Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

§6. GIÃI BÀI TOÁN BĂNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Lập phương trình.
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biếu diễn các đại lượng chưa biết theo ấn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mốì quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Lưu ý vê' chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn
Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.
Về điều kiện thích hợp của ẩn.
Nếu X biểu thị một chữ số thì 0 < X < 9.
Nếu X biểu thị tuổi, sản phẩm, người... thì X nguyên dương.
Nếu X biểu thị vận tốc của chuyển động thì X > 0.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập cơ bản
Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng —. Tìm phân số ban đầu.
Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng số học sinh cả
z O
lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
(Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong Hợp tuyến Hi Lạp - Cuốn sách gồm 46 bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng).
Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm -T cuộc đời.
1	V
-^7 CUỘC đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi.
1
Thêm y cuộc đời nữa của ông sống độc thân.
Sau khi lập gia đình được 5 năm thì sinh một con trai.
Nhưng số mệnh chỉ cho con sông bằng nửa đời cha.
Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất.
Đi-ô-phăng sống bao nhiêu tuổi. Hãy tính cho ra?
Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.
Điểm số (x)
4
5
7
8
9
Tần số (f)
1
*
2
3
*
n = 10
Điểm kiểm tra Toán của một tổ học tập được cho trong bảng sau:
•<	'	í
Biết điểm trung bình của cả tổ là 6,6. Hãy điền các giá trị thích hợp vào hai ô còn trống (được đánh dấu *).
Lan mua hai loại hàng và phải trả tống cộng 120 nghìn đồng, trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đôi vói loại hàng thứ nhất là 10%; thuế VAT đối với loại hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kế thuê VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền?
Ghi chú: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy định là 10%. Khi đó nếu giá bán của A là a đồng thì kể cả thuế VAT, người mua mặt hàng này phải trả tổng cộng là a + 10%a đồng.
Giải
Gọi X là tử sô của phân số.
(x e z, X -3)
Mẫu sô của phân sô' là X + 3.
X + 2 X + 2
Phân sô lúc sau là — „	- - ——
X +3 + 2 X + 5
1
Vì phân sô mới băng — nên ta có phương trình:
X + 2 _ 1 X + 5	2
Khử mẫu: 2(x + 2) = x + 52x + 4 = x + 5 X = 1
X = 1 thỏa điều kiện đặt ra.
. 1
Vậy phân sô lúc đâu: —
Gọi X là số học sinh cả lớp (x nguyên dương)
Số học sinh giỏi trong học kì I: —X
O
Sô' học sinh giỏi sau học kì II: □ x + 3
O
Vì sô' học sinh giỏi trong học kì 2 bằng 20% sô' học sinh cả lớp nên:
1 O 21. „	1-1
8	100	8	57
 5x + 120 = 8x 120 = 3x X = 40
X = 40 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy sô' học sinh của lớp 8A là 40.
Gọi X là sô' tuổi của ông Đi-ô-phăng (x nguyên dương).
1 .
Thời thơ ấu của ông: — X 0
1
Thời thanh niên: — X
Thời gian sống độc thân: 7 X
= 20 o I4x - lOx = 700
Thời gian lập gia đình đến khi có con và mất: 5 + X + 4
_ 1 1 1 1 Â 2 Ta có phương trình:- X + — X + -X + 5 + -X + 4 = X
o 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x o 75x + 756 = 84x 9x = 756 X = 84
Vậy nhà toán học Đi-ô-phăng thọ 84 tuổi.
Gọi X (km) là quãng đường AB (x > 0).
Thời gian chuyển động từ A đến B của xe máy:
9g30 - 6g = 3g30p = ~ (giờ)
7 2x
Vận tốc của xe máy: X :	(km/h)
í
'	7	5
Thời gian chuyển động từ A đến B của ôtô: -1 = (giờ)
5 2x
Vận tốc của ôtô: X :
ZJ	5
Vì vận tốc của ôtô hơn xe máy 20km/h nên ta có phương trình: 2x 2x
”5
o4x = 700 X = 175
X = 175 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy quãng đường AB dài 175km.
