Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 6. Thể tích của hình lăng trụ đứng
§6. THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Công thức tính thể tích Thể tích hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. V = s.h S: diện tích đáy h: chiều cao B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1. Bài tập mẫu Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, AA’ = 2a. Tính thế’ tích lăng trụ. Giải Kẻ đường cao AH cúa tam giác đều ABC. a2 3a2 Trong AHAB: AH2 = AB2 - BIF = a2 - - = ị- r- 4 4 a Tã => AH = n. 4 /. o 1- /"1 A T J 1 _ a \'3 a - 73 Do đó: s.,„. = -7 .BC.AH = .a. —— - —— AB<; 2 2 Thể tích hình lăng trụ: V = Bh = Sabc.AA'= I27s ,2a = ‘73 2. Bài tập Cơ bản 27. Quan sát hình 108 rồi điền số thích hợp vào các ô trông ở bảng sáu: b L b l & 4 h .2 ■ 4 hl 8 5 . 10 Diện tích một đáy 12 6 Thể tích 12 1_ 50 28. Thùng đựng của một máy cắt cỏ có dạng lăng trụ đứng tam giác (h.109). Hãy tính dung tích của thùng. h. Hình 109 Các kích thước củá một bể bơi được cho trên hình 110 (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước? Các hình a, b, c (h.lll) gồm một hoặc nhiều lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần Hình 1 ! 1 Giải = s.hj = 12.5 = 60 . _ , 2.S 2.6 n ơ cột 4: h = = 3 b 4 V 12 = s.h, => h, = 22 = --- = 2 1 s 6 ơ'cột 5: V — Sh, = © bhh, :=> b = = ”” = 2,5 1 2 1 hh, 4.10 1 1 s = — .b.h = - . 2,5.4 - 5 2‘ 2 ■ ’ ■ Vậy kết quả sau khi điền vào bảng là: b 5 6 4 h 2 ® © ■ 4 hl 8 5 © 10 Diện tích một đáy 5 12. 6 © Thể tích @ © 12 50 Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông, nên diện tích đáy là: s =-^.60.90 = 2700 (cm2) Thể tích lăng trụ V = Sh = 2700.70 = 189000 (em’) Vậy dung tích của thùng là 189000cm3 Bế bơi được chia thành hai phần: phần hình hộp chữ nhật với các kích thước là 10m, 25m, 2m; phần hình lăng trụ đứng với đáy ỉà tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 2m, 7m, chiều cao 10m. Thể tích hình hộp chữ nhật là: = 10.25.2 = 500 (m3) Thể tích lăng trụ đứng tam giác: = s.h = 1.2.7.10 = 70 (m;i) Vậy thế tích bể bơi khi đầy ắp nước là 570m:i. • Hình a là lăng trụ đứng đáy tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6cm, Sem. Suy ra cạnh huyền là 762 + 82 = 736 + 64 = 7100 = 10(cm), chiều cao lảng trụ là 3cm. Diện tích đáy: s = - .6.8 = 24 (em2) Thể tích: V = s.h = 24.3 = 72 (cm3) Diện tích xung quanh lăng trụ là: Sxq = 2p.h =(6 + 8 + 10).3 = 24.3 = 72 (cm2) Diện tích toan phần lăng trụ là: s = S q + 2S(1 = 72 + 2.24 = 120 (cm2) Hình b là iăng trụ đứng đáy tam giác có ba kích thước là 6cm, 8cm, lOcm. Chiều cao lăng trụ là 3cm. Vì 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 nên đáy lăng trụ là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 6cm, 8cm. Do đó, tương tự bài toán ở hình a. Ta được: V = 72cm’; Stp = 120cm2 Hình c là hình gồm nai lăng trụ đứng: Hình lăng trụ một là hình hộp chữ nhật có các kích thước 4, 1, 3 (cm); hình lảng trụ hai là hình hộp chữ nhật có các kích thước 1, 1, 3 (cm). Thể tích lăng trụ một là Vj = 4.1.3 = 12 (cm3) Thể tích lăng trụ hai là V2 = 1.1.3 = 3 (cm3) Thể tích lăng trụ đã cho là ■ V = V, + v2 = 12 + 3 = 15cm3 Diện tích xung quanh của lăng trụ một là: Sxq = 2(3 + 1).4 = 32 (cm2) Diện tích một đáy của lăng trụ một là: Sd = 3.1 = 3 (cm2) Diện tích toàn phần của lăng trụ một là: s, . = s + 2S. = 32 + 2.3 = 38 (cm2) . tpl xq đ Diện tích xung quanh của lăng trụ hai là: Sxq = 2(1 + 3).l = 8 (cm2) Diện tích một đáy của lăng trụ hai là: Sd = 3.1 = 3 (cm2) Diện tích toàn phần của lăng trụ hai là: Stp2 = sxq + 2Sđ = 8 + 2.3 = 14 (cm2) Diện tích toàn phần của lăng trụ đã cho bằng tổng diện tích toàn phần của lăng trụ 1 và 2 trừ đi 2 lần phần diện tích chung là hình chữ nhật với các kích thước lcm, 3cm. Do đó: S = s„ + s,„, - 2.S 11 = 38 + 14 - 2.3 1 = 46 (cm2) Cách khác: Xem hình lăng trụ ở hình c có đáy dạng hình chữ L với chu vi là: 2p = 4 + 1 + 3 + 1 + 1 + 2 = 12 (cm) Diện tích xung quanh: Sxq = 12.3 = 36 (cm2) Diện tích toàn phần: Slp = (4.1 + 1.1).2 + 36 = 46 (cm2) Thế tích là: V = 5.3 = 15 (cm3) Chú ý: Tùy thuộc vào cách xem xét hình của ta mà lời giải của bài toán có thế’ ngắn gọn hơn. Bài tập tương tự Cho hình lăng trụ đứng lục giác đều có độ dải cạnh đáy là 12cm, chiều cao 15cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ đứng. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.AjE^Cp M là trung điểm của BjC,. Biết ÃMÃ; = 45", AA, = a. Tính cạnh đáy của lăng trụ. Tính diện tích xung quanh và thế’ tích của lăng trụ. LUYỆN TẬP 31. Điền số thích hợp vắo các ô trống ỏ bảng sau: Lăng trụ 1 Lăng trụ 2 Lăng trụ 3 Chiều cao của lăng trụ đứng tam giác 5cm 7cm Chiều cao của tam giác đáy 5cm Cạnh tương ứng với đường cao của tam giác đáy 3cm 5cm Diện tích đáy 6cm2 15cm2 Thể tích lăng trụ đứng 49cm3 0,045/ D Hình 112 Hình 112b biểu diễn một lưỡi rìu bằng sắt, nó có dạng một lăng trụ đứng, BDC là một tam giác cân. Hãy vẽ thêm nét khuât, điền thêm chữ vào các đỉnh rồi cho biết AB song song với những cạnh nào? Tính thế’ tích lưỡi rìu. Tính khối lượng của lưỡi rìu, biết khối lượng riêng của sắt là 7,874kg/dm3 (phần cán gỗ bên trong lưỡi rìu là không đáng kể). Hình 113 là một lăng trụ đứng, đáy là hình thang vuông. !•> Hãy kể tên: 15 Các cạnh song song với cạnh AD. Cạnh song song với cạnh AB. Các đường thẳng song song với mặt phẳng (EFGH). Các đường thẳng song song với mặt phẳng (DCGH). Tính thề tích của hộp xà phòng và hộp sô-cô-la trên hình 114, biết: Diện tích.đáy hộp xà phòng là 28cm2 (h.ll4a). Diện tích tam giác ABC ở hình 114b là 12cm2. Đáy của một lăng trụ đứng là tứ giác, các kích thước cho theo hình 115. Biết chiều cao của lăng trụ là 10cm. Hãy tính thế tích của nó. Giải s=-a.h => 2 í, 2S h = — a 2S a h L V V = S.h1 => ■ h, h,4 T K 2S 2.6 t, \ Lãng trụ 1: h = — = —- = 4 (cm) V = s.h = 6.5 = 30 (cm3) 49 Lăng trụ 2: s = —- - — - 7 (cm") 2S 2.7 14, h = — - = — (cm) 5 5 Lăng trụ 3: Ta có 0,045/ = 0,045dm;i = 45cm3 45 ,=i=l;3<cm) h 3 Điền vào bảng, ta được kết quả như sau: Lăng tru 1 Lăng tru 2 Lăng tru 3 Chiều cao của lăng trụ đứng tam giác 5cm 7 cm 3cm Chiều cao cùa tam giác đáy 4cm 14 — cm 5 5cm Cạnh tương ứng với đường cao của tam giác đáy 3 cm 5cm 6 cm Diện tích đáy 6cm" 7cm 15cm" Thể tích lăng trụ đứng 30cm3 49cm3 0.045/ A a) Vẽ thêm nét khuất, ta được hình bên. Cạnh AB song song với những cạnh FC, ED. Diện tích đáy s = —.4.10 = 20(cm2) Thê’ tích lưỡi rìu: V = s.h = 20.8 = 160 (cm3) V = 160cm:) = 0,16 dm3 D = 7874 kg / dm3 Khối lượng của lưỡi rìu: M = D.v = 7874.0,16 = 1260kg a) Các cạnh song song với cạnh AD là EH, BC, FG. Các cạnh song song với cạnh AB là EF. Các đường thẳng song song với mặt phầng (EFGH) là: AD, BC, AB, CD 'Các đường thẳng song song với mặt phẳng (DCGH): không có. a) Thể tích của hộp xà phòng là: = s.h = 28.8 = 224 (cm3) b) Thể tích của hộp sô-cô-la ià: = s.h = 12.9 = 108 (cm3) Diện tích đáy của lăng trụ là diện tích tứ giác ABCD. Ta có: c _ q I C ° ABC!) - ABC T A DC = ị. AC.BIỈ + IaC.dk 2 2 = ị.8.3 +ị.8.4 = 12+ 16 = 28 (cm2) 2 2 Thể tích của lãng trụ là: V = S:h = 28.10 = 280 (cm3)