Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 4. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT Ẩn
A. KIẾN THỨC CỠ BẢN
Định ghĩa
Bất phương trình dạng ax + b 0, ax + b 0) trong đó a và b là hai số đã cho, a 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hai quy tắc biến đổi bâ't phương trình
Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu sô đó dương.
7 Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Áp dụng
Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như sau:
Dạng: ax + b > 0 ax > -b
X > — neu a > 0 a
nếu a < 0
I a
Vậy nghiệm của bất phương trình ax + b > 0 là:
-b
-b
Sj = |x / X > ——, a > 0j hoặc S9 = |x/X < ——, a < 0
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Giải bất phương trình
15(x-l)
a) 3x - 5 > 2(x - 1) + X	b) 2x2 + 2x +1	—-	> 2x(x + 1)
Giải
a) 3x - 5 > 2(x - 1) + X 3x - 5 > 2x - 2 + X
b) 2x + 2x + 1 -
15ÍX-1)
 Ox > 3. Bất phương trình vô nghiệm. > 2x(x +1)
 4x2 + 4x + 2 - 15x + 15 > 4x2 + 4x 17
 -15x > -17 X <
	 . , 15
2. Bài tập cơ bản
Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế):
a) X - 5 > 3	b) X - 2x < -2x + 4
c) -3x > -4x + 2	d) 8x + 2 < 7x - 1
Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân):
a) 0,3x > 0,6	b.) -4x < 12
c) -X > 4	d) l,5x > -9
Giải thích sự tương đương sau:
a)x - 3 > 1 »x + 3 > 7
b) -X 3x > -6
22. Giải các bất phương trình và biểu diên tập nghiệm trên trục số:
a) l,2x < -6
b) 3x + 4 > 2x + 3
23. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 2x - 3 > 0
c) 4 - 3x < 0
Giải các bất phương trình: a) 2x - 1 > 5
c) 2 - 5x < 17
Giải các bất phương trình:
2
a) j x > “6
c) 3-yx > 2
4
b) 3x + 4 0
b) 3x - 2 19
b) - „ X < 20 6
d) 5 - 4 X > 2
3
Hình vẽ sau biêu diền tập nghiêm của bất phương trình nào? (Kế ba bất phương trình có cùng tập nghiệm).
-+	••• >//»///»
u 12
/«»////////m	*
0 8
Đố: Kiểm tra xem giá trị X = -2 có là nghiêm của bất phương trình sau không?
X + 2x2 - 3x3 + 4x4 - 5 < 2x2 - 3x3 + 4x4 - 6
(-0,001)x > 0,003
Giải
a)x-5>3«x>3 + 5 X > 8
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 8.
X - 2x X - 2x + 2x < 4
o X < 4
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < 4.
-3x > -4x + 2 -3x + 4x > 2
 X > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 2.
8x + 2 8x - 7x < -1 - 2
 X < -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < -3.
a) 0,3x > 0,6 	.0,3x > 0,6.^
’	3
 x > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 2.
-4x 12^-^
 X > -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > -3.
-X > 4 o (-l)(-x) < (-D.4
 X < -4
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < -4.
3
1,5x > -9 o X > -9
2
 X > -6
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > -6.
a) X -3>lox + 3>7
Hai bất phương trình tương đương vì cộng 6 vào cả hai vê. b) -X 3x > -6
Hai bất phương trình tương đương vì nhàn vào cổ hai vế của bất phương trình thứ I với -3 và dổi chiều bất phương trình.
a) l,2x X < -6 : 1,2
 X < -5	''
Vậy tập nghiệm cúa bất phương trình là S = Ịx / X < -5} và được biểu diễn trên trục.sô' như sau:
-5	0
-	>///////////»
3x + 4 > 2x + 3 3x - 2x > 3 - 4 X > -1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s = {x / X > -1} và được biểu diễn trên trục số như sau: 1
IHIhllHtlhHÌlk—í-	*
a) 2x - 3 > 0 2x > 3
o X > 3 : 2
3
 X > —
,2	of, 31
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s - Ix/x > 2I và được
biểu diễn trên trục số như sau:
ỈIHHHHHHỈHHHK—♦	*
1 3. 2 2
3x + 4 3x < -4
o X < (-4) : 3
4
 X < - —
 — < X
3	r 4 Ị
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S- -|> và được
biểu diễn trên trục số như sau:
4
IIIIIHHlỉlSílHlìịM- 2	►
5 - 2x > 0 5 > 2x
5
 — > X
2	r 5]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s = ^x/x và được
biểu diễn trên trục số như sau:	J
5
0 12 2 3
_	 >	> 2 ]//W/O//>
a) 2x - 1 > 5 o 2x > 1 + 5 o 2x > 6
X > 3
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 3.
