Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 7. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g. c. g)

§7. TRƯỜNG HỢP ĐỔNG DẠNG THỨ BA (g.g)
A. KIẾN THỨC CỠ BẲN
Định lí
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
GT
AABC, AA’B’C’
X'x	XX.	XX	XX
A = A’; B = B’
KL
AABC ~ AA’B’C’
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi o là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC
AB
CD „
Giải
K. Chứng minh rằng:
OH
OK
Đường thẳng qua o vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và
Theo gj.ả thiết^ABCD là hình thang, AB // CD
(3)
(4)
nên ẤBỒ = ODC (so le trong) (1)
ẤÕB = COD-(đối đỉnh) (2)
Từ (1) và (2), ta có:	QA Qg
AAOB ~ ACOD nên T-7 =
Suy ra: OA.OD = OB.OC	_ uu
Do OH 1 AB, OK 1 CD nên OHA = OKC = 90° HOA = KOC (đối đỉnh)
OH OA
Suy ra AOHA ~ AOKC nên 7777 - 7777 J	OK ỌC
Theo câu a, AAOB ~ ACOD nên 24 = 41 oc CD
_	, OH AB
Từ (3) và (4), ta có:
Bài tập cơ bản
Chứng minh rằng nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác
ABC theo tỉ số k thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng k.
Tính độ dài X của đoạn thẳng BD trong hình 43
(làm tròn đến chữ số thập phần thứ nhất), biết rằng ABCD là hình thang (AB // CD); AB =
12,5cm; CD = 28,5cm; DAB = DBC.
Hình 44 cho biết EBA = BDC.
Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kế tên các tam giác đó.
Cho biết AE = 10cm, AB = 15cm, BC =
12cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
•c) .So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD.
Giải
g . g '• (AABC- AẠ’B’C’)
AD
Mà AA’B’C’ ~ AABC theo tỉ số k - A'D
Vâv —TTZ- = k
AD _
36. Xét AABD và ABDC có:
AB
A'B’
AB
DAB = DBC (gia thiếc ABD = BDC (AB // CD, so le trong) zz> aABD - ABDC (trường hợp 3)
BAD = b5vD~’ (cùng bằng nửa hai góc BAC = B'A’C’) AA'B'D'~ AABD A ° A B
ZVVDJJ ~ ADUL, (.truơng nọj
X BD- = AB DC
BD = 18,87cm
BD DC	
BD = ỰaB.DC = Ựl2,5.28,5
37. a) EBA = BDC (gt) mà BDC + CBD = 90" => EBA + CBD = 90°
Vậy EBD = 90°
Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông đó là: AABE, ACBD, AEBD.
AABE và ACDB có:	
 = C = 90°; ABE = CDB
AR AE
=$ AABE ~ ACDB	~
_ _	CD CB
AB.CB 15.12
CD - ——— =	= 18(cm)
AE 10
AABE vuông tại A => BE = 7aE2 + AB2 => BE = 7l00 + 225 => BE - 7325 => BE ss 18cm
ADBC vuông tại c => BD = 7cB2 + CD2 => BD = 7144 + 324 => BD = 7468 => BD « 21,6cm
AEBD vuông tại B => ED = 7bE2 + BD2 => ED = 7325 + 468 => ED = 7793 => ED « 28,2
Ta có: SABE + SDBC = — AE.AB + — BC.CD
= ị.10.15 + 1-12.18 2 2
= 75 + 108 = 183 cm2
SACDE = |(AE + CD).AC
= ị(10 + 18).27 = 378cm2 2
^EBD ~ ^ACDE — (SABE + S))BC)
= 378 - 183 = í 95cm-
Vậy: SEB1) > SABE + S|)HC
Bài tập tương tự
Trong AABC vẽ một đường thẳng qua B, cắt AC tại D sao cho
ABD = BCA. Tính độ dài các đoạn thẵng AD và DC cho biết AB = 2cm và AC = 4cm.
Cho AABC có B = 2C. Chứng minh AABC ~ AACD và AC2 =
AB(AB + BC).
LUYỆN TẬP
Tính độ dài X, y của các đoạn thẳng trong hình 45.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi o là
giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng OA.OD = OB.OC
Đường thẳng qua o vuông góc với AB và
CD theo thứ tự tại H và K.
