Giải bài tập Toán 8 §7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)

§7. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (TIẾP)
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?1 Trong ví dụ trên (SGK), hãy thử chọn ẩn số theo cách khác : Gọi s (km)
là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe. Điền vào bảng sau rồi lập phương trình với ẩn số s :
Vận tốc (km/h)
Quãng đường đi (km)
Thời gian đi (h)
Xe máy
s
ô tô
Hướng dẫn
Vận tốc (km/h)
Quãng đường đi (km)
Thời gian đi (h)
Xe máy
35
s
s
35
ò tô
45
f s 2^
45
<35 5J
s 2
35 - 5
(s2\
Ta có phương trình theo ẩn s là : s + 45 ÃL -	= 90.
135 5)
?2 Giải phương trình nhận được rồi suy ra đáp sô' của bài toán. So sánh hai cách chọn ẩn, em thấy cách nào cho lời giải gọn hơn ?
Hướng dan
/ s	2Ầ	9s
Ta có phương trình : s + 45 --- - -5 I = 90	 s + Lf- - 18 = 90
I35 5/	7
 Ị^s = 108 s - 47,25km.
7
Suy ra thời gian để hai xe gặp nhau là 1,35 giờ, tức là 1 giờ 21 phút.
So sánh hai cách giải, ta thấy cách gọi thời gian làm ẩn là gọn hơn !
GIẢI BÀI TẬP
37
Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tô'c trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.
Giải
Gọi X (km) là độ dài quãng đường AB. Điều kiện X > 0.
Thời gian xe máy đi từ 6 giờ sáng đến 9 giờ 30 phút là :
(km/h)
2
2x
5
(km/h)
7
Vận tóc trung bình của ô tô : —-
5
2
Ta có phuơng trình : — - — = 20 5	7
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
14x - lOx = 700 *o 4x = 700
«■ X = 175 (thỏa mãn điều kiện)
Quãng đường AB dài 175km.
2 175
Vận tốc trung bình của xe máy là 'ị ■ = 50km/h.
38 Điểm kiếm tra Toán của một tổ học tập được cho trong bảng sau :
Điểm số (x)
4
5
7
8
9
Tần số (n)
1
*
2
3
*
N = 10
Biết điểm trung bình của cả tổ là 6,6. Hãy điền các giá trị thích hợp vào hai ô còn trỗhg (được đánh dấu *).
Giải
Gọi X là số học sinh được điểm 9. Điều kiện X nguyên dương.
Số học sinh được điểm 5 là : 10 - (6 + x) = 4 - X
Điểm trung bình của cả tổ là :
4.1 + 5(4 - X) + 7.2 + 8.3 + 9x 4 + 20 - 5x + 14 + 24 + 9x 4x + 62
10
4x 4" 62 Ta có phương trình : ■	— = 6,6
10
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
4x + 62 = 66 4x = 4 o
Sô' học sinh được điểm 9 là 1 học sinh.
Sô’ học sinh được điếm 5 là 3 học sinh.
10	10
X = 1 (thỏa man điều kiện)
39 Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đổì với loại hàng thứ nhất là 10%; thuế VAT đôi với loại hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền ?
Ghi chú : Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy định là 10%. Khi đó nếu giá bán của A là a đồng thì kể cả thuế VAT, người mua mặt hàng này phải trả tổng cộng là a + 10% a đồng.
Giải
Ta có thế lập bảng :
Sô' tiền chưa kể
VAT
Tiền thuế
VAT
Sô' tiền kể cả thuê' VAT
Loại hàng thứ nhất
X
x.10%
Loại hàng thứ hai
110 - X
(110 - x).8%
Cả hai loại hàng
110
10
120
Gọi X (nghìn đồng) là sô' tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (không kể VAT). Điều kiện X > 0.
Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (không kể VAT) là (110 - x) nghìn đồng.
Tiền thuế loại hàng thứ nhất là
Tiền thuế loại hàng thứ hai là :
10
: ——X
100
-Ệ-(UO-x)
100
Ax + A(no_x) = lO
10	25
Ta có phương trình :
hay
-TTX +-^-(110 - x) = 10
100	100
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
5x + 4(110 - x) = 500 5x + 440 - 4x = 500
 X = 500 - 440	 X = 60 (thỏa mãn điều kiện)
Không kể thuê' VAT, Lan phải trả cho loại hàng thứ nhất là 60 nghìn đồng và loại hàng thứ hai là 50 nghìn đồng.
40
41
LUYỆN TẬP
Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?
Giải
Gọi X là sô' tuổi của Phương hiện nay. Điều kiện X nguyên dương.
Tuổi của mẹ Phương hiện nay là 3x.
Sau 13 năin nữa, tuổi của Phương là X + 13 và tuổi của mẹ Phương là 3x + 13.
