Giải bài tập Toán 8 §3. Tính chất đường phân giác của tam giác

§3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Vẽ tam giác ABC, biết : AB = 3cm; AC = 6cm; Â = 100°.
Dựng đường phân giác AD của góc A (bàng compa, thước thẳng), đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số ^5. và (hình bên).
AC DC
Hướng dẫn
Hình vẽ, đo độ dài DB, DC : Học sinh tự thực hiện.
"	, . . AB DB
AC DC
?2
Xem hình bên.
a)
Tính
a)
b)
b)
Tính
Khi
3.5
7.5
khi y = 5.
Hướng dan
_7_
15’
K , 5	7
5, ta có : — = — y 15
=> y =
« 10,7.
7
?3
Tính X trong hình bên.
Hướng dẫn Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có :
HF DF _	_ HE.DF _ 3.8,5 _ c n
T-7Z7 = —=7 => HF = ———— = _L__ = 5,1
HE DE	DE 5
Mà EF = EH + HF nên X = 3 + 5,1 = 8,1.
GIẢI BÀI TẬP
15
Tính X trong các hình vẽ sau và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhâ't.
Giải
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có :
DC _ AC _ 7,2 _ 8 X _ 8	_ 8.3,5
DB - AB - 4,5 _ 5	3J5 ” 5	x ” 5
Áp đụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có :
NQ _ NP _ 8,7	X _ 8,7
QM - PM - 6,2	12,5 - X ~ 6,2
6,2x
6,2x
= 8,7(12,5 - x) =>	6,2x = 108,75 - 8,7x
+ 8,7x = 108,75 =>	14,9x = 108,75 => X = 108’^5 « 7,3.
14,9
16
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ sô' diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam giác ACD bằng — .
Giải
Kẻ đường cao AH của AABC, ta có :
Sacd= lýAH.CD
2
Sabd = ịAH.BD;
2
4ah.bd
2
Sạbd
Sacd
ịAH.CD
2
BD _ AB _ m
- ^7 - — (tính chát đường phân giác trong tam giác).
n
17
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC (hình bên).
Giải
Theo tính chất đường phân giác trong AMAB và AMAC, ta có :
AD _ AM AE AM
DB ■ MB ’ EC ” MC
Mà MB = MC (AM là trung tuyến của AABC)
Suy ra :
AM
MB
AM AD AE —— , do đó 7— = —— MC DB EC
Vậy : DE // BC (định lí Ta-lét đảo).
LUYỆN TẬP
18
Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.
Giải
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có :
EB AB 5
6
EC
AC
EB _ EC _ EB + EC BC 7 5 “ 6 " 5+6
19
Từ đó :
5
7
11
EC
6	11
QK
EB = — = 3,18cm
11
42
EC = — =: 3,82cm.
11
Cho hình thang ABCD (AB // CD).
Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng :
, AE BF
a) T—- = —-
ED FC
, , AE BF b) —— = ——
AD BC
DE CF c) ——- = ——
DA CB
Giải
a)
Gọi o là giao điểm của đường thẳng a và AC. Do EF // CD, áp dụng định lí Ta-lét trong AACD và AABC, ta có :
AO
oc
AE
ED
và
AO _ BF oc - FC
b)
Suy ra :
Ta có :
ED
BF
FC
ED
BF
FC
AE BF
AE + ED = BF + FC
c)
, AE _ BF
Ta có :	= 7777
AD BC
AD - AE _ BC - BF
AD - BC
DE CF
DA
20
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại 0. Đường thẳng a qua 0 và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng : OE = OF.
Giải
CB
Do EF // AB nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
(1)
OE DO	OF oc
—77 = 7777- và	—— = ——
AB DB	AB CA
21
a)
Do AB // CD nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét, ta có :
DO oc DO oc DB - CA
DO oc OB " OA
DO + OB
OC + OA
(2)
Từ (1) và (2), suy ra :
OE OF
OE = OF.
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của tam giác ABC là s.
Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC ?
Giải
Ta có : AC > AB (do n > m) (1)
Theo tính chất đường phân giác trong
tam giác, ta có :
AB _ DB
AC ” DC
(2)
A
H D
Từ (1) và (2) suy ra : DB < DC. Do đó D nằm giữa B và M.
Gọi Sj, s2 lần lượt là diện tích AABD và AADC, ta có :
1^° BD	AB
Ìah.cd cd	ac
2
à.
s2
_ s, + So m + n
Suy ra : —-7—— = ———
s2 n
s2 =
nS
Do Samc = Samb = 7- s nên diện tích AADM là :
Sadm = Sadc - Samc = s2 - — s =
nS
m + n
n - m
2(m + n)
Sadm -
7-3
2(7 + 3)
s = -ịs = ịs
10	5
= 0,2S = 20%S
b) Diện tích AADM là :
Diện tích AADM chiếm 20% diện tích AABC.
22
B c D E F G
Đố. Hình bên cho biết có 6 góc bang nhau : Ôi = Ô2 = Ô3 = Ô4 = Ô5 = Ô6 Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức đúng từ các kích thước đã cho.
Giải
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác (9 tam giác), ta có : a	X	b	y	c _ z	d _ t	e _ u	a_x + y
c	y’	d	z ’	e t’	f u’	g v’	e z + t’
a x+y+z b_y+z c_z+t
g t + u + v’ f t + u’ g u + v