Giải bài tập Toán 8 §5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA Ẩn ỏ mau
?1
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
Giá trị X = 1 có phải là nghiệm của phương trình X + —= 1 + ——— X - 1 X - 1 hay không ? Vì sao ?
Hướng dẫn
X = 1 không phải là nghiệm của phương trình. Vì khi X = 1 phương trình không xác định.
?2
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau :
, X X + 4
a) ——- = ——-
X -1 X + 1
b)
3 2x -1 	T = —	T	X. x-2	x-2
a)
Hướng dẫn
Điều kiện xác định : X * 1 và X * -1.
b)
Điều kiện xác định : X * 2.
?3
a)
Giải các phương trình trong ?2 .
Hướng dẫn m_ , X X + 4	x(x + 1)
Ta có :	“
x-1
(X - l)(x + 1)
b)
o	x(x + 1) = (x + 4)(x - 1)	o
o	-2x = -4 o X = 2
Vậy X = 2 là nghiệm của phương trình.
m. 3 _ 2x -1 , „ 3 Ta có : 	- =	_	X o 	
X - 2 X - 2	X - 2
(X + 4)(x - 1)
(X + l)(x - 1)
X2 + X = X2 + 3x - 4
2x - 1 x(x - 2)
x-2	x-2
o	3 = 2x - 1 - x(x - 2)	o 3 = -X2 + 4x - 1
o	X2 - 4x + 4 = 0 o	(x - 2)2 = 0 o	X = 2.
Ta thấy X = 2 không thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
27
GIẢI BÀI TẬP
Giải các phương trình :
a)
c)
^ = 3
X + 5
(x2 + 2x) - (3x + 6) _
b)
X2 -6
a)
b)
Giải
d)
5 = 2x -1.
3x + 2
2x - 5
——— = 3 ĐKXĐ : X + 5 * 0 hay X * -5
X + 5
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
2x — 5 = 3(x + 5) 	2x - 5 = 3x + 15
 2x - 3x = 15 + 5 	X = -20 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (-201.
X2 - 6	.. . 3
	 = X + —
X	2
ĐKXĐ : X * 0
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
2(x2 - 6) = 2x2 + 3x0	2x2 - 12 = 2x2 + 3x
c)
 3x = -12	 X = -4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (-4Ị.
(x2 + 2x) - (3x + 6)
	 ——	= 0 ĐKXĐ : X - 3 * 0 hay X * 3
d)
5 = 6x2 + 4x - 3x - 2
6x2 - 6x + 7x - 7 = 0 o (x - l)(6x + 7) = 0
 X = 1 hoặc X = - -Ị
6
28
Giải các phương trình
2x -1 . ,	1
X - 1 X - 1
„	1 _ 2	1
X
a)
b)
c)
X2
d)
5x
2x + 2
X + 3
x + 1 2^ = 2.
X
X - 3
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
(X2 + 2x) - (3x + 6) = 0	o	x(x + 2) - 3(x + 2) = 0
 (x + 2)(x - 3) = 0	x + 2 = 0 hoặc X - 3 = 0
 X = -2 hoặc X = 3
X = -2 (thỏa mãn ĐKXĐ)
X = 3 (không thỏa mãn ĐKXĐ, loại)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (-2Ị.
Các giá tri X = 1, X = -7- đêu thỏa mãn ĐKXĐ
6
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s =
Giải
ĐKXĐ : X - 1 * 0 hay X * 1
a)
2x -1
X - 1 X - 1
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
2x-l + x- l = l 3x = 3
 X = 1 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, s = 0.
_ỀL- + 1 = -_Ẽ_ ĐKXĐ : X + 1 * 0 hay X * -1
2x + 2 X + 1
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
5x + 2x + 2 = -6.2 7x = -14
 X = -2 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (-2Ị.
X + - = X2 + -ỉ- ĐKXĐ : X * 0
X	X2
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
X3 +	X = X4	+ 1	x4-x3-x+l	=	0
	x3(x	- 1) -	(x - 1)	= 0	(x -	l)(x3 - 1) = 0
	(x -	l)(x -	l)(x2 +	X +	1) = 0
	(x —	l)2fx2	+2^x	+ --i + l	I = 0
L 2	4 4 J
(x - l)2 = 0
do
k
X = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = {1}.