3x - 2 < 4 o 3x < 4 + 2
 3x X < 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < 2.
2-5x-5x < 17 - 2
 -5x (15) : (-5)
 X > -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > -3.
3 - 4x > 19 o -4x > 19 - 3
 -4x > 16 X < 16 : (-4)
 X < -4
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < -4.
2	2
a) X > -6 X > (-6): ~
đ	O
 X > -9
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > -9.
-jxx>20:fyl
 X > -24
Vậy nghiệm của bất phương trình: X > -24
3-Ậx>2—4x>2-3
4	4
-1 1 	. X > -1
4
„ X < (-1):
 X < 4
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < 4.
5 - 4 X > 2 — X > 2 - 5
7	3	3
 — X > -3
 X < 9
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < 9.
aT; 	A ? ?>///////////////>
Hình trên biểu diên tập nghiệm của bất phương trình:
X < 12 hoặc ịx < 6 ' „ 2
hoặc X - 5 < 7 0 8
b)	*
Hình trên biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình:
X > 8 hoặc X + 4 > 12
hoặc -2x < -4
27. Kiểm tra xem X = -2 có là nghiệm của bất phương trình không.
X + 2x2 - 3x3 + 4x‘ - 5 < 2x2 - 3x3 + 4x4 - 6
 x < -1
(Cộng vào hai vế của bất phương trình cùng đa thức . ’	-2x2 + 3x3 - 4x4 + 5)
Thay X = -2; -2 < -1 (khẳng định đúng)
Vậy X = -2 là nghiệm của bất phương trình.
(-0,001)x> 0,003
o X < -3 (chia cả hai vế cho -0,001)
Thay X = -2: -2 < -3 (khẳng định sai)
Vậy X = -2 không là nghiệm của bất phương trình.
Bài tập tương tự
Giải các bất phương trình:
a) 5x + 2 > 3	b) -3x + 2 < -5
7x + 5 3x - 19
ậ-3>x + 2	f)3x-2<ậ-Ặ
J	2	5
28
29
30.
31.
LUYỆN TẬP
Cho bất phương trình X2 > 0.
Chứng tỏ X = 2, X = -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Có phải mọi giá trị của ẩn X đều là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không?
Tìm X sao cho:
Giá trị của biểu thức 2x - 5 không âm.
Giá trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x + 5. Một người có số tiền không quá 70000 đồng gồm 15 tờ giây bạc với hai loại mệnh giá: loại 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giây bạc loại 5000 đồng?
Giải các bất phương trình và biếu diễn tập nghiệm trên trục số:
-~3	>5	b) —< 13
1 ,	X - 4	2 - X 3 - 2x
^ 4 x~ <	6	d) 3	<	5
Giải các bất phương trình:
8x + 3(x + 1)> 5x - (2x - 6)	b) 2x(6x - 1) > (3x - 2)(4x + 3)
Đố: Trong một kì thi, bạn Chiến phải thi bốn môn Văn, Toán, Tiếng
Anh và Hóa. Chiến đã thi ba môn và được kết quả như bảng sau:
Môn
Văn
Tiếng Anh
Hóa
Điểm
8
7
10
Kì thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điếm trung bình các môn thi là 8 trở lên và không có môn nào bị điểm dưới 6. Biết môn Văn và Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là bao nhiêu?
Đô': Tìm sai lầm trong các “lời giải” sau:
Giải bất phương trình -2x > 23. Ta có:
-2x > 23 x>23 + 2x> 25 Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 25.
b) Giải bất phương trình -yx > 12. Ta có:
-|x>12oí--| 7	l 3
> -ị .12 X > -28
3
Vậy nghiệm của bất phương trình íà X > -28.
