Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
§2. LIÊN HỆ GIỮA THỨ Tự VÀ PHÉP NHÂN A. KIÊN THỨC Cơ BẢN Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với sô' dương Tính chất Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Tổng quát Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: Nếu a < b thi ac < bc; nếu a < b thì ac < bc; Nếu a > b thì ac > bc; nếu a > b thì ac > bc. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với sô' âm Tính chát Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. Tổng quát Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có: Nếu a bc; nếu a bc; Nếu a > b thì ac b thì ac < bc. Tính châ't bắc cầu của thứ tự Với ba số a, b và c nếu có a < b và b < c thì a < c. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Cho bất đẳng thức a < b (1) Hãy nhân hai vế của bất đẳng thức (1) lần lượt với 1; -2; +4; -6; 0. Giải Nhân hai vế của (1) với 1 ta được: a < b với -2 ta được: -2a > -2b với +4 ta được: 4a < 4b với -6 ta được: -6a > -6b với 0 ta được: 0 = 0 Cho a, b, c, d là cáẹ gố-ẩoống và a < b, c < d, chứng minh rằng ac < bd. Giải Vận dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân vào bất đẳng thức a < b ta có a.c < b.c (1) Tương tự, với bất đẳng thức c < d ta có b.c < b.d (2) Sứ dụng tính chất bắc cầu vào (1), (2) ta được a.c < b.d Bài tập cơ bẳn Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? (-6).5 .(-3) < (-5).(-3) (-2003).(-2005) < (-20051.2004 d) -3x2 < 0 Cho a < b, hãy so sánh 2a và 2b; 2a và a + b; -a và -b. -3a > -5a? b) 2a - 3 < 2b + 5 Số a là số âm hay dương nếu: 12a < Í5a; 4a < 3a; 8. Cho a < b, chứng tỏ: 2a - 3 < 2b - 3; Giải (-6X5 < (-5X5 v -6 < -5 , n „ vì _ >=> (-6)5 < (-5)5 và 5 > 0 Vậy khẳng định (-6)5 < (-5)5 là đúng. :! (-6)(-3) > (-5X-3) ' và - 3 < 0 -2003 < 2004 Vậy khẳng định (-6)(-3) < (-5X-3) là sai. c) > (-2003X-2005) > 2004.(-2005) X2 > 0 d) -3 -3x2 < 0, với mọi X. -2005 < 0 J Vậy (-2003X-2005) < (-2005)2004 là sai. Vậy khẳng định -3x2 < 0 là đúng. Ta có: a 0 => 2a < 2b a a + a2a<a + b a -a > -b a) Ta có: 12 < 15. Để có bất đẳng thức: 12a < lõa ta phải nhân cả hai vế eủa bất đảng thức 12 < 15 với số a. Để được 'bất đẩng thức cùng chiều thì a > 0. Vì 4 > 3 và 4a < 3a trái chiều. Để nhân hai vế của bất đẳng thức 4 > 3 với a được bất đẳng thức trái chiều thì a < 0. Từ -3 > -5 để có -3a > -5a thì a phải là số dương. Thật vậy: Ta có: a < b => 2a 0 => 2a - 3 < 2b - 3 (cộng vào cả hai vế với -3). Ta có: -3 < 5 => 2b - 3 < 2b + 5 (cộng vào hai vế với 2b) mà 2a - 3 < 2b - 3 (chứng minh trên) Vậy: 2a - 3 < 3b + 5 (tính chất bắc cầu) Bài tập tương tự Cho các ước lượng của a và b: -3 < a-< -2 5 < b < 6 Hãy đưa ra các ước lượng của: a) a + b d) 2a - 3 2. Chứng minh: - a + b' a) ——— > ab b) a - b -2b 5 e) , 2a c) a 3 f) 3a - 2b b) (a + l)(b + 1) > 1 + a + b với a, b > 0 LUYỆN TẬP Cho tam giác ABC. Các khẳng định sau đúng hay sai?  + B + C > 180° bj A + B < 180° B + C 180° a) So sánh (-2).3 và -4,5. Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau: (-2).30 < -45; (-2).3 + 4,5 < 0 Cho a < b, chứng minh: b) -2a - 5 > -2b - 5 b) (-3).2 + 5 < (-3).(-5) + 5 b) -3a > -3b d) -2a + 3 < -2b + 3 2a + 1 với 2b + 3 3a + 1 < 3b + 1 Chứng minh: 4.(-2) + 14 < 4.(-l) + 14 So sánh a và b nếu: a + 5<b + 5 5a - 6 > 5b - 6 Cho a < b, hãy so sánh 2a + 1 với 2b + 1; Với AABC thì các khẳng định Ậ + B + C > 180° là sai c) B + C < 180° là đúng a) So sánh: (-2).3 và -4,5 Ta có:-2 0 => (-2).3 (-2).3 < -4,5 Từ bất đẳng thức: (-2).3 < thức với ' i' ’ Giải A + B < 180° là đúng à + B > 180” ỉà sai Từ bất đắng thức: (-2).3 0 thì được: (-2).30 < -45 (-2).30 + 4,5 (-2).3O + 4,5 < 0 3a 0) 3a + 1 < 3b + 1 (cộng cổ hai vế với 1) Tù' bât đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta cộng vào cả hai vê với 4,5 thì được: C-2Ì 4- 4 K s -Ả 4 Z Thật vậy: a) Vì a < b 2a > -2b (nhân cả hai vế VỚI -2 < 0) 2b - 5 (cộng vào hai vê với -5) a < b : => -2a - 5 > a) Ta có: -2 4(-2) < 4.(-1); nhân hai vế với 4 => 4(-2) + 14 < 4.(-l) + 14; cộng hai vế với 14 2 > -5 => (-3)2 < (-3X-5); nhân hai vế với -3 => (-3)2 + 5 < (-3X-5) + 5, thêm vào hai vế với 5 a) Ta có: a + 5 < b + 5 => a + 5 + (-5) < b + 5 + (-5) => a < b Vậy a < b. Ta có: -3a > -3b => a < b Vậy a < b. Ta có: 5a - 6 > 5b - 6 =>5a-6 + 6>5b-6 + 6 => 5a > 5b => 5a.ị>5b.ị 5 5 => a > b Vậy a > b. -2a + 3 < -2b + 3 => -2a < -2b => a > b Vậy a > b. Vì 2b + 1 < 2b + 3 ■ b) mà 2a + 1 < 2b + 1 =>2a + 1 < 2b + 3 a) Ta có: a 2a 0 => 2a + 1 < 2b + 1 Vậy nếu a < b thì 2a + 1 < 2b + 1.