= 2 ĐKXĐ : X * -1 và X * 0
X +1 X
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
x(x + 3) + (x + l)(x - 2) = 2x(x + 1)
	X2 + 3x + X2 - 2x + X - 2 = 2x2 + 2x
	2x - 2 = 2x 2x - 2x = 2	 Ox = 2 (vô nghiệm).
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 0.
29
LUYỆN TẬP
X2 - 5x
Bạn Sơn giải phương trình —	
X - 5
(1) X2 - 5x = 5(x - 5)	
 X2 - lOx + 25 = 0	
= 5 (1) như sau :
X2 - 5x = 5x - 25
(x-5)2 = 0	 X = 5
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức X - 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau :
X = 5.
(1) c
X - 5
Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên.
Giải
Hai bạn Sơn và Hà đều sai vì đã khử mẫu của phương trình mà không chú ý đến ĐKXĐ của phương trình.
ĐKXĐ : X - 5 * 0 hay X 5, do đó giá trị X = 5 bị loại. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
30 Giải các phương trình :
a)
1
x-2
X - 3
2-x
2x2
b) 2x--=—-
X + 3
4x 2
x + 3 + 7
x + 1 X -1	4
X — 1 x + l X2 - 1
Giải
a)
1
x-2
x-3
2-x
ĐKXĐ : X * 2
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
+ 3(x - 2) = 3 - X
l + 3x-6 = 3- x
4x = 8 X = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 0.
2x - -=?— =	+ r ĐKXĐ : X # -3
X + 3 X + 3 7
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
14x(x + 3) - 14x2 = 28x + 2(x + 3)
	14x2 + 42x - 14x2 = 28x + 2x + 6	42x - 30x = 6
12x = 6 X = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
fl
[2
2
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s =
. x + l X - 1	4	. .. . 1	1
" - ——7 = ——-—	ĐKXĐ : X * -1 và X * 1
x-1 x + 1 X2 — 1
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
(x + l)2 - (x - l)2 = 4 X2 + 2x + 1 - (x2 - 2x + 1) = 4
 X2 + 2x + 1 - X2 + 2x - 1 = 4 4x = 4
 X = 1 (không thỏa mân ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 0.
3x - 2 6x + 1	,	3
	3- = • ■ '—2' ĐKXĐ : X * -7 và X * 7
X + 7 2x - 3	2
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
(3x - 2)(2x - 3) = (6x + l)(x + 7)
	6x2 - 9x - 4x + 6 = 6x2 + 42x + X + 7 	-13x - 43x = 7-6
Í-—Ị. t 56] ■
	-56x =1	X = (thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 31 I Giải các phương trình :
,	1	3x2 2x
b)
c)
X - 1 X3 - 1
(X - l)(x - 2)
.2
(x - 3)(x - 1)
1
(X - 2)(x - 3)
1	12
X + 2 - 8 + X3
13
6	
(x - 3)(2x + 7) ' 2x + 7 " (x - 3)(x + 3) ■
Giải
.	1	3x2 2x	1	3x2	2x
a)	—— = ——-	 	—	= —— 	
x-l X3 - 1 X2 + X + 1 X - 1 (x - l)(x2 + X + 1) x2+x + l ĐKXĐ : X * 1
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
X2 + X + 1 - 3x2 =	2x(x -	1) -2x2 + X + 1	= 2x2 - 2x
	-4x2 + 3x + 1 = 0	4x2 - 3x - 1 = 0
	4x2 -4x + x- l =	0	4x(x - 1) + (x - 1) = 0
«	(x - l)(4x + 1) = 0	X - 1 = 0 hoặc 4x + 1	= 0
 X = 1 hoặc X =
4
X = 1 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
X = —- (thỏa mãn ĐKXĐ)
4
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s =
b)
c)
d)
32
a)
(x - l)(x -2) (x - 3)(x - 1) (x - 2)(x - 3)
ĐKXĐ :x(x - 3)(2x + 7) 2x + 7 (x - 3)(x + 3) Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
13(x + 3) + (x - 3Xx + 3) = 6(2x + o	13x + 39 + X2 -	9 =	12x T 42 Q
	X2 + X - 12 = 0	o
	x(x - 3) + 4(x -	3) =	0	
	X - 3 = 0 hoặc X + 4	= 0	
X = 3 (không thỏa mận ĐKXĐ)
 	X = -4 (thỏa mãn ĐKXĐ) Tập nghiệm của phương trình đã cho là s - 1-4}. Giải các phương trình :
a) — + 2 = I — + 2 |(x2 + 1) X
Giải
~ í 1	~ V 9.
