c cắt nhau c K. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là : Hình thoi ? Hình chữ nhật ? Giải Ta có : BH 1 AC (giả thiết) CK ± AC (giả thiết) Suy ra : BH // CK Tương tự CH // BK (cùng vuông góc với AB) Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành. Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BHCK. BHCK là hình thoi « HM 1 BC Mặt khác do AH ± BC nên A, H, M phải thẳng hàng hay đường cao AH cũng đồng thời là đường trung tuyến của AABC. Vậy AABC cân tại A. BHCK là hình chữ nhật BH 1 HC Ta lại có : BE 1 HC Do đó H, D, E trùng nhau. Khi đó H, D, E cũng trùng với A. Vậy AABC vuông tại A. T~Ị Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để tứ giác MENK là : a) Hình thoi ? b) Hình chữ nhật ? Giải c) Hình vuông ? a) (M là trung điểm AB) AR Ta có : AM = MB = -A- 2 CD CN = ND = ~ (N là trung điểm CD) 2 AB = CD (Tứ giác ABCD là hình bình hành)Suy ra : AM = MB = CN = ND. Tứ giác AMCN có AM // CN và AM = CN nên là hình bình hành, do đó AN // CM. Tương tự, tứ giác DMBN là hình bình hành nên DM // BN. Từ đó suy ra tứ giác MENK là hình bình hành. MENK là hình thoi MN 1 EK (1) Mặt khác, các tứ giác AMND, BMNC là hình bình hành nên E, K lần lượt là trung điểm AN, BN. Do đó : EK // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (2) Mà MN // AD (3) Từ (1), (2) và (3), ta có : AB 1 AD hay BAD = 90° Vậy MENK là hình thoi ABCD là hình chữ nhật. b) MENK là hình chữ nhật » EMK = 90° Lúc đó, ADMC vuông tại M có MN là đường trung tuyến nên : CD CD MN = — mà MN = AD suy ra AD = -i=- 2 CD MENK là hình chữ nhật ABCD có AD = -4- 2 c) MENK là hình vuông MENK vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật CD ABCD là hình chữ nhật có AD = —— . 2 Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AA' và BB' cắt nhau ở G. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng diện tích tam giác GBC bằng s. Giải A'G 1 G là trọng tâm AABC nên —— = — A'A 3 Kẻ AH ± BC, GK ± BC, ta có : GK // AH c„„ ™. GK Suy ra : —— AH A'G _ 1 = A’A “ 3 ỈAH.BC 2 ỈGK.BC 2 Sạbc Sgbc ^=3 GK Vậy : Sabc = 3Sgbc = 3S. Cho tam giác ABC và đường trung tuyến BM. Trên đoạn thẳng BM lấy BD 1 điểm D sao cho —— = 4. Tia AD cắt BC ở K. Tìm tỉ số diện tích của DM 2 tam giác ABK và tam giác ABC. Giải A/TT? // AV A- BK BD 1 Kẻ ME // AK, ta có : —— = —— = — => KE DM 2 Do ME là đường trung bình của AACK nên : CE = KE = 2BK Ta có : BC = BK + KE + EC = 5BK BK 1 BC - 5 Q ịAH.BK „„ Kẻ AH 1 BC. Ta có : SABC 1 AH.BC BC 2 Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh BD = CE. Giải B K M c AK là phân giác của BAC nên : KB KC AB " AC Do MD // AK nên AABK co ADBM và AECM co AACK, do đó : Từ (1) và (2), ta có : KB BM _ x CM KC AB BD CE AC —77 = —— mà BM = CM (M là trung điểm BC) BD CE Vậy : BD = CE. Trên hình dưới cho ta thấy có thể xác định chiều rộng BB' của khúc sông bằng cách xét hai tam giác đồng dạng ABC và AB’C. Hãy tính BB' nếu AC = 100m, AC' = 32m, AB' = 34m. Giải AABC co aAB'C nên : AB _ AC AB _ 100 AB' - AC 3? - ~32 AB = 10°-3-4 = 106,25m. 32 9~| Cho tam giác ABC CÓ AB AB2 = AC.AD. Giải Chứng minh ABD = ACB => AB2 = AC.AD A AABD và AACB có : Â chung / ABD = ACB / \p Nên AABD aACB => 45 = 4? X AC AB B^— => AB2 = AC.AD Chứng minh AB2 = AC.AD => ABD = ACB Ta có : AB2 = AC.AD => = 4B và Â chung AC AB Nên AABD co AACB (c.g.c) => ABD = ACB Vậy : ABD = ẤCB o AB2 = AC.AD. 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B’C'D’ có AB = 12cm, AD = 16cm, AA' = 25cm. Chứng minh các tứ giác ACCA', BDD'B' là các hình chữ nhật. Chứng minh : AC'2 = AB2 + AD2 + AA2. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật. Giải a) Ta có : AA' // DD' và AA’ = DD' (tứ giác ADD'A' là hình chữ nhật) cc // DD’ và CC' = DD' (tứ giác CDD’C là hình chữ nhật) Suy ra : AA’ // CC' và AA' = CC' Vậy tứ giác ACCA’ là hình bình hành (1) Mặt khác, AA' 1 A’C’ (do AA' 1 mp(A’B'C'D')) hay ẤÃV = 90° (2) Từ (1) và (2), ta có tứ giác ACCA' là hình chữ nhật. Tương tự, tứ giác BDD'B' là hình chữ nhật. Ta có AC’2 = CC'2 + AC2 (AACC vuông tại A) Mà AC2 = AB2 + BC2 (AABC vuông tại B) BC = AD (tứ giác ABCD là hình chữ nhật) CC' = AA' (tứ giác ACCA’ là hình chữ nhật) 25 Vậy : AC2 = AA'2 + AB2 + AD2. Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật : Đ' stp = sxq + 2S = 2p.h + 2S = 2(AB + AD).AA' + 2AB.AD = 2(12 + 16).25 + 2.12.16 = 1400 + 384 = 1784cm2 Thể tích hình hộp chữ nhật : V = s.h = AB.AD.AA’ = 12.16.25 = 4800cm3. 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20cm, cạnh bên SA = 24cm. a) Tính chiều cao so rồi tính thể tích của hình chóp. b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. Giải a) Tam giác ABC vuông cân tại B. Theo định lí Pi-ta-go, ta có : AC2 = AB2 + BC2 = 202 + 202 = 202.2 = (20a/2)2 => AC = 20V2 A0= A£=2^ặ = lũựỉ 2 2 Tam giác SOA vuông tại 0. Theo định lí Pi-ta-go, ta có : SO2 = SA2 - OA2 = 242 - (I0V2 )2 = 376 => so « 19,4cm. Thể tích hình chóp đều : V = ịs.h = ị AB2.SO = ị ,202.19,4 » 2586,7cm3. 3 3 b) Gọi H là trung điểm BC. Tam giác SBC cân tại s có SH là đường trung tuyến cũng là đường cao, ta có : SH2 = SB2 - HB2 = 242 - 102 = 476 => SH » 21,8cm. Diện tích toàn phần hình chóp đều : • stp = Sxq + s = p.d + S = 2AB.SH + AB2 = 2.20.21,8 + 202 « 872 + 400 « 1272cm2.