.	' OH _ AB
Chứng minh răng — - —.
Cho tam giác ABC, trong đó AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai cạnh
AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = ,8cm, AE = 6cm.
Hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
	 Giải
38. Ta có: ABD = BDE, lại so le trong
=> AB // de'
AABC ~ AEDC AB _ BC __ AC
ẸD ■ DC - EC 3 X
=> X =
39. a) Vì AB // CD
_ 2 3,5 - y
7-- = 1 75 ; y = 77 = 4
AAOB ~ ACOD OA OB
	=> OA.OD = OC.OB
7 oc _op _
b) AAOH và ACOK co: AHO = CKO = 90°
=> AAOH
OA
- ACOK
AB
mà 77 = 7~- (AAOB oc CD 40. Xét AAED va AABC CÓ:
AE 6	3
HOA = KOC
OH _ OA OK - oc ~ ACOD)
(đối đỉnh)
OH
OK
AB
CD
[
A
H B
V
D
K	c
Mà
AD
AB
8
15
20
— AC A churig.
=> AAED
3
4J
. AE
=> — —-
AD
AB
AC
AABC (trường hợp thứ 2)
LUYỆN TẠP 2
Tìm các dấu hiệu để nhận biết hai tam giác cân đồng dạng.
So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các trường hợp bằng
nhau của tam giác (nêu lên những điểm giống nhau và khác nhau).
Hinh 46
Cho hình bình hành ABCD (hình 46) eó độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lây một điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F.
Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng.
Tính độ dài các đoạn thẩng EF và BF, biết rằng DE = 10cm.
Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC - 28cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo tljứ tự là hình chiếu của B và c trên đường thẳng AD.
BM
CN
a ì Tính tỉ số
PA/r
DM
AM
b) Chứng minh rằng = DN -
Hai tam giác ABC và DEF có A = D, B = E, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF và EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.
Giắi
Từ trường hợp 1 ta có:
Nếu cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này tỉ lệ với cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Từ trường hợp 2 và 3 ta nói:
Nếu hai tam giác cân có một góc tương ứng bằng nhau tlà hai tam giác đó đồng dạng.
42.
Trường
hợp
Giống
nhau
Khác nhau
Bằng nhau
Đồng dạng
1
3 cạnh
3 cạnh tương ứng bằng nhau
3 cạnh tương ứng tỉ lệ
2
2 cạnh
1 góc
2 cạnh tương ứng và
1 góc kề với 2 cạnh bằng nhau
2 cạnh tương ứng tỉ lệ
3
1 cạnh và 2 góc kề tương ứng bằng nhau
2 góc tương ứng bằng nhau
43. a) BE // DC => ABEF - aCDF AD // BF => AADE ~ ABFE Do đó: AADE ~ ACFD b) BE = AB - AE = 12 - 8 = 4cm
AADE~ABFE
AE _ AD DE BE - BF - EF
8	7	_ 10 _ DU _ 4-7 _ o
=> BF -	= 3,5cm
4 BF EF	8
BF EF
EF =	= 5cm
8.
44. a) AD là đường phân giác trong AABC
DB _ AB	DB 24 6
DC " AC	DC - 28 - 7
Mà BM // CN (cùng vuông góc với AD).
BM _ BD CN - CD
BM 6
Vậy:
ABMD ~ ACND
CN 7	 	
b) AABM và AACN có: bam = CAN (AD là phân giác RAƠ
BMA = CNA = 90°
AM _ AB AN - AC
AB DB
AABM ~ AACN
mà
và
AC
DB =
DC = AM
DC
DM
DN
DM
(chứng minh trên)
(ABMD ~ ACND)
AN DN
45. AABC và ADEF có A = D và B = E nên đồng dạng.
A a™ .Twn AB BC CA Vì AABC ~ ADEF =>	= NN . Nil
DE EF FD
8 _ 10 _ CA Hay 6 - EF ~ FD
CA-FD 3	p,* _ 8.3
—7— = „ => CA = -T- = 12 cm
8-6 2 2
6.10 „ „ Suy ra: EF = 8 = 7,5
8 CA _ CA FD Vì -7 = ™ =>	„	=	_
6 FD 8	6
FD = 12 - 3 = 9cm