Giải bài tập Toán 8 §7. Trường hợp đồng dạng thứ ba
§7. TRƯỜNG Hựp đồng dạng thứ ba BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYET ?1 A' D' M' hai tam giác A'B'C và D'E’F' đồng dạng với nhau vì có A' = D'; B' = E'. ?2 ơ hình bên cho biết : AB = 3cm; AC = 4,5cm và ABD = BCA. Trong hình vẽ này có bao nhiêu tam giác ? Có cặp tam giác nào đồng dạng với nhau không ? Hãy tính các độ dài X và y (AD = X, DC = y). Cho biết thêm BD là tia phân giác của góc B. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC và BD. Hướng dẫn a) b) c) Trong hình vẽ có ba tam giác, đó là ABC, ABD và BCD; hai tam giác ABC và ADB đồng dạng với nhau. ĂD Ạ"D q2 Vì AABC co AADB nên ta có tỉ số : —— = —— => AD = ——— = —- = 2. AB AC AC 4,5 Vậy X = 2cm; y = AC - X = 4,5 - 2 = 2,5 (cm) (DC = 2,5cm). Tính độ dài đoạn thẳng BD : Ta có : ABD = BCA (1) Vì BD là phân giác của ABC nên ABD = DBC (2) Từ (1) và (2) suy ra : DBC = BCA => ABDC cân tại c => BD = DC = 2,5cm Tính độ dài đoạn thẳng BC : .AHD AB BC _ AB.BD 3x2,5 AABC co aADB suy ra —— = —— => BC = ——— = — = 3,75 (cm). AD BD AD 2 GIẢI BÀI TẬP 35 Chứng minh rằng nếu tam giác A'B'C đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng k. Giải Giả sử AA'B'C co AABC với tỉ số đồng dạng k. 36 37 a) b) Xét hai tam giác A'B'D' và ABD, ta có : BÁT’ = BAD (do bTc = BAC) A'B'D' = ABD (do AA'B'C aABC) Vậy : AA'B'D' co a ABD (g.g) A’D’ A'B' Suy ra - ■ = k. AD AB Tính hình phân hình độ dài X của đoạn thẳng BD trong bên (làm tròn đến chữ số’ thập thứ nhất), biết rằng ABCD là thang (AB // CD); AB - 12,5cm; CD = 28,5cm; DAB = DBC . Giải Xét tam giác ABD và BDC, ta có : DAB = DBC (giả thiết) ABD = BDC (so le trong và AB // CD) Vậy : AABD co ABDC (g.g) „ AB BD 12,5 X Suy ra : —— = —— => -—— = BD DC X 28,5 X2 = 12,5.28,5 = 356,25 X « 18,87 (đo X > 0). Hình bên dưới cho biết EBA = BDC . Hỏi trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông ? Hãy kế tên các tam giác đó. Cho biết AE - 10cm, AB = 15cm, BC = 12cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ sô' thập phân nhất). So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD. Giải Ta có : các thứ ABE = CDB ÁBẼ + DBC = CDB + DBC = 90° (do ABCD vuông tại C) EBD = 180" - 90" = 90" Suy ra : Do đó : Vậy trong hình có 3 tam giác vuông là : AABE, ABCD và AEBD. Xét AAEB và ACBD, ta có : EAB = BCD = 90° ABE = BDC (giả thiết) Vậy : AAEB ACBD (g.g) AE AB Suy ra : ——- = —— CB CD AAEB vuông tại A, ta có : ACBD vuông tại c, ta có : AEBD vuông tại B, ta có : 10 _ 15 12 " CD BE2 = AB2 + AE2 = 152 + BE a 18cm BD2 = BC2 + CD2 = 122 + BD = 21,6cm ED2 = EB2 + BD2 = 182 + ED » 28,lem. CD = = 18cm 10 102 = 325 182 = 468 21,62 = 790,56 c) Diện tích ABDE là : Sbde = |eB.BD = ỉ.18.21,6 = 194,4cm2 Vậy : Sbde > Saeb + Sbcd- 38 LUYỆN TẬP 1 Tính các độ dài X, y của các đoạn thẳng trong hình bên. Giải 39 Xét ACBA và ACDE, ta có : ACB = DCE (đối đỉnh) ABC = CDE (giả thiết) Vậy : ACBA 00 ACDE (g.g) suy ra CB CD Từ Từ CB CD CA CE AB DE AB DE X 3~5 2 _ 3 " 6 3 6 CE DE 3.3,5 6 ạ = 4. 