Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 2. Định lí đảo và hệ quả định lí Talet

AABC, B’ e AB, C’ e AC
GT AB’AC’ B’B C’C AB AC hoặc AB AC
KL B’C’//BC
2. Hệ quả của định lí Talet
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
A ’
GT
KL
AABC có B’C’ // BC B’ e AB; C’ e AC
AB’
AB
B’C’ BC :
AC’
AC
_ _ B , _ c '	,	1	
Chú ý: Hệ quả trên vân đúng cho trường hợp đường thắng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Cho tứ giác ABCD, AC cắt BD tại o, vẽ OE // BC (E thuộc AB), OF // CD (F thuộc AD). Chứng minh’ EF // BD.
Giải
Theo giả thiết OE // BC, nên áp dụng định lí
AE AO
Talet cho AABC, ta có:' “7“d = w	(1)
AjD AvJ
	 ,, „ " AO AF
Tương tự, do OF // CD nên:	(2)
AL/ AU
	 , z AE AF
Từ (1) và (2), ta có:
,	AB AD
Áp dụng định lí đảo của định lí Talet cho AABD ta có: EF // BD
2. Bai tập cơ bản
6. Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 3 và giải thích vì sao
8.
3.
7.
Hình 14 Q	p 1 ị; 1 p 1 Q
Bể chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng	t :
bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.
Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì
sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau?
Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng
AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi
có cách nào khác với cách làm như trên mà
vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước
thành 5 đoạn thẳng bằng nhau?	H;nb-15
Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5cm,
DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
Giải
ổ, Trên hình 3a ta có:
AP 3 AM 5	1 ' 3	1 AP^ANI	_
4— = ^:^~ = ---=- vì -7 *Tnên *77; =>PM va BC không song song PB 8 MC 15 3	8 3 PB MC	*	*
CM 15 _ 3 MA - 5
Ta có: CN _ 21 _ o
NB ■ 7 - • Trong hình 3b
OA' 2 OB’
CM = CN MA " NB
=>MN//AB
	_ 3 _ 2 OA' OB'
Tacó: A'A 3’ B’B 4,5	3 A'A~B'B
	 	 => A’B’ // AB
Mà B"A"O = OA'B’ lại so le trong.
A”B” // A’B’
Từ (1) và (2) suy ra: A”B” /7 A’B’ // AB 7. • Trong hình 4a
(1)
(2)
Mà DE
,„T	_ MD
MN // EF => ^77 = 7777
EF DE
- MD + ME = 9,5 + 28 = 37,5
Nên
8.37,5	600
31,58
X 37,5^
Trong hình 4b
Ta có: A’B’ 1 AA’ (gt) và AB 1 AA’ (gt)
A t T> ’//A V) A’O A'B'	3 4,2
=> A B // AB => -T— = ---- hay - =
OA AB	6 X
AABO vuông tại A => OB2 = y2 = OA2 + AB2 => y2 = 62 + 8,42 => V2 = 106,56 => y ~ 10,3
8. a) Mô tả cách làm:
Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị (dùng thước thẳng có chia khoảng)
Xác định giao điểm o của hai đoạn thẳng PB và QA.
Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại c và D.
Chứng minh AC = CD = DB.
AOPEvà AOBD có PE//DB nên
9,5
19
DB
PE
opl
oe’
AOEFva AODC có EF//CD nên
DB CD	EF OEJ
=> ™	mà PE = EF => DB = CD.
1E Eh A0 qp
Chứng minh tương tự: —— - -Ay nên AC = CD
Vậy: DB. = CD = AC ,
b) Tương tự chia đoạn thằng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện
Vẽ 6 đường thẳng song song cách đều nhau (có thể dùng 6 đường kẻ liên tiếp trong tập viếọ Dặt đầu mút A và B ở hai đường thẳng ngoài cùng thì các đường thẳng song song cắt AB chia thành 5 phần bằng nhau.
kM
kN
.	....	B
9. Gọi DH và BK lần lượt là khoảng eách từ D và B đến cạnh AC.
Ta có: DH // BK (cùng vuông góc với AC)
DH AD
Vậy
DH
BK
BK AB
mà AB = AD + DB
=> AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm) 13,5 _ 3 18 - 4
Vậy tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC bằng ỵ.
3. Bầĩ tập tương ỉự	4
Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. I là
giao điểm của AM với BD, K là giao điểm của BM với AC.
Chứng minh rằng: IK // AB
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của IK với AD và BC. Chứng minh
rằng EĨ = IK = KF.
LUYỆN TẬP
10. Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d
song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường
cao AH theo thứ tự tại các điêTiĩ B’, C’ và H’
(hình 16).
