Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

§8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỔNG DẠNG
CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
- Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
Tam giác vuông này có 1 góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông cùa tam giác vuông kia.
2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đổng dạng
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai
3. Tỉ sô' hai đường cao, tỉ sô' diện tích của hai tam giác đồng dạng
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
1. Cho một tam giác vuông trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.
Giải
Vẽ AH 1 BC thì CH là hình chiếu của AC trên BC.
Ta có: AHB = BAC = 90°
ABH chung
nên ABHA - ABAC (hai tam giác vuông có
góc nhọn B chung)
BH BA
Suy ra:
BA BC
BH =
BA2 122
= 7,2
_ BC 20 _ 5
Vậy: CH = 20cm - 7,2cm = 12,8cm
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx
vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng
BC). Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm.
Chứng minh rằng BD // AC.
Giải
Xét hai tam giác vuông ABC và CDB có:
BC
DB
AC
CB
Suy ra AABC ~ ACDB và do đó có các góc tương ứng bằng nhau:
CBD = ACB
Vậy BD // AC '(vì có hai góc so le trong bằng nhau)
2. Bài tập cơ bản
Trên hình 50 hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng.
Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?
Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm,
5cm. Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54cm2. Tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.
kC
Hình 50
Bống của một cột điện trên mặt đất có độ dài là 4,5m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,lm cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m. Tính chiều cao của cột điện.
Giải
46. • AADC ~ AABE vì A chung, D = B = 90° _
ADEF ~ ABCF vì D = B = 90°, DFE = BFC (dối đỉnh)
ADFE ~ ABAE (D = B = 90°, A chung)
ABFC ~ ADAC (B = D = 90°, C chung)
AB V
47. Vì AABC ~ AA’B’C’	j
mà AABC có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 nên là tam giác vuông. 1 „ . '
Suy ra SABC 6_ _ 54 =
Do đó:
- A .3.4 = 6 2
AB
A'B'
f AB
<À'B
AB
A'B'
1 9
= ^=> A'B' = 3.AB 3
Tức là mỗi cạnh cúa AA’B’C’ gấp 3 lần cạnh của AABC.
Vậy ba cạnh của tam giác A’B’C’ là 9cm, 12cm, 15cm.
48. Cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất bằng nhau nên hai tam giác vuông AABC và AA’B’C’ đồng dạng.
AABC
AB =
AA'B'C’
AC.A'B'
AB
AC
A'B' A'C'
AB =
. Ạ’ c'
4,5.2,1
0,6
= 15,75
ÀC’
Vậy cột điện cao 15,75m.
3. Bài tập tương tự
1. Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC • thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm và 36cm. Tính chu vi và diện
tích của tam giác vuông đó.
2. Trên cạnh AB của AABC lấy các điểm M và N sao cho AM : M?T :
NB = 1:2:3. Qua các điểm M, N vẽ các đường thẳng song song với
BC. Tính diện tích phần của tam giác bao gồm giữa hai đường
thẳng này, nếu diện tích tam giác ABC bằng s.
LUYỆN TẬP
ơ hình 51, tam giác ABC vuông ở A và có đường
cao AH.
Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng
dạng với nhau? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác
đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng).
Cho biết AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ
dài các đoạn thẳng BC, AH, BH và CH.
Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ
dài là 36,9m. Cùng thừi điểm đó, một. thanh sắt cao
2,lm cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài l,62m.
Tính chiều cao của ống khói (hình 52).
Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia
cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài
25cm và 36cm. Tính chu vi và diện tích của tam
giác vuông đó (hình 53).
Hướng dẫn: Trước tiên tìm cách tính AH từ các
tam giác vuông đồng dạng, sau đó tính các cạnh
của tam giác ABC.
Cho một tam giác vuông, trong đó cạnh huyền dài
20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ
dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền.
Giải
49. a) AABC ~ AHBA vì A = H = 90°, B chung
AABC ~ AHAC vì Â = H = 90", C chung
=> AHBA ~ z\HAC
b) AABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2
=> BC2 = 12,452 + 20,502 = 575,2525
=> BC = Ự575,2525 « 23,98 (cm)
AABC ~ ÀHBA
Mặt khác:
AB _ BC
HB - BÃ	BC
CH = BC - BH = 23,98
HB =
AB- - 12,452
AC
AH
BC
BẨ
AH =
AB.AC
6,46(cm) 24
6,46 ~ 17,52 (cm) 12,45.20,50
BC	23,98
AH = 10,64 (cm)
50. Tương tự bài 48.
AABC ~ AA’B’C’ nên
AB
AC
A'B' A'C'
AB =
AB =
A'B’.AC
’ A'C’
36,9.2,1
1,62
=> AB ' 47,8 (m)
Vậy chiều cao của ống khói: 47,8m
ÁẤHB ~ ACHA vì ẠIĨB = AHC = 90°	
BAH = ACH (cùng phụ HAC )
AH BH ’
= T77 => AH2 = CH.BH = 25.36
CH AH
AH2 = 900 => AH = 30
Vậy SABC = I AH.BC = 130.(25 + 36) = 915cm2
Giả sử AABC vuông tại A có đường cao AH, BC = 20cm, AB = 12cm.
Ta tính HC. AABH ~ ACBA vì B chung, H = Â = 90° A
=> éi => Afi2 = BHCB
CB BA
AB2 19“
BH =	= 4=- = 7,2(cm)	R
=> CH = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8 (cm)