Ta có phương trình : 3x + 13 = 2(x + 13) 3x + 13 = 2x + 26
 3x - 2x = 26 - 13 X = 13 (thỏa mân điều kiện)
Vậy năm nay Phương 13 tuổi.
Một sô' tự nhiên có hai chữ số. Chữ sô' hàng đơn vị gấp hai lần chữ sô' hàng chục. Nếu thêm chữ sô' 1 xen vào giữa hai chữ sô' ấy thì được một số mới lớn hơn sô' ban đầu là 370. Tìm sô' ban đầu.
Giải
Gọi X là chữ số hàng chục. Điều kiện X nguyên và X < 5
Chữ số hàng đơn vị là 2x
Sô' ban đầu là lOx + 2x = 12x
Sô' lúc sau là lOOx + 10 + 2x - 102x + 10
Ta có phương trình : 102x + 10 = 12x + 370 c=> 102x - 12x - 370 - 10 o 90x = 360 o X = 4 (thỏa mân điều kiện)
Vậy sô' ban đầu là 48.
Tìm sô' tự nhiên có hai chữ sô', biết rằng nếu viết thêm một chữ sô' 2 vào bên trái và một chữ sô' 2 vào bên phải sô' đó thì ta được một sô' lớn gấp 153 lần sô' ban đầu.
Giải
Gọi sô' tự nhiên ban đầu là X.
Đậu tiên ta viết thêm sô' 2 vào bên phải ta đã làm tàng giá trị X lên 10 lần và thêm 2 đơn vị.
Khi viết thêm sô' 2 vào bên trái, sô' đó trở thành sô' có 4 chữ sô' ta lại thêm 2000 đơn vị.
Ta có phương trình : 2000 + lOx + 2 = 153x o 153x - lOx = 2002
	143x = 2002 X = 14 (thỏa mãn điều kiện)
Sô' tự nhiên ban đầu là 14.
Tìm phân sô' có các tính chất sau :
Tử sô' của phân sô' là sô' tự nhiên có một chữ sô';
Hiệu giữa tử sô' và mẫu sô' bằng 4;
Nếu giữ nguyên tử sô' và viết thêm vào bên phải của mẫu sô' một chữ sô' đúng bằng tử số, thì ta được một phân sô' bằng phân sô' — .
5
Giải
Gọi X là tử sô'. Điều kiện X nguyên dương và X < 10
Mẫu sô' là X - 4.
Phân sô' ban đầu là —í—
x-4
Phân sô' lúc sau là —	—	
10(x -4) + X
X	1
Ta có phương trình : 	= —
10(x - 4) + X 5
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
5x = 10(x - 4) + X
5x - 10x - 40 + X
5x = 1 lx - 40
llx - 5x = 40
6x = 40
40 20
X =	(không thỏa mãn điều kiện)
44
6	3
Vậy không có phân số nào thỏa mãn các tính chất đã cho.
Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho trong bảng dưới đây :
Điểm
(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần sô'
(n)
0
0
2
*
10
12
7
6
4
1
N = *
trong đó có hai ô còn trống (thay bằng dấu *). Hãy điền sô' thích hợp vào ô trông, nếu điểm trung bình của lớp là 6,06.
Giải
Gọi X là sô' học sinh đạt điểm 4. Điều kiện X nguyên, X không âm.
Sô' học sinh của lớp làN = 2 + x+10 + 12 + 7 + 6 + 4 + l = x + 42 Điếm trung bình Toán của lớp là :
1.0 + 2.0 + 3.2 + 4x + 5.10 + 6.12 + 7.7 + 8.6 + 9.4 + 10.1
X + 42
4x + 271
X + 42
6 + 4x + 50 + 72 + 49 + 48 + 36 + 10
X + 42
4x + 271
Ta có phương trình : 	 ' = 6,06
X + 42
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
4x + 271 = 6,06x + 254,52
2,06x = 16,48
4x + 271 = 6,06(x + 42) o
o 6,06x — 4x = 271 - 254,52 
 X = 8 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy sô' học sinh đạt điểm 4 là 8 học sinh và tổng sô' học sinh cả lớp là 50 học sinh.
45
Một XÍ nghiệp kí hợp đồng dệt một sô' tâìn thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chi trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành sô' thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tâìn nữa. Tính sô' tâìn thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.
Giải
Ta có thể lập bảng :
Hợp đồng
Thực tê'
Sô' thảm len
X
X + 24
Sô' ngày làm
20
18
Năng suất
X
X + 24
20
18
Gọi X (tấm) là số thảm len thực hiện theo hợp đồng. Điều kiện X nguyên dương.