Vận tốc trung bình của xe máy: 175 : “ = 50 (km/h)
Gọi X là tần số của biến lượng điểm 5 (0 < X < 10; nguyên) Tần số của điểm 9: 10 - (1 + 2 + 3+x) = 4- x Điểm trung bình của cả tổ bằng 6,6 nên
4.1 + 5.X + 7.2 + 8.3 + 9.(4 - x) „ „ 	= 6, 6
10
 4 + 5x + 14 + 24 + 36 - 9x - 66 -4x + 78 = 66 -4x - -12 X - 3
X - 3 thích hợp với điều kiện.
Kết quả điền vào ô trống là
Điểm số (x)
4
5
7
8
9
Tần số (f)
1
3
2
3
1
n = 10
Gọi X (đồng) là tiền mua loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT (õ < X < 110000)
Tiền mua loại hàng thứ hai không kế thuế VAT: 110000 - X Số tiền thật sự Lan đã trả cho loại hàng 1: X + o,lx Số tiền thật sự Lan đã trả cho loại hàng 2:
110000 - X + 0,08(110000 - x)
Ta có phương trình:
X + o,lx + 110000 - X + 0,08(110000 - x) = 120000 o o,lx + 110000 + 8800 - 0,08x = 120000 o 0,02x = 1200
 X = 60000
X = 60000 thỏa điều kiện.
Vậy số tiền trả cho loại hàng thứ nhất là 60000 đồng (không kể thuế VAT).
Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT: 50000 đồng
LUYỆN TẬP
Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?
Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu.
Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau:
Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ sô;
Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4;
Điểm (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần số (f)
0
0
2
*
10
12
7
6
4
1
n = *
phân số 7 .
9	9
44. Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho trong bảng dưới đây:
Trong đó có 2 ô còn trông (thay bằng dấu *). Hậy điền sô thích hợp
Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số, thì ta được một phân số bằng
vào ô trông, nếu điểm trung bình của lớp là 6,06.
Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một sô tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.
Một người lái ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h. Nhưng sau khi đi được 1 giờ với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB.
Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm X nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau.
Hãy viết biểu thức biểu thị:
+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;
+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;
+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai.
Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm?
Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh.
Đố: Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình 5 thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu.
Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.
Giải
Gọi X là tuổi Phương hiện nay (x > 0; nguyên)
Tuổi của mẹ là: 3x Tuổi Phương 13 năm sau: X + 13 Tuổi của mẹ 13 năm sau: 3x + 13 Ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13)
 3x + 13 = 2x + 26 X = 13
X = 13 thỏa điều kiện.
Vậy hiện nay Phương 13 tuổi.
Gọi X là chữ số hàng chục.
(0 < X < 9; X e N)
Chữ số hàng đơn vị: 2x Số tự nhiên lúc đầu: x(2x)
Sô' tự nhiên lúc sau: xl(2x)
Vì số mới hơn số ban đầu là 370 nên
« (lOOx + 10 + 2x) - (10x + 2x) = 370
o lOOx + 10 + 2x - lOx - 2x = 370 90x = 360 o X = 4
X = 4 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy số ban đầu: 48
Gọi số ban đầu là X.
(10 < X < 99; nguyên)
Sô" lúc sau là 2x2
Vì số lúc sau lớn gap 153 lần số ban đầu nên ta có phương trình: 2x2 = 153x0 2000 + lOx + 2 = 153x
o 2002 = 143x o X = 14
X = 14 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy sô tự nhiên cần tìm: 14
Gọi X là tử số của phân số cần tìm (với X < z*).
Mẫu số của phần số: X - 4 (x * 4)
Từ tính chất thứ ba .ta có phương trình: x	1	_
,	■ ■ ■■■ = K o 5x = 10(x - 4) + X
(x - 4).x	5
o 5x = lOx - 40 + x
o 6x = 40
20 X - ——
_	3
20	" , .