- + 2 =1 — + 2 |(x2 +1) X
l, x*2, x*3
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
3(x - 3) + 2(x - 2) = X - 1	3x-9 + 2x-4 = x- l
 5x - X = -1 + 13 4x = 12	 X = 3 (loại)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = 0.
Chú ý rằng : 8 + X3 = X3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
ĩ _ 12
1 + -	— - -	7 •
ĐKXĐ : X * -2 (do X2 - 2x + 4 = (x - l)2 + 3 > 0)
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
X3 + 8 + X2 - 2x + 4 =	12	« X3	+	X2 -	2x = 0
	x(x2 + X - 2) =	0 	x(x2 - X + 2x	-	2)	=	0
 x[x(x - 1) + 2(x - 1)] = 0 x(x - l)(x + 2) = 0
	X = 0 hoặc X -	1 = 0 hoặc	X + 2 = 0
	X = 0 hoặc X =	1 hoặc	X =	-2 (loại)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (0; 1|.
7
ĐKXĐ : X* ±3, X* -4
2
7)
X2 + 13x + 30 - 12x - 42 = 0
X2 - 3x + 4x - 12 = 0
(x - 3)(x + 4) = 0
X = 3 hoặc X = -4
7	1Y
b) X + 1 + -
I	X)
X - 1	
X J
ĐKXĐ : X * 0
13	1	6
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được
1 + 2x = (1 + 2x)(x2 +1)	
	(1 + 2x)[l - (x2 + 1)] = 0 o
	-X2 = 0 hoặc 1 + 2x = 0
(1 + 2x) - (1 + 2x)(x2 + 1) = 0
(1 + 2x)(-x2) = 0
X = 0 hoặc X = -Ị
2
X = 0 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
X = -Ị (thỏa mãn ĐKXĐ)
2
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s =
f	1Ỷ c	1Ỹ
b) X + 1 + -	= X -1 - - ĐKXĐ : X * 0
k	X y \	xy
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
(x2 + X + l)2 = (x2	- X	-	l)2	(x2 + X + l)2 -	(x2 - X - l)2 = 0
	(x2 + X + 1 + X2 -	X -	l)(x2 +	x+ l-x2 + x + l) = 0
2x2(2x + 2) = 0	c	4x2(x + 1) = 0
	X2 = 0 hoặc x + l	= o	x = 0 hoặc X = -1
X = 0 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
X = -1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là s = (-1}.
Ta có thể giải bài 32a, b như sau :
- + 2 = |- + 2 |(x2+1) ĐKXĐ : X * 0
X \x J
	I— +2^1(1 - X2 - 1) = 0
X Vx 7	lx J
o	I - + 2 (-X2) = 0	o	-+2 = 0(dox*0)
<x J	X
l+2x = 0	 X = -—
2
fx + l + -i =fx-l--ì ĐKXĐ : X * 0 k xj V
(	, 1V f	1
 X + 1 + — - X-1-—	=0
k	\	xj
 X
	2x1
-1 + — + X -1 - — X + 1 + — - X + 1 + — =0
X	X A	X	X J
2^1	f	l'l	1
+ — = 0 4x 1 + — = 0 	1 + — = 0 (do X * 0)
xy	V	xj	X
	1 + X = 0	 X = -1.
33 Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2 :
. 3a-l a-3	, x 10 3a-l 7a + 2
3a + 1 a + 3	3 4a + 12 6a + 18
Giải
ĐKXĐ : a # -ị, a * -3
3
rp - 3a — la — 3
3a + 1 a + 3
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
(3a - l)(a + 3) + (a - 3)(3a + 1) = 2(3a + l)(a + 3)
+ 9a - a - 3 + 3a2 + a - 9a - 3 = 2(3a2 + 9a + a + 3)
6a2
- 6 = 6a2 + 20a + 6	20a = -12
3
—7 (thỏa mãn ĐKXĐ)
5
 Vậy giá trị cần tìm là a = “.
5
ĐKXĐ : a * -3
10 3a-l 7a + 2
Ta có : -7- - —	— - ———— = 2
4(a + 3) 6(a + 3)
Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được :
40(a + 3) - 3(3a - 1) - 2(7a + 2) = 24(a + 3)
	40a + 120 - 9a + 3 - 14a - 4 = 24a + 72
	17a - 24a = 72 - 119 c> -7a = -47
47	
 a = -3- (thỏa mãn ĐKXĐ)
7
47 Vậy giá trị cần tìm là a = -7- .