Sô' thảm len thực hiện theo thực tế là (x + 24) (tấm)
Năng suâ't thực hiện theo hợp đồng là (tâm/ngày)
20
X + 24
Năng suất thực hiện theo thực tế là ——(tấm/ngày)
18
„ -Z	X + 24	120 X , X + 24 3x
Ta có phương trình : -—-— = ——hay ——— = —
18	100 20	18	50
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
25(x + 24) = 27x 	25x + 600 = 27x 	27x - 25x = 600
o 2x = 600	 X = 300 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số thảm len phải dệt theo hợp đồng là 300 tấm.
46
Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB.
Giải
A	C	B
* 48km *■
Ta có thể lập bảng :
Dự định
Thực tế
Quảng đường AC
Nghỉ
Quãng đường CB
Quãng đường (kin)
X
48
X- 48
Vận tô'c (km/h)
48
48
54
Thời gian (h)
X
48
1
1
6
X - 48
54
Gọi X (km) là độ dài quãng đường AB. Điều kiện X > 0.
Thời gian dự định đi hết quãng đường là (h)
Quãng đường còn lại sau khi đi 1 giờ là (x - 48) (km).
Thời gian đi quãng đường còn lại là
X - 48
54
(h).
Ta có phương trình : 1 + 4 + -X
6	54
X
48
,	7	x-48	X
hay — + —— = —
6	54	48
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
72.7 + 8(x - 48) = 9x o 504 + 8x - 384 = 9x
 9x - 8x = 120 X = 120 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy quãng đường AB dài 120km.
47
Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm X nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vôn cho tháng
sau.
Hãy viết biểu thức biểu thị :
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.
Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm ?
Giải
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là :	(nghìn đồng)
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất là :
X + -T-x =	+ 1 X (nghìn đồng)
100 Uoo J
+ Số tiền lãi tháng thứ hai là : —Ẹ— —+ 1 X (nghìn đồng)
ìooựoo J
Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai là :
a a I a I a I a I a I _ a I
—-X + ——	+ 1 X = —-X 1 4- —- + 1 = —— 2 + X
100	100V100 J 100 A 100	) 100^	100J
Với lãi suất 1,2% nghĩa là a = 1,2
m . 1	1,21
Ta có phương trình : —7—
1001
„ 1,2 1
2 + ---I- X = 48,288
100
o 0,012(2 + 0,012)x = 48,288
	0,024144x = 48,288 X = 2000
Vậy lúc đầu bà An gửi tiết kiệm 2000 nghìn đồng hay 2 000 000 đồng.
48 Năm ngoái, tổng sô' dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân sô' của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân sô' của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, sô' dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. Tính sô' dân nàm ngoái của mỗi tỉnh.
Giải
Ta có thể lập bảng :
Tỉnh A
Tỉnh B
Sô' dân năm ngoái
X
4 000 000 - X
Sô' dân năm nay
101,1 	— X 100
^^(4 000 000 - x)
100
Tỉ lệ tăng thêm
1,1%
1,2%
Gọi X (người) là số dân của tỉnh A năm ngoái. Điều kiện X nguyên dương và X < 4 triệu.
Số dân của tỉnh B năm ngoái là (4 000 000 - x) (người).
Sô' dân của tỉnh A năm nay là X + 2^-x = 101’1 X (người).
100	100
Sô' dân của tỉnh B năm nay là :
1 2	101 2
(4 000 000 - x) + (4 000 000 - x) -^-x =	(4 000 000 - x)
100	100
Ta có phương trình : - Olỷl-X - "01’2 (4 000 000 - x) = 807 200
100	100
	l,011x - 1,012(4 000 000 - x) = 807 200
o l,011x- 4 048 000 + l,012x = 807 200 	2,023x = 807 200 + 4 048 000
	2,023x = 4 855 000
 X = 2 400 000 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy sô' dân của tỉnh A và tỉnh B năm ngoái lần lượt là :
49
2 400 000 người và 1 600 000 người.
B
<— 2 cm —►
A
Đô'. Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.
Giải
Gọi X (cm) là độ dài cạnh AC. Điều kiện X > 2.
rp,	. DE _ CE 	_ CE.BA (x - 2).3
CA
Theo định lí Ta-lét : —— = suy ra DE = BA CA
(x — 2) 3
Diện tích hình chữ nhật là 2.	—— (cm2)
X
Diện tích hình tam giác ABC là Ậ.3x
2
-X	. 2(x- 2).3 _ 1(1 A
da có phương trình : —	— = — —,3x
X 2(2	)
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
8(x - 2).3	= 3x2	8(x - 2) = X2
	8x - 16 =	X2	X2 - 8x + 16 = 0
	(x - 4)2 =	0	X = 4 (thỏa mãn	điều kiện)
Vậy độ dài cạnh AC là 4cm.