X = — không thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy không có phân số thỏa các điều kiện trên.
Gọi X là tần số của điểm 4.
(x > 0; nguyên)
Sô" học sinh của lớp: 2 + X +10+ 12 + 7 + 6+ 4 + 1 = 42+ x
Vì điểm trung bình bằng 6,06 nên:
2.3 + 4.X + 5.10 + 6.12 + 7.7 + 6.8 + 9.4 + 10.1 n 	—	 6,06
42 + X
o 6 + 4x + 50 + 72 + 49 + 48 + 36 + 10 = 6,06(42 + x) o 271 + 4x = 254,52 + 6,06x o 16,48 = 2,06x
o X - 8 (thỏa điều kiện đặt ra)
Vậy ta có kết quả điền vào như sau:
Điểm (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần sô' (f)
0
0
2
8
10
12
7
6
4
1
n = 50
45. Gọi X là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng (x
nguyên dương)
Sô" tâ"m thảm len mỗi ngày dự định dệt: —
Số tấm thảm len thực tế đã dệt: X + 24
_.	'	» _ , , X + 24
Sô tấm thảm len môi ngày đã dệt: —
X + 18
120%.-
<=?
Vì năng suất của xí nghiệp tăng 20% nên số thảm thực tế dệt trong một ngày bằng 120% số thảm dự định dệt trong một ngày; ta có phương trình: X + 24 _ 6 X
20
18	= 5'20
50(x + 24) = 54x 50x + 1200 = 54x 4x = 1200 X = 300
X = 300 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy sô' tấm thảm len dự định dệt là 300 tấm.
Gọi X là quãng đường AB (x > 0; km)
Đoạn đường đi trong 1 giờ: 48km Đoạn đường còn lại: X - 48
.	X - 48
Thời gian dự định: ———
	 X - 43
Thời gian thực tế: —54~~
Nếu không bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút thì ôtô sẽ đến sớm nên: X - 48 X - 48 _ 1
'"lẽ””	54	- 6
o 9(x - 48) - 8(x - 48) = 72 o 9x - 432 - 8x + 384 = 72 X = 120
X = 120 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy quãng đường AB bằng 120km.
a) Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm: X đồng
Lãi suất là a% tháng nên số tiền lãi sau tháng thứ nhất a%.x Sô" tiền có được sau tháng thứ nhất: X + a%.x = (1 + a%)x Số tiền lãi sau tháng thứ hai: (1 + a%)x.a%
Tổng số tiền lãi sau hai tháng:
a%.x + (1 + a%)x.a%
= (2 + a%).a%x
b) Vì sau hai tháng bà An lãi 48288 đồng với lỗi suất 1,2% nên:
48288
(2 + 1,2%)1,2%X = 48288	 X = 2 012 0 012
o x = 2000000
Vậy bà An đã gửi tiết kiệm 2000 000 đồng.
Gọi X là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < X < 4 triệu; nguyên) Số dân tỉnh B: 4000000 - X
Số dân của tỉnh A năm nay: l,011.x
Sô' dân của tỉnh B năm nay: 1,012(4000000 - x)
Vì dân sô tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 8072000 người nên ta có
phương trình:
l,011x -1,012(4000000 - x) = 807200 l,011x - 4048000 + l,012x = 807200 2,023x = 4855200
 X = 2400000
X = 2400000 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy dân số của tỉnh A: 2400000 người Dân số của tỉnh B: 1600000 người
Vì diện tích hình chữ nhật bằng một nửa diện tích hình tam giác nên:
3	6(x-2)
= 2-^-— 3x2 = 24x - 48
 3x2 - 24x + 48 = 0 » X2 - 8x + 16 = 0 (x - 4)2 = 0 X = 4
x = 4 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy AC = 4cm.