Giải
a) Thay X = 2; X = -3 vào bất phương trình X2 > 0 ta có:
x = 2:22>0	 4>0 khẳng định đúng
X = -3 : (-3)2 >0 9 > 0 khẳng định đúng
Vậy X = 2; X = -3 là nghiệm của bất phương trình,
Với X = 0 ta có: o2 > 0 0 > 0 (khẳng định sai)
Vậy mọi giá trị của ẩn không là nghiệm của bất phương trình. Chú ỷ: Bất phương trình X2 > 0 có tập nghiệm là s = {x / X * 0}.
a) Ta có bất phương trình: 2x-5>02x>5
5
 X > —
. 2
- ,	A ~	 5
Vậy đê cho 2x - 5 không âm thì X > —.
biểu thức -7x + 5.
Ta có:	-3x -3x + 7x < 5
 4x < 5
„ 5
 x - 7
' ,	.,	, , \	4	,	„	.	5
Vậy đế cho giá trị của -3x không lớn hơn giá trị của -7x + 5 thì X < —.
30. Gọi X là số tờ giấy bạc loại 5000 đồng.
Số tờ giấy bạc loại 2000 đồng là 15 - X (với 0 < X < 15; nguyên)
Tìm X sao cho giá trị của biểu thức-3x không lớn hơn giá trị của
Vì số tiền không quá 70000 nên
5000X + 2000(15 - x) < 70000 5000x + 30000 - 2000x< 70000 3000x < 40000
„ 40 X < -r
3
So với điều kiện thì 0 < X < mà X là số nguyên dương nên x có
thể là số nguyên dương từ 1 đến 13.
Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 đ người ấy có thể có là các số nguyên dương từ 1 đến 13.
15 - 6x _ „ _
a) —-— > 5 15 - 6x > 15
 -6x > 0 X < 0
Vậy tập nghiệm là s = {x / X < 0ị.
Biểu diễn trên trục số:
0
—<13o8-llx<52
4
 -llx X > -4
Vậy tập hợp nghiệm: X > -4 Biểu diễn trên trục số:
-4	0
O/////////////(	♦	>
X — 4	"Ị	X	4-
y (x - 1) 12.^ (x - 1) < 12.-———
4	6	4	6
 3(x - 1) 3x - 2x X < -5
Vậy tập hợp nghiệm: s = (x / X < -51 Biểu diễn trên trục số:
-5	0
	VflHIHHHHHIHUfHHIItHHIHIb
- X 3 - 2x	2 - X 3-2x
——- 15.—— < 15. ---	■
'35	3	5
 5(2 - x) 10 - 5x 6x - 5x < 9 - lOox < -1
Vậy tập nghiệm s = {x / X < -1(.
Biểu diễn trên trục số:
-1 0
	milflllHHIfllllb
a) 8x + 3(x + 1) > 5x - (2x - 6) 8x + 3x + 3 > 5x - 2x + 6
 8x + 3 > 6 8x + 3
Vậy nghiệm của bất phương trình: x > £
2x(6x - 1) > (3x - 2)(4x + 3)
o 12x2 - 2x > 12x2 - 8x + 9x - 6 12x2 - 2x > 12x2 + X - 6 -2x - X > -6 -3x > -6
 X < 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < 2.
Gọi X là điểm thi môn Toán, theo đề bài ta có điều kiện:
< X < 10
Điểm trung bình của bôn môn:
8.2 + 7 +10 +X.2	33 + 2x
Để’ được xếp loại giỏi thì: 	T—- ằ 8
'	_	O
 33 + 2x > 48 2x > 15 X > 7,5
Vậy để đạt được loại giỏi thì bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán thấp nhất là 7,5 điểm.
a) -2x >23 X > 23 + 2 X > 25
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 25.
Nhận xét: Sai lầm là coi -2 là hạng tử, khi tìm X phải nhân hai vế
với - — hoặc chia hai vế cho -2 và đổi chiều bất phương trình.
Lời giải đúng:	-2x > 23
ox< 23 : (-2)
 X < -11,5
Vậy nghiệm của bất phương trình: X < -11,5
 X > -28
Vậy nghiệm của bất phương trình là X > -28.	7
Nhận xét: Sai lầm là nhân hai vế của bất phương trình cho 3 < 0 mà không đổi chiều bất phương trình.
Lời giái đúng:
L 3/1 7
 X < -28
Vậy nghiệm của bất phương trình là X < -28.