3 = 1,75 hình Cho chéo AC và BD. thang ABCD (AB // CD). Gọi là giao điểm của hai đường Chứng minh rằng OA.OD = OB.OC. Đường thẳng qua 0 vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. .. / J OH AB Chứng minh răng —— = —— . OK CD Giải a) Xét ACAB và AOCD, ta có : OAB = OCD (so le trong và AB // CD) Vậy : AOAB 00 AOCD (g.g) AOB = COD (đối đỉnh) Suy ra : = ^5. => OA.OD = OB.OC. D K c oc OD b) Xét AOHA và AOKC, ta có : ÕHẦ = OKC = 90° ỐÃH = 0CK (ÕÃB = õcb) Vậy : AOHA 00 AOKC (g.g) ” . 0H OA OA _ AB /aoad OK oc oc CD Suy ra : = —77 mà —7 = 77— (AOAB 00 aOCD) DH _ AB OK - CD ■ 40 Cho tam giác ABC, trong đó AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm. Hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau không ? Vi sao ? Giải Xét AADE và AACB, ta có : Ã chung AD 8 2 AE (1) 6_ _ 2 15 " 5 AC 20 5 AB 15 5 (2) A c B Từ (1) và (2), ta có : AADE 00 AACB (c.g.c). LUYỆN TẬP 2 41 Tìm các dấu hiệu để nhận biết hai tam giác cân đồng dạng. Giải Hai tam giác cân có một cặp góc bằng nhau thì đồng dạng với nhau. Cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này tỉ lệ với cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì chúng đồng dạng với nhau. 42 So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các trường hợp bàng nhau của tam giác (nêu lên những điểm giông nhau và khác nhau). Giải Các trường hợp đồng dạng và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ABC và A'B'C’ : Các trường hợp đồng dạng Các trường hợp bằng nhau A'B’ BC A'C’ ’ —- = ' = ——- (c.c.c) AB BC AC CGC - và Ê' = B (c.g.c) AB BC A' = Â và B’ = B (g.g) A'B' = AB, B’C’ = BC, AC = AC (c.c.c) A'B' = AB, B'C' = BC và B' = B (c.g.c) A' = Â, B' = B và A'B' = AB (g.c.g) 43 Cho hình bình hành ABCD có độ dài các cạnh là F AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một /\ điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt Ạ \b cạnh CB kéo dài tại F. \ / \ Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam \ / \ giác đồng dạng với nhau ? Hãy viết các cặp tam \/_________\ giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng. D c Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết rằng DE = 10cm. a) Các cặp tam giác đồng dạng : AEAD 00 AEBF (FB // AD) ADCF (EB // CD) b) Do AEAD EF ED BF AEBF 00 AEAD oo aDCF (cùng đồng dạng với AEBF). oo AEBF nên : _ BE _ AE EB AD EA EF 10 BF 7 EF = = 5cm 8 7.4 BF = -A- = 3,5cm. 8 Giải 44 , . . . , AM DM b) Chứng minh rang —— = —— AN DN Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC - 28cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và c trên đường thẳng AD. Tính tỉ sô' . CN Giải a) Xét AABM và AACN, ta có : Ạ AMB = ANC = 90° BAM = CAN (AD là đường phân giác BAC) / \ X. Vậy : AABM 00 aACN (g.g) / \ Xv BM _ AB _ 24 _ 6 / iM CN ” AC “ 28 “ 7 ■ B~ N b) Xét AMBD và ANCD, ta có : BMD = CND = 90° BDM = CDN (đối đỉnh) Vậy : ABMD co ACND (g.g) => DM BM (1) DN - CN AABM AACN (theo câu a) => AM (2) AN " CN Từ (1) và (2), ta có AM DM AN - DN 45 Hai tam giác ABC và DEF có Â = D, B = Ê , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF và EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. Giải AABC co aDEF (vì Â = D, B = Ê) Suy ra : DE BC EF AC DF Ttr^ = DF Suy ra : AC = 4.3 = 12cm, mBC AB 4 Từ 9“ = T7T- = — => EF DE 3 DE A F E = 3 B 10 AC DF AC - DF 4 “ 3 4-3 DF = 3.3 = 9cm 10 4 EF - 3 EF = = 7,5cm. 4