.	, V	AH’ B'c'
a) Chứng minh rằng:
AH
BC 1
b) Áp dụng: Cho biết AH' = ^AH và diện tích
tam giác ABC là 67,5cm2. Tính diện tích tam giác AB’C’
Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH
lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và
K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (hình 17).
Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện
tích của tam giác ABC là 270cm2.
Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông
mà không cần phải sang bờ bên kia hay không?
Người ta tiến hành đo đạc các yếu tô' hình học cần thiết để tính
chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ sông bên kia
(hình 18). Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB = X theo BC = a, B’C’ = a’, BB’ = h.
13. Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản
DJ linn cmeu cao Atí tneo n, a, D.
A
một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm:
Hình 19
14. Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo). Dựng đoạn thẳng có độ dài X sao cho:
X = 9 a) — = 2
, X 2
b)-	3
c)
m
Hướng dẫn:
Câu b) - Vẽ hai tia Ox, Oy.
Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.
Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n và xác định điểm A’ sao OA OA'
CJho OB OB’
Từ đó ta có OA’ = X.
Giải
10. a) Chứng minh Vì B’C y/BC =>
AH' BC
AH
B’C’
BC
AB’
BC AB
,	" AH’ AB'
Trong AABH có B’H’ // BH=> AH -
15 c AH’
Từ (1) và (2) => BC - AH
(1)
(2)
b) B’C’ // BC mà AH 1 BC nên AH’ 1 B’C’ hay AH’ là đường cao của tam giác AB’C’.
Áp dụng kết quả câu a) ta có: AH' = — AH
O
B’C’
BC
Babc
= 4^ = j=>B’C' = ỈBC AH 3	3
= ị.AH'.B'C'= ị.4 AH.-^BC 2 ,	.23	3
=> ^AB C'
AH.BC
mà SAIiC = — AH.BC = 67,5cm2 2
Vậy SAQ.C. = — .67,5 — 7, 5cm“
11. a) AABC có MN // BC
MN AK	_
=>	= "T77 (Kết quả bài tập 10)
Co Ah
mà AK = KI = IH
AK 1
nên
AH 3
MN 1	1™	1
= 4 => MN = 4 BC = 4 • 15 = 5cm
BC
EF
3
AI
AABC có EF // BC => =4; = A rT h)(J AH
=> EF = Ị.15 = 10cm 3
b) Áp dụng kết quả câu b của bài 10 ta có:
Bamn = ■^•Sabc = g -270 = 30cm“
Bạef = -Babc =	-270 = 120cm
Do đo: SMNFE = SAEF - SAMN
s“ = 120 - 30 = 90cm2
12. Mô tả each làm:
Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia (chẳng hạn như là một thân cây), đặt hai điểm B và B’ thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại và AB chính là khoảng cách cần đo.
Trên hai đường thảng vuông góc với AB’ tại B và B’ lấy c và C’ thẳng hàng với A.
Đo độ dài các đoạn BB’ = h, BC = a, B’C’ = a’.
AB BC
Ta có:
AB'
BC
X
; mà AB’ = X + h nên
= — ax = ax + ah
o a’x - ax = ah
 x(a’ - a) = ah ah
 X =
Vậy khoảng cách AB bằng 13. a) Cách tiến hành:
ah
aa
a’- a
Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A, F, K nằm trên đường thẳng.
Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm c trên mặt đất (3 điểm F, K, c thẳng hàng).
b) AABC có AB // EF nên
EF
AB
EC
BC
AB =
EF.BC
EC
Vậy chiều cao của bức tường: AB =
ah
h.a
V
14. a) Cách dựng:
Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.
Trên tia Oy đặt điểm B sao cho OB = 2 đơn vị.
Lấy trung điểm M của OB.
Nm Mà.
Vo đường thẳng qua B và song song với MA cắt Ox tại c thì
OB = 2.OM => ^ = 2
m
Cách dựng:
Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.
Trên tia Ox đặt hai đoạn OA = 2 đơn
vị, OB = 3 đơn vị.
Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n.
Nôi BB’
Vẽ đường thẳng qua A và song song với
oc
OA
OB . OM’
BB’ cắt Oy tại A’ thì OA’ = X.	n
„	.	* A 7/ ị.™ OA' OA
Tacó AA//BB=^ = ^
X 2
hay •- = -
n O
Cách đựng:
Vẽ tia Ox, Oy không đôi nhau.
Trên tia Ox đặt đoạn OA = m, OB = n
Trên tia Oy đặt đoạn OB’ - p.
Vẽ đường thẳng qua A và song song o
vói BB cắt Oy tại A’ thì OA’ = X.	*	p~
m
Thật vậy: AA' // BB' —>
OA _ OB X " OB'
hay